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数学建模模糊数学数学建模模糊数学数学建模模糊数学数学建模模糊数学第1页，本讲稿共80页一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：集合：具有某种特定属性的对象集体。具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母通常用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中的每个对象中的每个对象u称为称为U的的元素元素。模糊集合及其运算模糊集合及其运算第2页，本讲稿共80页在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：其中其中函数函数 称为集合称为集合A的特征函数。的特征函数。模糊集合及其运算模糊集合及其运算第3页，本讲稿共80页 罗素（罗素（Russell）悖论：）悖论：在一个孤岛上唯一的一个理在一个孤岛上唯一的一个理发师，其工作是发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？取论域取论域U=全岛刮胡子的人全岛刮胡子的人，集合集合A=不给自己刮胡子的人不给自己刮胡子的人，用特征函数刻画为，用特征函数刻画为问题：问题：显然理发师显然理发师 ，那么理发师是否属于，那么理发师是否属于A？模糊集合及其运算模糊集合及其运算第4页，本讲稿共80页二、模糊集合及其运算二、模糊集合及其运算美国控制论专家美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的教授正视了经典集合描述的“非此即彼非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么简单，而概念的差异常以那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼亦此亦彼”的模糊现象。的模糊现象。基于此，基于此，1965年，年，Zadeh教授在教授在Information and Control杂志上发表了一篇开创性论文杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,标志着模糊数学的诞生。标志着模糊数学的诞生。模糊集合及其运算模糊集合及其运算第5页，本讲稿共80页1、模糊子集、模糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函数数，称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通常用A来表示来表示 和和 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算第6页，本讲稿共80页模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数的集合组成一个小数的集合”可表示为可表示为可省略可省略模糊集合及其运算模糊集合及其运算第7页，本讲稿共80页（3）向量表示法）向量表示法（2）序偶表示法）序偶表示法若论域若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为：模糊集合及其运算模糊集合及其运算第8页，本讲稿共80页2、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：余：余：表示取大；表示取大；表示取小。表示取小。模糊集合及其运算模糊集合及其运算第9页，本讲稿共80页几个常用的算子：几个常用的算子：（1）Zadeh算子算子（2）取大、乘积算子）取大、乘积算子（3）环和、乘积算子）环和、乘积算子模糊集合及其运算模糊集合及其运算第10页，本讲稿共80页（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子（5）有界和、乘积算子）有界和、乘积算子（6）Einstain算子算子模糊集合及其运算模糊集合及其运算第11页，本讲稿共80页3、模糊矩阵、模糊矩阵定义：定义：设设 称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，称称R为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义定义：设：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义相等：相等：包含：包含：模糊集合及其运算模糊集合及其运算第12页，本讲稿共80页并：并：交：交：余：余：例：例：模糊集合及其运算模糊集合及其运算第13页，本讲稿共80页（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵为为A与与B的合成，其中的合成，其中 。例：例：模糊集合及其运算模糊集合及其运算第14页，本讲稿共80页（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：定义：设设 称称 为为A的的转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵定义：定义：设设 对任意的对任意的 称称为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中模糊集合及其运算模糊集合及其运算第15页，本讲稿共80页例：例：模糊集合及其运算模糊集合及其运算第16页，本讲稿共80页三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合（4）U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，制约着制约着 的运动。的运动。可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖致使致使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。模糊集合及其运算模糊集合及其运算第17页，本讲稿共80页特点：在各次试验中，特点：在各次试验中，是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出（2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对对A的隶属度：的隶属度：模糊集合及其运算模糊集合及其运算第18页，本讲稿共80页2、指派方法、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。3、其它方法、其它方法德尔菲法：专家评分法；德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算模糊集合及其运算第19页，本讲稿共80页模糊聚类分析模糊聚类分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理第20页，本讲稿共80页模糊聚类分析模糊聚类分析第21页，本讲稿共80页例：设对于模糊等价矩阵例：设对于模糊等价矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析第22页，本讲稿共80页模糊聚类分析模糊聚类分析第23页，本讲稿共80页例：设有模糊相似矩阵例：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析第24页，本讲稿共80页二、模糊聚类的一般步骤二、模糊聚类的一般步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析第25页，本讲稿共80页（1）标准差标准化）标准差标准化模糊聚类分析模糊聚类分析第26页，本讲稿共80页（2）极差正规化）极差正规化（3）极差标准化）极差标准化（4）最大值规格化）最大值规格化其中：其中：模糊聚类分析模糊聚类分析第27页，本讲稿共80页、建立模糊相似矩阵、建立模糊相似矩阵（1）相似系数法）相似系数法夹角余弦法夹角余弦法相关系数法相关系数法模糊聚类分析模糊聚类分析第28页，本讲稿共80页（2）距离法）距离法Hamming距离距离Euclid距离距离Chebyshev距离距离模糊聚类分析模糊聚类分析第29页，本讲稿共80页（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法算术平均最小法算术平均最小法几何平均最小法几何平均最小法模糊聚类分析模糊聚类分析第30页，本讲稿共80页3 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法）模糊传递闭包法步骤：步骤：模糊聚类分析模糊聚类分析第31页，本讲稿共80页模糊聚类分析模糊聚类分析第32页，本讲稿共80页解：解：由题设知特性指标矩阵为由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为采用最大值规格化法将数据规格化为模糊聚类分析模糊聚类分析第33页，本讲稿共80页用最大最小法构造用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊相似矩阵得到用平方法合用平方法合成传递闭包成传递闭包模糊聚类分析模糊聚类分析第34页，本讲稿共80页取取 ，得，得模糊聚类分析模糊聚类分析第35页，本讲稿共80页取取 ，得，得取取 ，得，得模糊聚类分析模糊聚类分析第36页，本讲稿共80页取取 ，得，得取取 ，得，得模糊聚类分析模糊聚类分析第37页，本讲稿共80页画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：0.70.630.620.531模糊聚类分析模糊聚类分析第38页，本讲稿共80页模糊聚类分析的简要流程模糊聚类分析的简要流程:YN第39页，本讲稿共80页模糊模式识别模糊模式识别模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。第40页，本讲稿共80页一一最最大大隶隶属属原原则则最大隶属原则最大隶属原则：最大隶属原则最大隶属原则：模糊模式识别模糊模式识别第41页，本讲稿共80页按最大隶属原则，按最大隶属原则，该人属于老年。该人属于老年。解：解：模糊模式识别模糊模式识别第42页，本讲稿共80页模糊模式识别模糊模式识别第43页，本讲稿共80页模糊模式识别模糊模式识别第44页，本讲稿共80页阈值原则：阈值原则：模糊模式识别模糊模式识别第45页，本讲稿共80页二、择近原则二、择近原则1、贴近度、贴近度表示两个模糊集表示两个模糊集A，B之间的之间的贴近贴近程程度度。模糊模式识别模糊模式识别第46页，本讲稿共80页 C=C=故故B比比A更贴近于更贴近于.模糊模式识别模糊模式识别第47页，本讲稿共80页模糊模式识别模糊模式识别第48页，本讲稿共80页模糊模式识别模糊模式识别第49页，本讲稿共80页2、择近原则、择近原则模糊模式识别模糊模式识别第50页，本讲稿共80页模糊模式识别模糊模式识别第51页，本讲稿共80页模糊模式识别模糊模式识别第52页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判一、一级模糊综合评判一、一级模糊综合评判第53页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第54页，本讲稿共80页根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：模糊综合评判模糊综合评判第55页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第56页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第57页，本讲稿共80页其中：其中：模糊综合评判模糊综合评判第58页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第59页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第60页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第61页，本讲稿共80页二、多级模糊综合评判（以二级为例）二、多级模糊综合评判（以二级为例）问题：问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面对高等学校的评估可以考虑如下方面模糊综合评判模糊综合评判第62页，本讲稿共80页二级模糊综合评判的步骤：二级模糊综合评判的步骤：模糊综合评判模糊综合评判第63页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第64页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第65页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第66页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第67页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第68页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第69页，本讲稿共80页模糊综合评判模糊综合评判第70页，本讲稿共80页模糊线性规划模糊线性规划第71页，本讲稿共80页模糊线性规划模糊线性规划第72页，本讲稿共80页解模糊线性规划的基思想：化为普通线性规划。解模糊线性规划的基思想：化为普通线性规划。请注意模糊线性规划（请注意模糊线性规划（2）与普通线性规划（）与普通线性规划（3）的区别与联系。的区别与联系。模糊线性规划模糊线性规划第73页，本讲稿共80页模糊线性规划模糊线性规划第74页，本讲稿共80页模糊线性规划模糊线性规划第75页，本讲稿共80页模糊线性规划模糊线性规划第76页，本讲稿共80页模糊线性规划模糊线性规划第77页，本讲稿共80页模糊线性规划模糊线性规划第78页，本讲稿共80页模糊线性规划模糊线性规划第79页，本讲稿共80页模糊线性规划模糊线性规划第80页，本讲稿共80页