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微分方程第四次课第1页，本讲稿共30页模型假设模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从数量变化均服从Logistic规律规律;两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比数量成正比;甲对乙有同样的作用。甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对相对于于N1)的的 1 倍。倍。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙大于甲作用，乙大于甲乙的竞争力强乙的竞争力强模型模型第2页，本讲稿共30页模型模型分析分析(平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性)(二阶二阶)非线性非线性(自治自治)方程方程的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x10,x20)代数方程代数方程的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点模型模型第3页，本讲稿共30页判断判断P0(x10,x20)稳定性稳定性的方法的方法直接法直接法(1)的近似线性方程的近似线性方程平衡点平衡点 P0稳定稳定(对对2,1)p 0 且且 q 0平衡点平衡点 P0不稳定不稳定(对对2,1)p 0 或或 q 0第4页，本讲稿共30页仅当仅当 1,2 1时，时，P3才有意义才有意义模型模型第5页，本讲稿共30页平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析平衡点平衡点 Pi 稳定条件：稳定条件：p 0 且且 q 0第6页，本讲稿共30页种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定不稳定平平 衡点衡点 21,11,P1,P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11,21P1稳定的条件稳定的条件 11?11 21,11P1,P2都不都不(局部局部)稳稳定定0(3)11,21,21,21加上与加上与(4)相区别的相区别的 11 P2 稳定稳定 P3 稳定稳定P1全局稳定全局稳定第9页，本讲稿共30页结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对相对于于N1)的的 1 倍。倍。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱 P1稳定的条件：稳定的条件：11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：稳定的条件：11,21 P3稳定的条件：稳定的条件：11,21通常通常 1 1/2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足第10页，本讲稿共30页 种群的相互依存种群的相互依存甲乙两甲乙两种群的相互依存有三种形式种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相时相互提供食物、促进增长。互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。提供食物、促进增长。第11页，本讲稿共30页模型模型假设假设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律规律;甲甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从服从Logistic规律规律)。模型模型乙为甲提供食物是乙为甲提供食物是甲消耗的甲消耗的 1 倍倍甲为乙提供食物是甲为乙提供食物是乙消耗的乙消耗的 2 倍倍第12页，本讲稿共30页种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件稳定条件不稳定不稳定平衡点平衡点第13页，本讲稿共30页平衡点平衡点P2稳定稳定性的相轨线性的相轨线0 11,1 21 P2稳定稳定第14页，本讲稿共30页 1 21 前提下前提下P2存在的必要条件存在的必要条件结果结果解释解释 21 甲必须为乙提供足够的食物甲必须为乙提供足够的食物甲甲为乙提供的食物是乙消耗的为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍倍 11,1 21条件下使条件下使 1 21 成立成立 P2稳定条件：稳定条件：11,1 2 0P:临界状态临界状态 q 0P 不稳定不稳定 第18页，本讲稿共30页tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件用数学软件MATLAB求求微分方程数值解微分方程数值解xy 平面上的相轨线平面上的相轨线第19页，本讲稿共30页计算结果（数值，图形）计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线是封闭曲线观察，猜测观察，猜测x(t),y(t)的周期约为的周期约为9.6xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9用数值积分可算出用数值积分可算出 x(t),y(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25,y(t)的平均值约为的平均值约为10。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)第20页，本讲稿共30页 消去消去dt用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性c 由初始条件确定由初始条件确定取指数取指数第21页，本讲稿共30页x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性相轨线相轨线时无相轨线时无相轨线以下设以下设第22页，本讲稿共30页y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为相轨线退化为P点点 存在x1x0 x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线相轨线P中心中心第23页，本讲稿共30页相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数是周期函数(周期记周期记 T)求求x(t),y(t)在一周期的平均值在一周期的平均值轨线轨线中心中心用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性第24页，本讲稿共30页T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t)的的“相位相位”领先领先 y(t)模型解释模型解释初值初值相轨线的方向相轨线的方向第25页，本讲稿共30页模型解释模型解释r 食饵增长率食饵增长率d 捕食者死亡率捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力捕食者捕食者 数量数量食饵食饵数量数量Pr/ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比,与与a成反比成反比食饵食饵数量与数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比第26页，本讲稿共30页模型模型解释解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞捕捞战时战时捕捞捕捞rr-2,dd+2,2 1xy食饵食饵(鱼鱼)减少，减少，捕食者捕食者(鲨鱼鲨鱼)增加增加自然环境自然环境 还表明：对还表明：对害虫害虫(食饵食饵)益虫益虫(捕食者捕食者)系统，系统，使用灭两种使用灭两种虫的虫的杀虫剂杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。会使害虫增加，益虫减少。第27页，本讲稿共30页食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)的缺点与改进的缺点与改进Volterra模型模型改写改写多数多数食饵食饵捕食者系统观察不到周期震荡捕食者系统观察不到周期震荡,而而是趋向某个平衡状态是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点即存在稳定平衡点加加Logistic项项有有稳定平衡点稳定平衡点第28页，本讲稿共30页 相轨线是封闭曲线，结构不稳定相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一条一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)的缺点与改进的缺点与改进r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18相轨线趋向极限环相轨线趋向极限环结构稳定结构稳定 第29页，本讲稿共30页两种群模型的几种形式两种群模型的几种形式 相互竞争相互竞争相互依存相互依存弱肉强食弱肉强食第30页，本讲稿共30页
