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直线和平面直线和平面第1页，本讲稿共26页这是偶然的巧合，还是必然？A1CBC1？AaOPPO a？C B A1B1 C1A D D1第2页，本讲稿共26页AaOP 已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，aAO。求证：aPO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。第3页，本讲稿共26页AaOP证明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA a第4页，本讲稿共26页三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。AaOPaPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA a证明：第5页，本讲稿共26页PCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BCM第6页，本讲稿共26页例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD(3)在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD第7页，本讲稿共26页(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBDPOABCD证明:ABCD为正方形 O为BD的中点 AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AC是PC在ABCD上的射影PCBD第8页，本讲稿共26页PMCAB(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMBCAM证明:PB=PCM是BC的中点PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影第9页，本讲稿共26页(3)在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知 A1CBC1 第10页，本讲稿共26页PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解解题题回回顾顾，怎么找？第11页，本讲稿共26页三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOa第12页，本讲稿共26页PAOabcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：相交直线相交直线 异面直线异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解解题题回回顾顾第13页，本讲稿共26页直线a 一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOa例如：当 b 时，bOA注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但但 b不垂直于OP 解解题题回回顾顾第14页，本讲稿共26页若a是平面的斜线，直线b垂直于 a在平面内的射影，则 ab （）若PO是平面的斜线,b,直线 b垂直于PO在平面内的射影，则 POb （）若a是平面的斜线，直线b 且b垂直于a在另一平面内的射 影则ab （）若 a是平面的斜线，平面内 的直线b垂直于a在平面内的射 影，则 ab （）练习：判断下列命题的真假：面ABCD 面直线A1C 斜线 a直线B1B 垂线 bADCBA1D1C1B1面B1BCC1面第15页，本讲稿共26页PAOab已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影，a ,a AO，b求证：POb若PO是平面的斜线,b,直线 b垂直于PO在平面内的射影，则 POb第16页，本讲稿共26页PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直PAOa线面垂直 线斜垂直PAOa直 线 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直第17页，本讲稿共26页线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？第18页，本讲稿共26页 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理第19页，本讲稿共26页三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定 理逆定理第20页，本讲稿共26页例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：BAO=CAO分析：要证 BAO=CAO只须证OE=OF,OEAB,OFACP C B A O F E?证明：PO OE、OF是PE、PF在内的射影 PE=PF OE=OF由OE是PE的射影且PEAB OEAB同理可得OFAC结论成立第21页，本讲稿共26页1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点，F在AB上，且C1EEF，则EF与GD所成的角的大小为（）(A)30(B)45(C)60(D)90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1内的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG练习与作业第22页，本讲稿共26页教学小结教学小结 1.用三垂线定理或逆定理证明线段垂直要比线用三垂线定理或逆定理证明线段垂直要比线面垂直证明简单面垂直证明简单,三垂线定理本身就是由线面垂三垂线定理本身就是由线面垂直证得的直证得的.应用三垂线定理时要善于发现其结构应用三垂线定理时要善于发现其结构,通常是发现平面的垂线通常是发现平面的垂线,进而发现斜线进而发现斜线,射影射影,面面内的直线内的直线,这些直线都是相对于同一个平面的这些直线都是相对于同一个平面的.2.2.学法指导学法指导:探究法探究法,数形结合法数形结合法.第23页，本讲稿共26页今天作业今天作业P.27 练习练习 T.2 P.29 习题习题 T.11第24页，本讲稿共26页例4 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBCDOBC，于是ADBC.证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，第25页，本讲稿共26页2.已知 PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是ABC的垂心。CBPAH3.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。4.在ABCDA1B1C1D1中，求证：AC1平面BC1DD1DCBAC1B1A1第26页，本讲稿共26页
