备考 中考数学一轮复习专题：相似三角形及其应用 .docx

中考数学一轮复习专题: 相似三角形及其应用一、单选题1（2021九上·瑞安月考）若xy=32，则xx+y的值等于（）A25B35C52D532（2021九上·瑞安月考）一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cm。A265+26B265-26C135+14D135-133（2021九上·湖州月考）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且 AEAB ADAC 12 ，则ADE周长与ABC的周长比是（）A1： 3B1：2C1：3D1：44（2021九上·瑞安月考）在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DEBC,AD:BD=3:2，则ADE与四边形BCED的面积之比为（）A3:5B4:25C9:16D9:255（2021九上·柯桥期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC则下列等式中，正确的是（） AAB2ACBCBBC2ACABCAC2BCABDAC22ABBC6如图 ，在直角BAD中，延长斜边BD到点C，使DC 12 BD，连结AC，若tanB 53 ，则tanCAD的值为 ( )A33B35C13D157如图，在矩形ABCD中，AB= 3 ，BC=3，将ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论错误的是() AAC=2APBPBC是等边三角形CSBGC=3SAGPDPGCG=138如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AEEF，AE=EF，现有如下结论：BE=GE；AGEECF；FCD=45°；GBEECH；其中，正确的结论有() A1个B2个C3个D4个9如图，CB=CA，ACB=90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：AC=FG；SFAB：S四边形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正确结论的个数是（） A1B2C3D410（2021九上·湖州月考）如图，ABC中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且EFBC，若AE：EBm，BD：DCn，则（）Am1，n1，则2SAEFSABDBm1，n1，则2SAEFSABDCm1，n1，则2SAEFSABDDm1，n1，则2SAEFSABD二、填空题11（2021九上·瑞安月考）c是线段a,b的比例中项，若a=4cm,b=9cm，则c= cm.12（2021九上·湖州月考）如图，在RtABC中，C90°，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则ABC的面积为 13如图，在一块直角三角板ABC中，C=90°，A=30°，BC=1，将另一个含30°角的AEDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若CEF与DEF相似，则AD= 14如图，在ABC中，BD，CE是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点0，则 OBOD = 15如图，在方格纸中，以每个小方格的边长为单位1，ABC和EPD的顶点均在格点上，请你提供一个符合条件的点P，使ABC与以E，P，D为顶点的三角形相似，则点P所在的格点坐标可以是 16（2021九上·湖州月考）已知AC、BD为O的直径，连结AB，BC，ABBC，若点F是OC上一点，且CF2OF点E是AB上一点（且不与点A、B重合），连结EF，设OB与EF交于点P如图2，当点E为AB中点时，则 PEPF 的值 ；连结DF，当EFDF时， AEAB .三、综合题17（2021九上·瑞安月考）如图，矩形ABCD,BFAC交CD于点E，交AD的延长线于点F.（1）求证：AB2=BC·AF.（2）当BCAB=23，DF=5时，求AC的长.18（2021九上·湖州月考）如图，ABC内接于O，AB为O的直径，AB10，AC6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点（1）求证：CADCBA（2）求OE的长19如图，AB，BC，CD分别与O相切于E，F，G且ABCDBO=6cm，CO=8cm（1）求证：BOCO；（2）求BE和CG的长20（2019九下·期中）如图，在矩形ABCD中，DGAC，垂足为G（1）ADG与ACD、CDG与CAD相似吗？为什么？（2）若AG=6，CG=12，求矩形ABCD的面积21在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为BC上一点（1）如图1，若AFBC，垂足为F，BF3，AF4，求EF的长（2）如图2，若DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQPC，求证：PC2AQ 22如图，以AB为直径的O交BAD的角平分线于C，过C作CDAD于D，交AB的延长线于E（1）求证：CD为O的切线（2）若 CDAD = 34 ，求cosDAB23如图，点P、M、Q在半径为1的O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°= ；cos75°= ；（2）若MHx轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长（结果精确到0.01，参考数据： 2 1.414， 3 1.732）24（2021九上·义乌期中）在ABC中，BDAC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转，ABC，得到PE，连接CE.（1）【观察发现】如图1，当BABC，且ABC60°时，BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 .（2）【猜想证明】如图2，当BABC，且ABC90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）【拓展探究】在（2）的条件下，若AB8，AP5 2 ，请直接写出CE的长.25如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程 x27x+12=0 的两个根，且OAOB （1）求cosABC的值。（2）若E为 轴上的点，且 SAOE=163 ，求出点E的坐标，并判断AOE与DAO是否相似？请说明理由。26如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(-3，0)，经过A，O两点作半径为 52 的C，交y轴的负半轴于点B （1）求B点的坐标；（2）过B点作C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式·27如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足| OA-8|+(OB-6)2=0，ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A，B，M，P为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由28RtABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分CBA交AC于E，交CD于F，CGBE交AB于G（1）求证：四边形CFGE是菱形；（2）若AG=4，BG=6，求AE和DF的长答案解析部分1【答案】B【考点】比例的性质【解析】【解答】解：xy=32，设x=3k，y=2k，xx+y=3k3k+2k=35.故答案为：B.【分析】根据比例的性质设x=3k，y=2k，代入原式进行计算，即可得出答案.2【答案】D【考点】黄金分割【解析】【解答】解： 书的宽与长之比为黄金比，长为26cm，它的宽=512×26=13513.故答案为：D.【分析】 根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为512，得出它的宽为512×26=13513，即可得出答案.3【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解： AEABADAC ，DAE=CAB，ADEACB， ADE周长与ABC的周长比=12 .故答案为：B.【分析】先证明ADEACB，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可解答.4【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：ADBD=32，ADAB=35，DEBC，ADEABC，SADESABC=ADAB2=352=925，SADES四边形BCED=916.【分析】先求出ADAB=35，再证出ADEABC，得出SADESABC=ADAB2=925，即可得出SADES四边形BCED=916.5【答案】C【考点】黄金分割【解析】【解答】解：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段和较短线段的比例中项， 点C是线段AB的黄金分割点，且ACBCAC2BC·AB.故答案为：C.【分析】利用黄金分割点的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段和较短线段的比例中项，可证得答案.6【答案】D【考点】平行线的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：过点D作DEAB交AC于点E.BAD90°，DEAB，ADE90°，tanB 53 = ADAB ，设AD5k，AB3k，DEAB， DEAB=CDBC ，DE 13 ABk，tanCAD DEAD k5k 15 .【分析】过点D作DEAB交AC于点E，根据平行线的性质可得ADEBAD90°，由tanB 53 = ADAB，可设AD5k，AB3k，根据平行线分线段成比例可得DEAB=CDBC，即得DE 13 ABk，由tanCAD DEAD即可求出结论.7【答案】D【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【解析】【解答】解：四边形ABCD为矩形，ABC=90°在ABC中，AC2=AB2+BC2AC=32+32=23sinACB=ABAC=323=12ACB=30° 将ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，BPAC，ACB=ACP=30°，AB=AP=3，BC=PC，AC=2AP，故A不符合题意；PBC=90°-30°=60°BCP为等边三角形，故B不符合题意；AC垂直平分BPBGC=90°在RtPCG中，PCG=30°tanPCG=tan30°=PGCG=33，故D符合题意；RtABC中，BGACBGCAGBSBGCSAGP=BCAB2=332=3 SBGC=3SAGP，故C不符合题意；故答案为：D【分析】利用矩形的四个角是直角，可知ABC=90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用解直角三角形求出ACB的度数，再利用折叠的性质，可知BPAC，ACB=ACP=30°，AB=AP=3，BC=PC，可得出AC与AP的大小关系，可对A作出判断，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可对B作出判断；再证明BGCAGB，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可对C作出判断；然后在RtPCG中，PCG=30°，利用解直角三角形求出PG与CG的比值，可对D作出判断。8【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定【解析】【解答】解：正方形ABCDAB=BC，B=90°AG=CEAB-AG=BC-CE，即BG=BE，BEG是等腰直角三角形，在RtBGE中，GEBE，故错误；AEEFAEF=90°EAG+AEB=90°，AEB+CEF=90°，EAG=CEF，在AGE和ECF中AG=CEEAG=CEFAE=EF AGEECF（ASA），故正确；AGE=ECF=90°+FCDBEG是等腰直角三角形，BGE=45°AGE=180°-45°=135°ECF=90°+FCD=135°FCD=135°-90°=45°，故正确；FEC=BAEBGE=45°BAE，即CEFBGEECH不是等腰直角三角形，GBE与ECH不相似，故错误；正确的序号为，故答案为：B【分析】利用正方形的性质，可知AB=BC，B=90°，结合已知条件可证得BE=CE，可对作出判断；再证明EAG=CEF，利用SAS可证得AGEECF，可对作出判断；利用全等三角形的性质，可证AGE=ECF=90°+FCD，再由BGE是等腰直角三角形，可求出AGE的度数，即可求出FCD的度数，可对作出判断；然后根据EAG=CEF，而BGEEAG，即CEFBGE，因此ECH不是等腰直角三角形，因此GBE与ECH不相似，可对作出判断，综上所述可得出正确结论的个数。9【答案】D【考点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】四边形ADEF为正方形，FAD=90°，AD=AF=EF，CAD+FAG=90°，FGCA，GAF+AFG=90°，CAD=AFG，在FGA和ACD中，G=CAFG=CADAF=ADFGAACD（AAS），AC=FG，故正确；BC=AC，FG=BC，ACB=90°，FGCA，FGBC，四边形CBFG是矩形，CBF=90°，SFAB=12FBFG=12S四边形CBFG，即SFAB：S四边形CBFG=1：2，故正确；CA=CB，C=CBF=90°，ABC=ABF=45°，故正确；FQE=DQB=ADC，E=C=90°，ACDFEQ，AC：AD=FE：FQ，ADFE=AD2=FQAC，故正确故答案为：D【分析】利用正方形的性质可证得FAD=90°，AD=AF=EF，证出CAD=AFG，再利用AAS证明FGAACD，利用全等三角形的性质易证AC=FG，可对作出判断；再证明四边形CBFG是矩形，易证SFAB=S四边形CBFG，可对作出判断；再根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质，可推出ABC=ABF=45°，可对作出判断；利用相似三角形的判定定理可证得ACDFEQ，利用相似三角形的性质得出对应边成比例，可证得AD2=FQAC，可对作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。10【答案】D【考点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：EFBC，AEFABC，SAEFSABC=AE2AB2=m2m+12，SAEF=m2m+12SABC ，BD：DC=n，则BD：BC=n：(n+1)，SABD=nn+1SABC，SAEFSABD=m+1m2nn+1=m+1m2·n+1n，当m=1，n=1，即当D为BC中点，E为AB中点，SAEFSABD=12，A、当m>1，n>1时， SAEF和SABD同时增大，则SAEFSABD>12 或SAEFSABD<12，即 2SAEFSABD 或 2SAEF<SABD ，错误；B、当m<1，n<1时， SAEF和SABD同时减小，则SAEFSABD>12 或SAEFSABD<12，即 2SAEFSABD 或 2SAEF<SABD ，错误；C、当 m1，n1时，SAEF增大而SABD减小，SAEFSABD>12，即 2SAEFSABD ，错误；D、当m1，n1时， SAEF减小而SABD增大，则SAEFSABD<12，即2SAEFSABD ，正确.故答案为：D.【分析】根据相似三角形的性质得出SAEFSABC=m2m+12，再根据等高三角形的面积关系得出SABD=nn+1SABC，则可推出SAEFSABD=m+1m2·n+1n，结合当m=1，n=1，SAEFSABD=12，然后根据分式的性质分别进行分析，即可判断.11【答案】6【考点】比例线段【解析】【解答】解：线段c是线段a，b的比例中项，c2=ab=4×9=36，c=6.【分析】根据线段比例中项的定义得出c2=ab=36，即可得出c=6.12【答案】16【考点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：如图，取D、E、F、G、H点，DE=FG=2，EF=1，DEFG，BED=EGF，在BDE和EFG中，EGF=BEDBDE=EFGDE=FG，BDEEFG（AAS），BD=EF=1，BC=BD+DH+HC=4，DEAC，BED=A，又BDE=C，BDEBCA，BD：BC=DE：CA，1:4=2:CA，解得CA=8， ABC的面积=12AC×BC=16.故答案为：16.【分析】先取点，观察图形求出DE、FG和EF的长，然后利用AAS证明BDEEFG，得出BD=EF=1，然后证明BDEBCA，再列比例式求出AC长，最后计算面积即可.13【答案】65 或 43【考点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：EDF=30°，EDAB于D，ADE=90°B=90°-30°=60°，FDB=180°-30°-90°=60°=B，BDF是等边三角形，BC=1，AB=2BC=2，BD=BF，2-AD=1-CF；AD=CF+1如图1，FED=90°，CEFEDF，CFEF=EFDF即CF2CF=2CF1CF解之：CF=15AD=15+1=65；如图2，EFD=90°，CEFFED，CFDF=CEEF即CF1CF=12解之：CF=13AD=13+1=43；AD的长为65或43故答案为：65或43【分析】利用垂直的定义及三角形内角和定理，分别求出B、FDB的度数，就可证得BDF是等边三角形，可得到BD=BF，利用直角三角形的性质，可求出AB的长，可证得AD=CF+1。若CEF与DEF相似，分情况讨论：当FED=90°时，当EFD=90°，分别利用相似三角形的性质求出CF的长，再根据AD=CF+1，可求出AD的长。14【答案】2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解： 在ABC中，BD，CE是边AC，AB上的中线DE是ABC的中位线DEBC，DE=12BCODEOBCOBOD=BCDE=2故答案为：2【分析】利用三角形中线的定义可证得DE是ABC的中位线，再利用三角形中位线定理可证DEBC，DE=12BC，然后可证ODEOBC，利用相似三角形的性质，可求出结果。15【答案】(3，6)(答案不唯一)【考点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】如图AC=2，AB=3，DE=4， ABC与以E，P，D为顶点的三角形相似若ABCDPEAC：DE=AB：DP2:4=3：DPDP=6DPx轴点P的坐标为（3，6）故答案为：（3，6）【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，要使ABC与以E，P，D为顶点的三角形相似，若ABCDPE，可知AC：DE=AB：DP，根据图形可知AC=2，AB=3，DE=4，可求出DP的长，然后可得到点P的坐标。16【答案】32；13【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：过E作EMOA，OA=OC， CF2OF ，OA=3OF，即OF=13OA，E为AB中点，EM为AOB的中位线，EM=12OA，EMOF=1213=32，EMAC，POFPME，PEPF=EMOF=32；如图，作EMOB于M，EHOA于H，OFD+OFP=OFP+OPF，OFP=MEP，又DOF=POF，DOFFOP，OF2=OP×OD，设r=1，OP=OF2OD=19OD2OD=19，设AH=HE=x，EM=OH=1-x，MPEFPD，PM:EM=OP:OF=1:3，PM=13(1-x)，OM=HE，13(1-x)+19=x，解得x=13， AEAB=AHAO=13 .故答案为：32，13.【分析】(1)过E作EMOA，根据线段间的关系求出OF=13OA和EM=12OA，则可得出OF和EM的比值，由EMAC，得出POFPME，列比例式可求出PEPF的值；(2)连接EF、DF，作EMOB于M，EHOA于H，证明DOFFOP，设r=1，列比例式求出OP的长，设AH=HE=x，证明MPEFPD，列比例式把PM用x表示出来，然后根据OM=HE建立方程求解，最后根据平行线分线段成比例求解即可.17【答案】（1）证明：矩形ABCD FAB=ABC=90°BFACACB+CBE=CBE+FBA=90°ACB=FBAABFBCAABBC=AFBAAB2=BCAF（2）解：BCAB=23设BC=2x，AB=3xAB2=BCAF(3x)2=2x(2x+5)x1=0,x2=2BC=4, AB=6AC=62+42=213【考点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）先证出ABFBCA，得出ABBC=AFBA，即可得出AB2=BC·AF；（2） 设BC=2x，AB=3x，得出AF=2x+5，代入AB2=BC·AF得出x的值，从而得出BC，AB的值，再根据勾股定理即可得出AC的值.18【答案】（1）证明：AEDE，OC是半径， AC CD ，CADCBA（2）解：AB是直径， ACB90°，AEDE，OCAD，AEC90°，AECACB，AECBCA， CEAC ACAB ， CE6 610 ，CE3.6，OC 12 AB5，OEOCEC53.61.4【考点】垂径定理；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出ACCD， 则可根据圆周角定理求出 CADCBA(2)根据垂径定理得出 OCAD， 则可得出 AECACB， 结合(1)的结论，证明 AECBCA，根据相似三角形的性质列比例式求出CE长，最后根据线段间的和差关系求OE长即可.19【答案】（1）证明：ABCD ABC+BCD=180°AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G，BO平分ABC，CO平分DCB，OBC= 12ABC ，OCB= 12DCB ，OBC+OCB= 12 （ABC+DCB）= 12 ×180°=90°，BOC=90°，BOCO（2） 解：连接OF，则OFBC，RtBOFRtBCO， BFBO = BOBC ，在RtBOF中，BO=6cm，CO=8cm，BC= 62+82 =10cm， BF6 = 610 ，BF=3.6cm，AB、BC、CD分别与O相切，BE=BF=3.6cm，CG=CF，CF=BCBF=103.6=6.4cmCG=CF=6.4cm【考点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同旁内角互补得出 ABC+BCD=180° ，根据切线长定理得出 OBC= 12ABC ，OCB= 12DCB ， 根据角的和差及等量代换得出 OBC+OCB= 12 （ABC+DCB）= 12 ×180°=90°， 根据三角形的内角和得出 BOC=90°， 即 BOCO；（2） 连接OF，则OFBC， 很容易判断出 RtBOFRtBCO，根据相似三角形对应边成比例得出 BFBO = BOBC ，在 在RtBOF中 ，利用勾股定理算出BC的长，根据比例式即可算出BF的长，根据切线长定理得出 BE=BF=3.6cm，CG=CF， 从而根据线段的和差即可算出答案。20【答案】（1）解：ADGAC D、CDGCAD；四边形ABCD是矩形，ADC=90°，DGAC，AGD=DGC=90°，ADC=AGD，又A=A，ADGACD，同理可得：CDGCAD（2）解：ADGACD， AD2=AGAC，CDGCAD，CD2=CGAC，AG=6，CG=12，AC=18，AD=6 3 ，CD=6 6 ，S矩形ABCD=AD×CD=6 3 ×6 6 =108 2 【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）运用有两对对应角的三角形相似证明三角形相似即可；（2）运用（1）中的三角形相似即可得到比例中项：AD2=AGAC，CD2=CGAC，求出矩形的长和宽，进而求出矩形的面积即可。21【答案】（1）解：AFBC， AFB90°，BF3，AF4，AB 32+42 5，AEEB，EF 12 AB 52（2）证明：连接AC交DE于点K， AEDC，AEPCDP，又AKECKD，AKECKD， AEDC AKKC 12 AQPC，KAQPCK，又AKQCKP，AKQCKP AQPC AKCK ， AKCK 12 ， AQPC 12 ，即PC2AQ【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）直角三角形斜边中线等于斜边的一半，计算可得； （2）根据AEDC，易得AKECKD，AQPC 易得AKQCKP，通过相似比进行计算即可得到PC=2AQ。22【答案】（1）证明：连接OC， AC平分DAB，DAC=CAB，OC=OA，OAC=OCA，DAC=OCA，OCAD，ADCD，OCCD，OC为O半径，CD是O的切线；（2）解：连接BC， AB为直径，ACB=90°，AC平分BAD，CAD=CAB， CDAD = 34 ，令CD=3，AD=4，得AC=5， BCAC = 34 ，BC5 = 34 ，BC= 154 ，由勾股定理得AB= 254 ，OC= 258 ，OCAD， OCAD = OEAE ， 2584 = AE258AE ，解得AE= 1007 ，cosDAB= ADAE = 41007 = 425 【考点】切线的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，易证DAC=OCA，利用平行线的判定方法，可证OCAD，由ADCD，可证得OCCD，然后根据切线的判断方法，可证得结论。（2）利用圆周角定理可证得ACB=90°，由CAD=CAB，再根据相似三角形的判定和性质，可证得CDAD=CBAC=34,设 CD=3，AD=4，得AC=5，就可求出BC的长，利用勾股定理求出AB，OC，然后利用平行线分线段成比例定理，就可求出AE的长，再在RtADE中，根据锐角三角函数的定义，可求出cosDAB的值。23【答案】（1）；0.26（2）解：在RtMHO中，sinMOH= MHMO ，即MH=MOsinMOH=1× 32 = 32 OH= OM2MH2=12(32)2=12 ，设PAx轴，垂足为A，如右图所示，NHO=PAO=90°，NHPA，ONHOPA， NHPA = OHOA ，即 NH0.26 = 120.97 ，NH0.134 MN=MH-HN = 320.134 0.73【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：（1）由图可知，sin60°= 32 ，cos75°= 0.261 =0.26，故答案为： 32 ；0.26【分析】（1）根据题中提供的数据，及锐角三角函数的定义即可求出答案；（2） 在RtMHO中 ，根据正弦函数的定义，由 MH=MOsinMOH 算出MH的长，从而根据勾股定理算出OH的长； 设PAx轴，垂足为A，如右图所示， 根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 ONHOPA， 根据相似三角形对应边成比例得出 NHPA = OHOA ，根据比例式即可求出NH的长，进而根据MN=MH-NH即可算出答案。24【答案】（1）BPCE；BCCE（2）解：如图2中，（1）中的结论BCCE成立.BPCE不成立，结论是EC 2 BP. 理由：如图2中，连接AE.ABC，APE都是等腰直角三角形，AC 2 AB，AE 2 AP，BACACBPAE45°，BAPCAE，BABC，BDAC，ABD 12 ABC45° ACAB AEAP 2 ，CAEBAP， ECBP ACAB 2 ，ABPACE45°BCEACB+ACE90°，EC 2 BP，BCEC.（3）解：当点P在线段BD上时，如图2中，ABCB8，ABC90°， AC8 2 ，BDAC，ADDC4 2 ，AP5 2 ，PD AP2AD2 (52)2(42)2 3 2 ，BDADDC4 2 ，BPBDPD 2 ，EC 2 BP2.当点P在BD的延长线上时，如图3中，同法可得PD3 2 ，BPBD+PD7 2 ，EC 2 BP14.综上所述，EC的长为2或14.【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接AE.BABC，ABC60°，ABC是等边三角形，ABAC，BACACB60°，BDAC，ABD 12 ABC30°，PAPE，APEABC60°，APE是等边三角形，APAE，PAE60°，BACPAE60°，BAPCAE，BAPCAE（SAS），BPCE，ABPACE30°，BCEACB+ACE90°，BCCE.故答案为：BPCE，BCCE.【分析】（1）连接AE，易得ABC、APE是等边三角形，则ABAC，BACACBPAE60°，ABD30°，APAE，推出BAPCAE，证明BAPCAE，得到BPCE，ABPACE30°，然后求出BCE的度数，据此判断；（2）连接AE，由等腰直角三角形的性质可得AC2AB，AE2AP，BACACBPAE45°，则BAPCAE，ABD45°，证明CAEBAP，据此解答；（3）当点P在线段BD上时，由勾股定理可得AC=82，根据直角三角形斜边上中线的性质可得ADDC42，由勾股定理求出PD，然后根据BP=BD-PD、EC2BP进行计算；当点P在BD的延长线上时，同法可得PD32，然后根据BP=BD+PD、EC2BP进行计算.25【答案】（1）解：解一元二次方程 x27x+12=0 得 x1=3 ， x2=4OAOBOA4，OB3，在 RtAOB中，OA4，OB3 ， AB42+325 ，cosABC= ；（2）解：设E（x，0），由题意得 SAOE=12OAx=12×4x=163解得 x=83E（ 83 ，0）或（- 83 ，0），四边形ABCD是平行四边形，点D的坐标是（6，4）设经过D、E两点的直线的解析式为 若图象过点（ 83 ，0），（6，4）则 83k+b=06k+b=4 ，解得 k=65b=165此时函数解析式为 y=65x165若图象过点（- 83 ，0），（6，4）则 83k+b=06k+b=4 ，解得 k=613b=161