《三角形的证明》公开课课件.ppt
第一章三角形的证明第一章三角形的证明（复习课）（复习课）龙城中学龙城中学 胡宜华胡宜华等腰三角形等腰三角形直角三角形直角三角形线段的垂直平分线线段的垂直平分线 角平分线角平分线 三三角角形形的的证证明明 复习目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等 本章复习的重难点：1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定；2.线段垂直平分线的做法，角平分线的做法；3.利用直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质灵活解题 （本节课以第2、3两点为主）知识归纳1等腰三角形的性质等腰三角形的性质性质性质(1)：等腰三角形的两个底角：等腰三角形的两个底角 .性性质质(2)：等等腰腰三三角角形形顶顶角角的的 、底底边边上上的的 、底边上的高互相重合底边上的高互相重合2等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)定义：有两条边定义：有两条边 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形(2)等等角角对对等等边边：有有两两个个角角 的的三三角角形形是是等等腰腰三三角形角形相等相等平分线平分线中线中线相等相等相等相等3用反证法证明的一般步骤用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；(2)从从这这个个假假设设出出发发，应应用用正正确确的的推推论论方方法法，得得出出与与定定义义、公公理理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确4等边三角形的判定等边三角形的判定(1)有一个角等于有一个角等于60的的 三角形是等边三角形；三角形是等边三角形；等腰等腰(2)三三边边相等的三角形叫做等相等的三角形叫做等边边三角形；三角形；(3)三个角相等的三角形是等三个角相等的三角形是等边边三角形；三角形；(4)有两个角等于有两个角等于60的三角形是等的三角形是等边边三角形三角形5直角三角形的性质直角三角形的性质在在直直角角三三角角形形中中，如如果果一一个个锐锐角角等等于于30，那那么么它它所所对对的的直直角角边边等于斜等于斜边边的的 .6勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角勾股定理：直角三角形两条直角边边的平方和等于斜的平方和等于斜边边的的 逆逆定定理理：如如果果三三角角形形两两边边的的平平方方和和等等于于第第三三边边的的平平方方，那那么么这这个三角形是个三角形是 三角形三角形一半一半平方平方直角直角1、已知等腰三角形的一个内角为、已知等腰三角形的一个内角为40，则这个等腰三角形的，则这个等腰三角形的顶角为顶角为 ()A100 B40 C100或或 40 D602、等腰三角形的两条边长分别为、等腰三角形的两条边长分别为5 cm和和6 cm，则它的周长是，则它的周长是_3、边长为、边长为6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度为的等边三角形中，其一边上高的长度为_4、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是构成直角三角形的是 ()A3，4，5 B6，8，10C.2，3,4 D5，12，13比比看谁反应快比比看谁反应快7线段的垂直平分线的性质定理及判定定理线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性性质质定定理理：线线段段的的垂垂直直平平分分线线上上的的点点到到这这条条线线段段两两个个端端点点的距离的距离 .判判定定定定理理：到到一一条条线线段段两两个个端端点点距距离离相相等等的的点点，在在这这条条线线段的段的 上上点点拨拨 线线段段的的垂垂直直平平分分线线可可以以看看作作和和线线段段两两个个端端点点距距离离相相等的所有点的集合等的所有点的集合相等相等垂直平分线垂直平分线8三线共点三线共点三三角角形形三三条条边边的的垂垂直直平平分分线线相相交交于于 ，并并且且这这一一点点到三角形三个顶点的距离到三角形三个顶点的距离 .9角平分线的性质定理及判定定理角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 .判判定定定定理理：在在一一个个角角的的内内部部，且且到到角角的的两两边边 相相等等的的点，在这个角的平分线上点，在这个角的平分线上相等相等相等相等距离距离一点一点 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等两个端点的距离相等.MNAB,CA=CB(MNAB,CA=CB(已知已知)PA=PBPA=PB（线段垂直平分线上的任意一点（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）到这条线段两个端点的距离相等）1 12 2CBAMNP线段的垂直平分线线段的垂直平分线 到一条线段两个端点距离相等的点，在到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上.AB=AC(AB=AC(已知已知)点点A A在线段在线段BCBC的垂直平分的垂直平分线上线上（到一条线段两个端点距离相等的点，（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）在这条线段的垂直平分线上）尺规作图尺规作图已知已知:线段线段AB,AB,如图如图.求作求作:线段线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线.作法作法:l用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线.1.1.分分别别以以点点A A和和B B为为圆圆心心,以以大大于于AB/2AB/2长长为为半半径径作作弧弧,两两弧交于点弧交于点C C和和D.D.ABCD2.2.作直线作直线CD.CD.l则直线则直线CDCD就是线段就是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 A AB BO O1 12 2P PE ED DCOPOP平分平分AOBAOB，PDPDOAOA,PEPEOBOB,PDPD=PEPE （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）角平分线角平分线A AB BO O1 12 2P PE ED D C C在一个角的内部，到角的两边距离相等在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的点在这个角的平分线上.OPOP平分平分AOBAOBPDPDOAOA,PEPEOBOB,PDPD=PE.PE.(在一个角的内部，到角的两边距离在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上相等的点在这个角的平分线上.).)AOBC1.1.角是轴对称图形，对称角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线轴是角平分线所在的直线.分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于2.2.用尺用尺用尺用尺规规作角的平分作角的平分作角的平分作角的平分线线的方法的方法的方法的方法A A作法：作法：以为圆心，适当长为半径作以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于弧，交于，交于作射线作射线OC则射线即为所求则射线即为所求 注注意意 角角的的平平分分线线是是在在角角的的内内部部的的一一条条射射线线，所所以以它它的的逆逆定定理理必必须须加加上上“在在角角的的内内部部”这这个个条件条件10三角形三条角平分线的性质三角形三条角平分线的性质三三角角形形的的三三条条角角平平分分线线相相交交于于一一点点，并并且且这这一点到三条一点到三条边边的距离的距离 .相等相等（1）如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）（2）如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）1如图如图12，点，点D在在BC上，上，DEAB，DFAC，且，且DEDF，则线段，则线段AD是是 ABC的的()A垂直平分线垂直平分线 B角平分线角平分线C高高 D中线中线 巩固提高巩固提高B2、如图，在如图，在 ABC中，中，C90，BAC的平分线交的平分线交BC于点于点D，若，若CD4，则点，则点D到到AB的距的距离是离是_3、若点、若点P是是ABC内一点，内一点，PD AB于于D，PE BC于于E，PF AC于于F，且，且PDPEPF，则点，则点P是是ABC的的()A三条高的交点三条高的交点B三条中线的交点三条中线的交点C三条角平分线的交点三条角平分线的交点D三条中垂线的交点三条中垂线的交点C 7在平面内，到在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有三点距离相等的点有()A只有一个只有一个 B有两个有两个C有三个或三个以上有三个或三个以上 D有一个或没有有一个或没有D 4、如如图图S11，在在ABC中中，DE垂垂直直平平分分AC交交AB于于E，A30，ACB80，则则BCE_.5050 2、如图，如图，在在Rt ABC中，有中，有 ABC=90，DE是是AC的垂直平的垂直平分线，交分线，交AC于点于点D，交，交BC于点于点E，BAE=20，则，则 C=_5如如图图S111，在在RtABC中中，C90，B15，DE是是AB的的中中垂垂线线，垂垂足足为为D，交交BC于于点点E，若若BE4，则则AC_.图S11123、（本题9分）如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）若A=40，求DBC的度数；（3）若AE=6，CBD的周长为20，求ABC的周长4、已知、已知ABC中中,C=900,AD平分平分 CAB,且且 AB=8,AC=BC,DEAB,求求BDE的周长？的周长？ABCDE思考：思考：8 8小明家有一块小明家有一块ABCABC的土地，如图的土地，如图S1S11212所示，其三边长所示，其三边长ABAB7070米，米，BCBC9090米，米，ACAC5050米，现要把米，现要把ABCABC分成面积比为分成面积比为579579的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案图S112解：解：如图如图S113所示，分别作所示，分别作ACB和和ABC的平分线，相交的平分线，相交于点于点D，连接，连接AD，则，则SADCSADBSBDC579.图S11324、（本题6分）某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置（写出必要的作图依据，保留作图痕迹）结束寄语数学是在混沌中发现有序。证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!
