2019高中数学 第二章 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修1-1.doc

12.2.12.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)自 主 预 习·探 新 知1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|MF2|2a(常数)，且 2a0)，把点A的坐标代入，x2 16y2 b24得b2×0)，16 15160 9y2 16x2 b2把A点的坐标代入，得b29.故所求双曲线的标准方程为1.y2 16x2 9(2)法一：焦点相同，设所求双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，x2 a2y2 b2c216420，即a2b220 .双曲线经过点(3，2)，1 .218 a24 b2由得a212，b28，双曲线的标准方程为1.x2 12y2 8法二：设所求双曲线的方程为1(40，b>0)，x2 a2y2 b25由题意得Error!，解得Error!所以所求双曲线方程为y21.x2 2(2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上，线5段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A.y21 Bx21x2 4y2 4C.1 D.1x2 2y2 3x2 3y2 2B B 由双曲线的焦点可知c，线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F2，5则有PF2x轴，且PF24，点P在双曲线右支上所以PF16，2 524236所以PF1PF26422a，所以a1，b2c2a24，所以双曲线的方程为x21，选 B.y2 4与双曲线有关的轨迹问题探究问题1到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支2求以两定点F1，F2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？提示：以直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线分别为x轴和y轴建系如图 2­2­1，在ABC中，已知|AB|4，且三内角A，B，C满足 2sin 2Asin C2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程图 2­2­1思路探究 建立平面直角坐标系由已知条件得到边长的关系判断轨迹的形状写出轨迹方程解 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，2B(2，0)由正弦定理，得 sin A，sinB，sin C2|BC| 2R|AC| 2R(R为ABC的外接圆半径)|AB| 2R62sin Asin C2sinB，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|2a)，x2 a2y2 b2a，c2，b2c2a26.22即所求轨迹方程为1(x>)x2 2y2 62规律方法 求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟踪训练3如图 2­2­2 所示，已知定圆F1：x2y210x240，定圆F2：x2y210x90，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【导学号：97792081】图 2­2­2解 圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11.圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|30，b>0)，y2 a2x2 b2所以Error!解得Error!，所以所求的双曲线的标准方程为1.y24x25