（本科）第2章 逻辑代数基础ppt课件（全）.ppt

第第2章章 逻辑逻辑代数基代数基础础青岛理工大学信控学院青岛理工大学信控学院讲授：马淋淋讲授：马淋淋第二章 逻辑代数基础2.1 概述2.2 逻辑代数中的三种基本运算2.3 逻辑代数中的基本公式和常用公式2.4 逻辑代数中的基本定理2.5 逻辑函数及其表示方法2.6 逻辑函数的化简方法2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础32.1 概述概述 不不同同数数码码不不仅仅可可以以表表示示数数量量的的不不同同大大小小，而而且且还还能能用用来来表表示示不不同同的的事事物物。在在数数字字逻逻辑辑电电路路中中，用用1 1位位二二进进制制数数码码的的“1”和和“0”表表示示一一个个事事物物的两种不同的逻辑状态。如电路的通和断、灯的开和关、事件的有和无等。的两种不同的逻辑状态。如电路的通和断、灯的开和关、事件的有和无等。逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。当两个二进逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可按照指定的某种因果关系进行制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可按照指定的某种因果关系进行推理运算，这种运算称为逻辑运算。推理运算，这种运算称为逻辑运算。用来实现逻辑运算的电路称为用来实现逻辑运算的电路称为门电路。门电路。4v1849年，英国数学家（GBoole）首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法布尔代数。v布尔代数又叫开关代数或逻辑代数。v逻辑代数中用字母表示变量，这种字母称为逻辑变量。v在二值逻辑中，每个逻辑变量只有1和0两种可能。其中1和0表示两种不同的逻辑状态。52.2 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 逻辑代数的基本运算有与、或、非三种。逻辑代数的基本运算有与、或、非三种。n正正逻逻辑辑与与负负逻逻辑辑:在在逻逻辑辑电电路路中中有有两两种种逻逻辑辑体体制制：用用“1”表表示示高高电电位位，“0”表表示示低低电电位位的的，称称为为正正逻逻辑辑体体制制；用用“1”表表示示低低电电位位“0”表表示示高高电电位位的的，称称为为负负逻逻辑辑体体制。若无说明，我们均用正逻辑。制。若无说明，我们均用正逻辑。一、三种基本逻辑运算一、三种基本逻辑运算6 1.与运算(逻辑乘)与运算(逻辑乘)表示这样一种逻辑关系：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生。例如：在串联开关电路中，只有在开关A和B都闭合的条件下，灯Y才亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为与逻辑。7图图 与逻辑实例与逻辑实例 如果设开关A、B闭合为1，断开为0，设灯Y亮为1，灭为0，则Y与A、B的与逻辑关系可以用真值表来描述。8A BY0 00 11 01 10001所所谓谓真真值值表表，就就是是将将自自变变量量的的各各种种可可能能的的取取值值组组合合与与其其因因变变量量的的值一一列出来的表格形式。值一一列出来的表格形式。与逻辑可以用逻辑表达式表示为与逻辑可以用逻辑表达式表示为Y=AB 与逻辑运算真值表与逻辑运算真值表 v在在逻逻辑辑代代数数中中，将将与与逻逻辑辑称称为为与与运运算算或或逻逻辑辑乘乘。符符号号“”表表示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号“”。9与逻辑与逻辑符号符号 实现与逻辑的单元电路称为实现与逻辑的单元电路称为与门与门，其逻辑符号如图所示，其中，其逻辑符号如图所示，其中图图(a)为我国常用的传统符号，图为我国常用的传统符号，图(b)为国外流行的符号，图为国外流行的符号，图(c)为国为国标符号。标符号。102.或运算或运算(逻辑加逻辑加)当决定一事件结果的诸多条件中只要有一个满足，结果就会发生。当决定一事件结果的诸多条件中只要有一个满足，结果就会发生。图图 或逻辑实例或逻辑实例 或逻辑或逻辑可以用逻辑表达式表示为可以用逻辑表达式表示为 Y=A+BY=A+B 或逻辑或逻辑也称为或运算或也称为或运算或逻辑加逻辑加。符号。符号“+”表示逻辑表示逻辑加。加。A BY0 00 11 01 10111或逻辑运算真值表或逻辑运算真值表12实实现现或或逻逻辑辑的的单单元元电电路路称称为为或或门门，其其逻逻辑辑符符号号如如图图所所示示，其其中中图图(a)为为我我国国常常用用的的传传统统符符号号，图图(b)为为国国外外流流行行的的符号，符号，图图(c)为国标符号。为国标符号。或逻辑符号或逻辑符号 13 3.非运算非运算(逻辑反逻辑反)非非运运算算(逻逻辑辑反反)是是逻逻辑辑的的否否定定：当当条条件件具具备备时时，结结果果不不会会发发生生；而而条条件件不不具具备备时时，结结果果一一定定会会发发生生。例例如如，在在图图示示的的开开关关电电路路中中，只只有有当当开开关关A断断开开时时，灯灯Y才才亮亮，当当开开关关A闭闭合合时时，灯灯Y反反而而熄熄灭灭。灯灯Y的的状状态态总总是是与与开开关关A的的状状态态相相反反。这这种种结结果果总总是是同同条件相反的逻辑关系称为非逻辑。条件相反的逻辑关系称为非逻辑。非逻辑实例非逻辑实例 14AY0110非逻辑运算真值表非逻辑运算真值表 通常称通常称A为为原变量原变量，A为为反变量反变量。非逻辑的真值表如表所示，其逻辑表达式为非逻辑的真值表如表所示，其逻辑表达式为：15图图(a)为为我我国国常常用用的的传传统统符符号号，图图(b)为为国国外外流流行行的的符符号号，图图(c)为为国标符号。国标符号。非门逻辑符号非门逻辑符号 16二、复合逻辑运算二、复合逻辑运算1.与非、与非、或非、或非、与或非逻辑运算与或非逻辑运算与非与非逻辑运算是与运算和非运算的组合，逻辑运算是与运算和非运算的组合，即：即：或非或非逻辑运算是或运算和非运算的组合，逻辑运算是或运算和非运算的组合，即：即：与或非与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即：逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即：17逻辑符号逻辑符号(a)与非门；与非门；(b)或非门；或非门；(c)与或非门与或非门 18A BY0 00 11 01 10110异或逻辑真值表异或逻辑真值表 2.异或和同或逻辑运算异或和同或逻辑运算异异或或逻逻辑辑的的含含义义是是：当当两两个个输输入入变变量量相相异异时时，输输出出为为1；相相同同时时输输出出为为0。是是异异或或运运算算的的符符号号。异异或或逻逻辑辑的的真真值值表表如如表表所所示，示，其逻辑表达式为：其逻辑表达式为：19同同或或逻逻辑辑与与异异或或逻逻辑辑相相反反，它它表表示示当当两两个个输输入入变变量量相相同同时时输输出出为为1；相相异异时输出为时输出为0。是同或运算的符号。是同或运算的符号。A BY0 00 11 01 11001同或逻辑的真值表如表所示，同或逻辑的真值表如表所示，其逻辑表达式为：其逻辑表达式为：20异或门和同或门的逻辑符号异或门和同或门的逻辑符号 (a)异或门；异或门；(b)同或门同或门 212.3 逻辑代数的基本和常用公式逻辑代数的基本和常用公式序号序号公公 式式序号序号公公 式式10 0 A=0 010 1=0;0=121 A=A111+A=13A A=A120+A=A4A A=013A+A=A5A B=B A14A+A=16A(B C)=(A B)C15A+B=B+A7A(B+C)=A B+A C16A+(B+C)=(A+B)+C8(A B)=A+B17A+B C=(A+B)(A+C)9(A)=A18(A+B)=AB2.3.1 基本公式基本公式22公式（公式（17）的证明（公式推演法）：）的证明（公式推演法）：23公式（公式（17）的证明（真值表法）：）的证明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111242.3.2 若干常用公式若干常用公式序号公 式21A+A B=A22A+A B=A+B23A B+A B=A24A(A+B)=A25A B+A C+B C=A B+A CA B+A C+B CD=A B+A C26A(AB)=A B;A(AB)=A 252.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1.1.代入定理代入定理v在在任任何何一一个个含含变变量量A A的的等等式式中中，将将其其中中所所有有的的A A均均用用逻逻辑辑函函数数Y Y来取代，则等式仍然成立，这个规则称为代入定理。来取代，则等式仍然成立，这个规则称为代入定理。v因因为为任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数Y Y的的取取值值也也只只有有0 0和和1 1两两种种可可能能，所所以以代入规则是正确的。利用代入规则可扩大等式的应用范围。代入规则是正确的。利用代入规则可扩大等式的应用范围。逻辑代数中的三个重要定理逻辑代数中的三个重要定理26v对对逻逻辑辑函函数数Y Y 取取“非非”称称为为“反反演演”。反反演演可可以以通通过过“反反复复”使使用用摩摩根根定定理理求求得得，也也可可以以运运用用由由摩摩根根定定理理得得到到的的反反演演定定理理一一次求得。次求得。v反演定理规定：反演定理规定：v将逻辑函数将逻辑函数Y Y 中所有的中所有的注意两点：注意两点：(1)(1)变换时要保持原式中的运算顺序。变换时要保持原式中的运算顺序。(2)(2)不不是是在在“单单个个”变变量量上上面面的的“非非”号应保持不变。号应保持不变。2.2.反演定理反演定理271)“对偶式对偶式”设设Y 是一个逻辑函数表达式，如果将是一个逻辑函数表达式，如果将Y中所有的中所有的这样，就可得到一个新的逻辑函数表达式这样，就可得到一个新的逻辑函数表达式YD，YD就是就是Y 的对偶式。的对偶式。3.3.对偶定理对偶定理 28v注意两点：注意两点：v(1)(1)保持原式中的运算顺序。保持原式中的运算顺序。(2)(2)Y Y 的的对对偶偶式式Y YD D和和反反函函数数 Y Y 不不同同，在在求求Y YD D时时不不要要求求将将原原变变量量和和反反变变量量互互换换，所所以以一一般般情情况况下下Y YD D Y Y，只只有有在在特殊情况下，特殊情况下，Y YD D 和和 Y Y 才相等。才相等。29v如如果果两两个个逻逻辑辑式式子子F 和和G 相相等等，那那么么它它们们的的对对偶偶式式也也一一定定相相等等，这就是对偶定理。这就是对偶定理。利用对偶定理，可以从已知的公式中得到更多的运算公式。利用对偶定理，可以从已知的公式中得到更多的运算公式。例如：例如：A+AB=A+B成立，则它的对偶式成立，则它的对偶式A(A+B)=AB也成立。也成立。302.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法v2.5.1 逻辑函数逻辑函数 以以逻逻辑辑变变量量作作为为输输入入，以以运运算算结结果果作作为为输输出出，当当输输入入变变量量的的取取值值确确定定之之后后，输输出出的的取取值值也也随随之之而而定定。因因此此，输输入入与与输输出出之之间间是是一种函数关系，这种函数关系称为逻辑函数。写作一种函数关系，这种函数关系称为逻辑函数。写作 Y=F（A，B，C）31v真值表真值表v逻辑式逻辑式v逻辑图逻辑图v波形图波形图v卡诺图卡诺图v计算机软件中的描述方式计算机软件中的描述方式2.5.2 2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法各种表示方法之间可以相互转换。各种表示方法之间可以相互转换。321 1 逻辑真值表逻辑真值表 将将输输入入变变量量所所有有的的取取值值下下对对应应的的输输出出找找出出来来，列列成成表表格格，即得真值表。即得真值表。2 2 逻辑函数式逻辑函数式 将将输输入入输输出出的的逻逻辑辑关关系系写写成成与与、或或、非非等等运运算算的的组组合合式式，即即逻逻辑辑代代数数式式，就就得得到到了了所所需需的的逻逻辑辑函函数数式式，或或称称函函数数式式和表达式。和表达式。3 3 逻辑图逻辑图 将将逻逻辑辑函函数数中中的的与与、或或、非非等等逻逻辑辑关关系系用用逻逻辑辑符符号号表表示示出来，就得到了逻辑图。出来，就得到了逻辑图。334 4 波形图波形图 将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序排列起来，就得到了逻辑函数的波形图。的输出值按时间顺序排列起来，就得到了逻辑函数的波形图。5 5 各种表示方法之间的转换各种表示方法之间的转换 1 1）真值表与逻辑函数式）真值表与逻辑函数式 例例 已知举重裁判电路的真值表如下，写出它的逻辑函数已知举重裁判电路的真值表如下，写出它的逻辑函数式。式。34 真值表与表达式真值表与表达式 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 135v2 2）逻辑式与逻辑图）逻辑式与逻辑图 例例 Y=AY=A（B+CB+C），画出它的逻辑图。），画出它的逻辑图。详见书中详见书中P3135。1&Y A BC反之，也可从逻辑图写出逻辑式。反之，也可从逻辑图写出逻辑式。36各种表达形式的相互转换：各种表达形式的相互转换：真值表真值表 逻辑式逻辑式 A B CY0 0000 0100 1000 1111 0001 0111 1011 110那么那么 Y=?例：奇偶判别函数的真值表结果为例：奇偶判别函数的真值表结果为“1”A=0,B=1,C=1使使 ABC=1A=1,B=0,C=1使使 ABC=1A=1,B=1,C=0使使 ABC=1 这三种取值的任何一种都使这三种取值的任何一种都使Y=137 真值表真值表 逻辑式：逻辑式：1.找出真值表中使找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写的写原变量，取值为原变量，取值为0的写反变量。的写反变量。3.将这些变量相加即得将这些变量相加即得 Y。4.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表列表38逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。39 逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。402.5.3 2.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式逻辑函数有逻辑函数有最小项之和最小项之和和和最大项之积最大项之积两种标准形式。两种标准形式。一、一、最小项和最大项最小项和最大项1.最小项最小项 n个个变变量量的的最最小小项项是是n个个变变量量的的“与与项项”，其其中中每每个个变变量量都都以原变量或反变量的形式出现一次。以原变量或反变量的形式出现一次。两两个个变变量量A、B可可以以构构成成四四个个最最小小项项，三三个个变变量量A、B、C可可以构成八个最小项，可见以构成八个最小项，可见n个变量的最小项共有个变量的最小项共有2n个。个。41最小项最小项 m：vm是乘积项是乘积项v包含包含n个因子个因子vn个变量均以原变量或反变量的形式在个变量均以原变量或反变量的形式在m中出中出现一次现一次对于对于对于对于n n变量函数变量函数变量函数变量函数有有有有2 2n n个最小项个最小项个最小项个最小项42最小项举例：最小项举例：v两变量两变量A,B的最小项的最小项v三变量三变量A,B,C的最小项的最小项43最小项的编号：最小项的编号：最小项最小项A B C取值取值对应十进制数对应十进制数编号编号0 0 00 0 00m00 0 10 0 11m10 1 00 1 02m20 1 10 1 13m31 0 01 0 04m41 0 11 0 15m51 1 01 1 06m61 1 11 1 17m744最小项的性质最小项的性质v在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1 1。v全体最小项之和为全体最小项之和为1 1。v任何两个最小项之积为任何两个最小项之积为0 0。v两个两个相邻相邻的最小项之和可以的最小项之和可以合并合并，消去一对因子，只留下公，消去一对因子，只留下公共因子。共因子。相邻相邻：仅一个变量不同的最小项：仅一个变量不同的最小项,如如 45逻辑函数最小项之和的形式：逻辑函数最小项之和的形式：v例：利用公式利用公式可将任何一个可将任何一个函数化为化为46逻辑函数最小项之和的形式：逻辑函数最小项之和的形式：v例：例：47 *2.最大项最大项 n个个变变量量的的最最大大项项是是n个个变变量量的的“或或项项”，其其中中每每一一个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量的的形形式式出出现现一一次次。n个个变变量量可可以以构构成成2n个个最最大大项项。最最大大项项用用符符号号Mi表表示示。与与最最小小项项恰恰好好相相反反，对对于于任任何何一一个个最最大大项项，只只有有一一组组变变量量取取值值使使它它为为0，而而变变量量的的其其余余取取值值均均使它为使它为1。例如，或项例如，或项 仅和变量取值仅和变量取值101对应，对应，故用故用M5表示。表示。48最大项最大项M：vM是相加项；是相加项；v包含包含n个因子。个因子。vn个变量均以原变量和反变量的形式在个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。中出现一次。v如：两变量如：两变量A,B的最大项的最大项对于对于对于对于n n变量函数变量函数变量函数变量函数2 2n n个个个个49最大项的性质最大项的性质v在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0 0；v全体最大项之积为全体最大项之积为0 0；v任何两个最大项之和为任何两个最大项之和为1 1；v只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。50最大项的编号：最大项的编号：最大项最大项取值取值A B C对应十进制数对应十进制数 编号编号1 1 11 1 17M71 1 01 1 06M61 0 11 0 15M51 0 01 0 04M40 1 10 1 13M30 1 00 1 02M20 0 10 0 11M10 0 00 0 00M05152*二、二、逻辑函数最大项之积形式逻辑函数最大项之积形式532.5.4 逻辑函数式的变换同一个事物用逻辑函数表示可以有不同的表示形式。如：同一个事物用逻辑函数表示可以有不同的表示形式。如：542.6 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 在在进进行行逻逻辑辑运运算算时时会会看看到到，同同一一个个逻逻辑辑函函数数可可写写成成不不同同的的逻逻辑辑表表达达式式。逻逻辑辑式式越越简简单单，所所表表达达的的逻逻辑辑关关系系越越明明显显，所所用用器器件件少少，便便于于实实现现。例某逻辑函数的两种表达：例某逻辑函数的两种表达：这就涉及到逻辑函数的最简形式。最简这就涉及到逻辑函数的最简形式。最简与或式与或式-包含的乘积项已包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与与-或或逻辑式。逻辑式。55 化化简简逻逻辑辑函函数数的的目目的的就就是是要要消消去去多多余余的的乘乘积积项项和和每每个个乘乘积积项项中中多多余余的的因因子子，已已得得到到逻逻辑辑函函数数的的最最简简形形式式。常常用用的的化化简简方方法法有有公公式式法法、卡卡诺图法诺图法、Q-M（奎恩（奎恩-麦克拉斯基）法。麦克拉斯基）法。2.6.1 公式化简法公式化简法 反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。有并项法、吸收法、消项法、配项法和消因子法等。有并项法、吸收法、消项法、配项法和消因子法等。56例：例：试用并项法化简下列逻辑函数。试用并项法化简下列逻辑函数。一、并项法：利用一、并项法：利用AB+AB=A化简。化简。57例：例：试用吸收法化简下列逻辑函数。试用吸收法化简下列逻辑函数。二、吸收法：二、吸收法：利用利用A+AB=A可将可将AB消去。消去。58例：例：试用消项法化简下列逻辑函数。试用消项法化简下列逻辑函数。三、消项法：三、消项法：利用利用AB+AC+BC=AB+AC可将多余的可将多余的BC项消去。项消去。59例：例：试用消因子法化简下列逻辑函数。试用消因子法化简下列逻辑函数。四、消因子法：四、消因子法：利用利用A+AB=A+B可将多余的因子可将多余的因子A消去。消去。60例：例：试用配项法化简下列逻辑函数。试用配项法化简下列逻辑函数。五、配项法五、配项法：利用：利用A+A=A或或A+A=1化简逻辑函数。化简逻辑函数。612.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法 逻逻辑辑函函数数的的卡卡诺诺图图表表示示法法的的实实质质是是将将逻逻辑辑函函数数的的最最小小项项之之和和的的以以图图形的方式表示出来。形的方式表示出来。以以2n个个小小方方块块分分别别代代表表 n 变变量量的的所所有有最最小小项项，并并将将它它们们排排列列成成矩矩阵阵，而而且且使使几几何何位位置置相相邻邻的的两两个个最最小小项项在在逻逻辑辑上上也也是是相相邻邻的的（只只有有一一个个变变量量不同），就得到表示不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。变量全部最小项的卡诺图。一、逻辑函数的卡诺图表示法一、逻辑函数的卡诺图表示法62三变量卡诺图三变量卡诺图二变量卡诺图二变量卡诺图64四变量卡诺图四变量卡诺图65五变量卡诺图五变量卡诺图卡诺图具有如下特点：卡诺图具有如下特点：n变变量量的的卡卡诺诺图图有有2n个个方方格格，对对应应表表示示2n个个最最小小项项。当变量数增加一个，卡诺图的方格数就扩大一倍。当变量数增加一个，卡诺图的方格数就扩大一倍。卡卡诺诺图图中中任任何何几几何何位位置置相相邻邻的的两两个个最最小小项项，在在逻逻辑辑上上都都是是相相邻邻的的，保保证证了了各各相相邻邻行行(列列)之之间间只只有有一一个个变变量量取取值值不不同同，从从而而保保证证画画出出来来的的最最小小项项方方格格图图具具有有这这一一重重要特点。要特点。67那那么么如如何何用用卡卡诺诺图图表表示示逻逻辑辑函函数数呢呢？只只要要将将构构成成逻逻辑辑函函数数的的最最小小项项在在卡卡诺诺图图上上相相应应的的方方格格中中填填1，其其余余的的方方格格填填0(或或不不填填)，则则可可以以得得到到该该函函数数的的卡卡诺诺图图。也也就就是是说说，任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数都都等等于于其其卡卡诺诺图图上上填填1的的那那些些最最小小项项之和。之和。68例如例如:用卡诺图表示函数用卡诺图表示函数 时时，只只需需在在三三变变量量卡卡诺诺图图中中将将m0、m3、m4、m6处处填填1，其余填其余填0(或不填或不填)，如图，如图(a)所示。所示。同同理理，的的卡卡诺诺图图如如图图(b)所示。注意高位的位置。所示。注意高位的位置。69Y1、Y2的卡诺图的卡诺图 70二、用卡诺图化简逻辑函数二、用卡诺图化简逻辑函数1.合并最小项的规则合并最小项的规则1）若两个最小项相邻，则可合并为一项，并消去一对因子。）若两个最小项相邻，则可合并为一项，并消去一对因子。2）若四个最小相相邻并排成一个矩形组，则可合并为一项，）若四个最小相相邻并排成一个矩形组，则可合并为一项，并消去两对因子。如：并消去两对因子。如：71两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子。两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子。72v3）若若八八个个最最小小相相相相邻邻并并排排成成一一个个矩矩形形组组，则则可可合合并并为为一一项项，并消去三对因子。并消去三对因子。合并最小项的规则合并最小项的规则 若若有有2n个个最最小小相相相相邻邻并并排排成成一一个个矩矩形形组组，则则可可合合并并为为一一项项，并并消消去去n对对因因子子。合合并并后后的的结结果果中中仅仅包包含含这这些些最最小小项项的的公共因子。公共因子。2.卡诺图化简的步骤卡诺图化简的步骤1）将函数化为最小项之和的形式。）将函数化为最小项之和的形式。2）画出表示该逻辑函数的卡诺图。）画出表示该逻辑函数的卡诺图。3）找出可以合并的最小项。）找出可以合并的最小项。4）选取化简后的乘积项。）选取化简后的乘积项。73选取的原则：选取的原则：1.这这些些乘乘积积项项应应包包含含函函数数式式中中所所有有的的最最小小项项（应应覆覆盖盖卡卡诺诺图图中中所所有有的的1）。）。2.所所用用的的乘乘积积项项最最少少。也也就就是是每每个个可可以以合合并并的的最最小小项项组组成成的的矩矩形形组组数数目目最少。最少。3.每每个个乘乘积积项项包包含含的的因因子子最最少少。也也就就是是每每个个可可以以合合并并的的最最小小项项矩矩形形组组中中应包含尽量多的最小项。应包含尽量多的最小项。以下举例说明卡诺图化简的方法。以下举例说明卡诺图化简的方法。74例例：00 01 1 1 1 00011111101ABC75另一种方式：另一种方式：00 01 1 1 1 00011111101ABC76可见，有时同一个逻辑函数的化简结果并不唯一。可见，有时同一个逻辑函数的化简结果并不唯一。77例：例：0001111000 100101 100111 111110 1111ABCD78例：例：0001111000 100101 100111 111110 1111ABCD79v综综上上所所述述，用用卡卡诺诺图图化化简简时时，圈圈1或或圈圈0要要视视情情况况而而定定。当当0的的数数目目远小于远小于1的数目时，采用合并的数目时，采用合并0的方法会比合并的方法会比合并1来得简单。来得简单。802.7 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 1）对输入变量取值所加的限制称为约束。此变量称为具有约束的一组变）对输入变量取值所加的限制称为约束。此变量称为具有约束的一组变量。量。例如，有三个逻辑变量例如，有三个逻辑变量A、B、C，它们分别表示一台电动机的正转、，它们分别表示一台电动机的正转、反转和停转。反转和停转。vA=1表示正转，表示正转，B=1表示反转，表示反转，C=1表示停转。因为电动机任何时刻只表示停转。因为电动机任何时刻只能执行其中的一个命令，所以不允许两个以上的变量同时为能执行其中的一个命令，所以不允许两个以上的变量同时为1。ABC的的取值只可能是取值只可能是001、100、010当中的某一种，而不能是当中的某一种，而不能是000、011、101、110、111中的任何一种。因此中的任何一种。因此A、B、C是一组具有约束的变量。是一组具有约束的变量。约束条件为：约束条件为：这些恒等于这些恒等于0的最小项叫做约束项。的最小项叫做约束项。若约束项是若约束项是1还是还是0不影响输入变量，则这些项称为任意项。不影响输入变量，则这些项称为任意项。约束项和任意项统称为无关项。约束项和任意项统称为无关项。822.7.2 无关项在逻辑函数化简中的作用无关项在逻辑函数化简中的作用v无关项在卡诺图中写无关项在卡诺图中写X或或，视情况按，视情况按1或或0处理。处理。v例例 ：化简具有约束项的逻辑函数表达式：化简具有约束项的逻辑函数表达式 Y=m(5、6、7、8、9)+d(10、11、12、13、14、15)其中其中d(10、11、12、13、14、15)表示约束条件。表示约束条件。解：填卡诺图，化简为解：填卡诺图，化简为 Y=A+BD+BC83BDBCA84 例例 用卡诺图化简用卡诺图化简 Y(A、B、C、D)=m(3、4、5、6、9、14、15)+d(10、12、13)解：将解：将m项、项、d 项填入卡诺图。项填入卡诺图。n化简结果为：化简结果为：85860001111000 01x001 0 x1011x0 xx10 1x0 xABCD87000111100001x0010 x1011 x0 xx101x0 xABCD88例：例：0001111000 000101 1x0111 xxxx10 10 xxABCD89