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勾股定理的证明第1页，本讲稿共22页勾 股 定 理命 名 来 源勾 股 趣 事定 理 证 明325242谈 谈 感 想第2页，本讲稿共22页acb 如果直角如果直角三三角形的两条直角角形的两条直角边长分别为边长分别为a a，b b，斜边长为，斜边长为c c，那么那么 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2即：直角三角形两直角边的平方和等即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方于斜边的平方勾股定理返回第3页，本讲稿共22页 在中国古代，人们把弯曲成直角的手在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”我国古代学者把直角三角形较短的直我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”勾股命名来源返回第4页，本讲稿共22页商 高 定 理毕达哥拉斯定理百 牛 定 理宇 宙 探 索赵爽弦图勾股趣事总统与勾股定理第5页，本讲稿共22页商 高 定 理商高是公元前十一世纪的西周人在中国古代的数学著作周髀商高是公元前十一世纪的西周人在中国古代的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话算经中记录着商高同周公的一段对话商高说：商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五故折矩，勾广三，股修四，经隅五”意思就是说：意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为当直角三角形的两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，径隅（就是（长边）时，径隅（就是弦）则为弦）则为5 5以后人们就简单地把这个事实说成以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”由于由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以在我国人们就把这个定勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以在我国人们就把这个定理叫作理叫作 “商高定理商高定理”关于勾股定理的发现，周髀算经上说：关于勾股定理的发现，周髀算经上说：“故禹之所以治天故禹之所以治天下者，此数之所由生也下者，此数之所由生也”“此数此数”指的是指的是“勾三股四弦五勾三股四弦五”，这，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的的返回勾股趣事第6页，本讲稿共22页朱实中黄实 我国对勾股定理的证明采取的是割补我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的勾股圆方图注在这篇短文中，赵的勾股圆方图注在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的爽画了一张他所谓的“弦图弦图”，其中每一，其中每一个直角三角形称为个直角三角形称为“朱实朱实”，中间的一个，中间的一个正方形称为正方形称为“中黄实中黄实”，以弦为边的大正，以弦为边的大正方形叫方形叫“弦实弦实”20022002年在北京召开的国际数学家大会年在北京召开的国际数学家大会会徽会徽赵 爽 弦 图返回证明勾股趣事第7页，本讲稿共22页毕达哥拉斯定理 “勾股定理勾股定理”在国外，尤其在西方被称为在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”或或“百牛定理百牛定理”毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，这位善于观颇有怨言毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，这位善于观察和理解的数学家不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是察和理解的数学家不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和他很好奇，于是再以两块磁砖拼现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5 5块磁砖的面块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任积，也就是以两股为边作正方形面积之和至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和那一顿饭，这位古希腊何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面，就这样毕达哥拉斯也发现了勾股定理数学大师，视线都一直没有离开地面，就这样毕达哥拉斯也发现了勾股定理 毕达哥拉斯（Pythagoras，前572前497），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年返回证明勾股趣事第8页，本讲稿共22页毕达哥拉斯毕达哥拉斯发现了勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百发现了勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理百牛定理”勾股勾股定理流传最广的证明载于欧几里定理流传最广的证明载于欧几里德德（Euclid，是公元前三百年左右，是公元前三百年左右的人）的几何原本中，欧几里德在编著几何原本时，的人）的几何原本中，欧几里德在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了，以后就流传开了1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现1955年希腊发行的印有勾股定理图案的邮票 百 牛 定 理返回勾股趣事第9页，本讲稿共22页总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的：过是这样的：1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和和4，那么斜边长，那么斜边长为多少呢？为多少呢？”伽菲尔德答到：伽菲尔德答到：“是是5呀呀”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分如果两条直角边分别为别为5和和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回伽菲尔德不加思索地回答到：答到：“那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先先生，你能说出其中的道理吗？生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法总统与勾股定理返回证明勾股趣事第10页，本讲稿共22页宇 宙 探 索 几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在 当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许能够知道勾股定理 返回勾股趣事第11页，本讲稿共22页 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法勾股定理的证明3传说中毕达哥拉斯的证法1赵爽弦图的证法5向常春的证法4美国第20任总统茄菲尔德的证法2刘徽的证法6其它的证明方法第12页，本讲稿共22页abbacca2+b2c2赵爽弦图的证法(1)返回定理证明第13页，本讲稿共22页a2+b2=c2(b-a)2+4ab赵爽弦图的证法(2)cbab-ac2返回定理证明第14页，本讲稿共22页刘徽在九章算术刘徽在九章算术中对勾股定理的证明：中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也开方除之，即弦也 abc青青朱朱出入出入图图刘徽的证法返回定理证明第15页，本讲稿共22页 关于勾股定理的关于勾股定理的证明，明，现在人在人类保存下来的最早的文字保存下来的最早的文字资料是料是欧几里得（公元前欧几里得（公元前300年左右）所著的几何原本第一卷中的命年左右）所著的几何原本第一卷中的命题47：“直角三角形斜直角三角形斜边上的正方形等于两直角上的正方形等于两直角边上的两个正方形上的两个正方形之和之和”其其证明是用面明是用面积来来进行的行的传说中毕达哥拉斯的证法已知：如图，以在已知：如图，以在RtABC中，中，ACB=90。求证：求证：a2+b2=c2返回定理证明cbaBAC第16页，本讲稿共22页FGDEHKcbaBACMN S S正方形正方形ACHKACHK=2S=2SABKABK S SABKABK=AK=AKHK=bHK=b2 2 S SACDACD=AD=ADDN=cDN=c2 2 S S长方形长方形ADNMADNM=2S=2SACDACD又又 ABKABK ACDACD S SABKABK=S=SACDACD S S正方形正方形ACHKACHK=S=S长方形长方形ADNMADNM 同理：同理：S S正方形正方形B BCGFCGF=S=S长方形长方形BEBENMNM S S矩形矩形ADNMADNMS S矩形矩形MNEBMNEBS S正方形正方形ACHKACHKS S正方形正方形CBFGCBFG 即即 S S正方形正方形ADEBADEBS S正方形正方形ACHKACHKS S正方形正方形CBFGCBFG 传说中毕达哥拉斯的证法定理证明证明：从证明：从RtABC的三边向外各作一个正方形（如图），作的三边向外各作一个正方形（如图），作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成两个矩形连结被分成两个矩形连结CD和和KB即：即：a2+b2=c2返回第17页，本讲稿共22页CCabbaABCDE总统巧证勾股定理S梯形ABCD (a+b)(a+b)(a2+2ab+b2)S梯形梯形ABCD2ab+c2 (2ab+c2)a2+b2=c2返回定理证明第18页，本讲稿共22页向常春的证明方法 注注:这一方法是向常春于这一方法是向常春于1994年年3月月20日构想发现的新日构想发现的新法法返回定理证明Cbca-bBADEabcF S S四边形四边形AECDAECD=S=SADEADE+S+SCDECDE =DE=DEAF+DEAF+DECFCF =DE(AF+CF)=DE(AF+CF)=c =c2 2第19页，本讲稿共22页aaaabbbbcC2试 一 试 我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的a2+b2=c2aabbcbbaaca2b2+c返回定理证明第20页，本讲稿共22页试 一 试大正方形的面积为：大正方形的面积为：大正方形的面积为：大正方形的面积为：(a+b)2c2+2ab=a2+b2+2aba2+b2=c2aaaabbbbc返回定理证明第21页，本讲稿共22页通过对勾股定理趣事通过对勾股定理趣事以及定理证明的了解，你以及定理证明的了解，你有何感想？有何感想？退出感 想第22页，本讲稿共22页