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数学模型差分方程第1页，本讲稿共52页1.11.1差分方程差分方程 给定一个数列，如果和数列中在它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数 的整数都有效，则称这个方程为差分方程。例1汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为试建立关于的差分方程。解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩B或C上，这需要移动次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B上，这需要移动1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B上，这又要第2页，本讲稿共52页移动次，于是得差分方程：例2设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增的小兔也按此规律繁殖。设第n月末共有对兔子，试建立关于的差分方程。解：第n月末兔子包括两部分，一部分为上月留下来的，另外一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月兔子对数，所以第3页，本讲稿共52页 一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法形如的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中 是常数，且方程(2)称为差分方程（1）的特征方程。方程（2）的k个根称为差分方程（1）的特征根。第4页，本讲稿共52页 定理1设差分方程的特征根互不相同，则该差分方程的通解为：其中为任意常数。定理2设是差分方程的特征方程相异的根，且是特征方程的重根，则该差分方程的通解为：其中第5页，本讲稿共52页定理3设差分方程的特征根出现一对共轭复根和k-2个不同实根则差分方程的通解为：其中第6页，本讲稿共52页 例3.设初始值为，求差分方程的特解.解：该差分方程对应的特征方程为其根为：，所以故通解为代入初始条件有第7页，本讲稿共52页解之得:故所求初值问题的特解为：二.常系数线性差分方程的Z变换解法设有离散函数（数列），则的Z变换定义为其中z是复变量，因此级数的收敛域为某个圆的外部。第8页，本讲稿共52页的Z反变换记作(1)单位脉冲函数的Z变换为1.几个常用离散函数的变换(2)单位阶跃函数的变换为(3)单边指数函数的变换为第9页，本讲稿共52页2.Z变换的性质(1)线性性设则其中为常数，收敛域为 的公共收敛域。(2)平移性设，则a.特别地证：第10页，本讲稿共52页b.特别地证：例4.求齐次差分方程的解。解：令，对差分方程求变换得：第11页，本讲稿共52页对上式求Z的反变换得：这就是所求方程的解。第12页，本讲稿共52页二、常系数线性非齐次差分方程的求解形如的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程，其中 是常数，且定理4方程（3）的通解等于它对应的齐次差分方程（1）的通解加上它本身的一个特解，即其中是（1）的通解，是（3）的一个特解。注意：求常系数线性非齐次差分方程的特解可参照求常系数线性非齐次微分方程的特解的方法。第13页，本讲稿共52页例5求非齐次差分方程的通解。解：对应的齐次差分方程的特征方程为特征根为所以对应的齐次差分方程的通解为由所给非齐次差分方程的右端，可设其特解为代入原方程得故所求方程的通解为第14页，本讲稿共52页有些非齐次差分方程还可以化为齐次方程求解或用观察法求特解例6求解汉诺塔问题：解：方法一由得两试相减得其特征方程为特征根为故通解为由知将代入得故所求问题的解为第15页，本讲稿共52页方法二对应的齐次差分方程的通解为观察有特解故通解为由初始条件得所求问题的解为例7求差分方程的通解。对应的齐次差分方程的通解为观察有特解故通解为第16页，本讲稿共52页三、差分方程的平衡点及稳定性1.一阶线性差分方程的平衡点及稳定性一阶线性常系数差分方程的平衡点由解得，为则平衡点是稳定的，否则是不稳定的。易知，可以用变量代换将（4）的平衡点的稳定性问题转换为的平衡点的稳定性问题。而方程（5）的解为所以当且仅当时，方程（5）的平衡点（从而方程（4）的第17页，本讲稿共52页平衡点）才是稳定的。对于n 维向量常数矩阵A构成的方程组其平衡点稳定的条件是矩阵A特征根2.二阶线性差分方程的平衡点及稳定性考察二阶线性差分方程的平衡点的稳定性.(6)的通解为其中常数由初始条件确定,由(7)得,当且仅当第18页，本讲稿共52页时方程（6）的平衡点才是稳定的.与一阶线性差分方程一样,二阶线性非齐次差分方程的平衡点的稳定性与方程（6）相同.二阶线性方程的上述结果可以推广到n阶线性方程,即n阶线性方程平衡点的稳定的条件是特征方程的根3.一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性一阶非线性差分方程第19页，本讲稿共52页的平衡点由代数方程解出,现分析的稳定性.将方程(9)的右边在点作泰勒展开,只取一次项,(9)近似为(10)是(9)的近似线性方程,也是(10)的平衡点,而当时,方程(9)与(10)的平衡点的稳定性相同,因此对于方程(9),是稳定的;对于方程(9),是不稳定的.第20页，本讲稿共52页1.2 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡第21页，本讲稿共52页蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 第22页，本讲稿共52页xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg 曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型 第23页，本讲稿共52页在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方 程程 模模 型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致第24页，本讲稿共52页 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 ,的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格经济稳定经济稳定结果解释结果解释第25页，本讲稿共52页经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直第26页，本讲稿共52页模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件第27页，本讲稿共52页方程通解方程通解(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定)1,2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 平衡点稳定，即平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件:平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了模型的推广模型的推广第28页，本讲稿共52页1.3 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.第29页，本讲稿共52页模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，千克，每周吸收热量不要小于每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。第30页，本讲稿共52页某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。第31页，本讲稿共52页 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变第32页，本讲稿共52页 第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划第33页，本讲稿共52页 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型第34页，本讲稿共52页 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。第35页，本讲稿共52页运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)基本基本模型模型第36页，本讲稿共52页3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变 不运动不运动 运动运动(内容同前内容同前)第37页，本讲稿共52页1.4 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点第38页，本讲稿共52页离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程(1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡的平衡点点第39页，本讲稿共52页(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性第40页，本讲稿共52页01的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳定稳定x*不稳定不稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=0不稳定不稳定第41页，本讲稿共52页01/2101的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性第42页，本讲稿共52页初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果b 3.57,不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛第46页，本讲稿共52页的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b第47页，本讲稿共52页1.5 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di,存活率存活率为为si=1-di第48页，本讲稿共52页假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)(设至少设至少1个个bi0)第49页，本讲稿共52页稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1，若若L矩阵存在矩阵存在bi,bi+10,则则 P的第的第1列是列是x*特征向量特征向量,c是由是由bi,si,x(0)决定的常决定的常数数 且且解解释释L对角化对角化第50页，本讲稿共52页稳态分析稳态分析k充分大充分大种种群按年龄组的分布群按年龄组的分布 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布,与初始分布无关。与初始分布无关。各年龄组种群数量按同一倍各年龄组种群数量按同一倍数增减，数增减，称固有增长率称固有增长率与基本模型与基本模型比较比较3）=1时时 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变第51页，本讲稿共52页 1个个体在整个存活期内个个体在整个存活期内的繁殖数量为的繁殖数量为1稳态分析稳态分析存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较）3）=1时时第52页，本讲稿共52页