第08讲平行四边形同步教学讲义 人教版数学八年级下册.docx

第8讲 平行四边形知识导航1平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补，两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等2平行四边形的判定方法有五种.【板块一】平行四边形中边的关系运用方法技巧判定平行四边形时，应根据具体情况，选择五种判定中最趋近条件的一种方法.题型一 平行四边形的判定【例1】点D，E分别是等边ABC的边AB，BC上一点，且BDCE。以AE为边作等边AEF，求证：四边形ECDF为平行四边形.【例2如图，在四边形ABCD中，AB/CD，以AD，AC为边作口ACED，延长DC交EB于点F，求证：BFEF.针对练习11如图，在口ABCD中，AB6，点E是BC边中点，点F为CD边上一点，DF48，DFA2BAE，则AF的长为( ) A48 B6 C72 D1082如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB于点D，AE平分BAC，交CD于点K，交BC于点E，点F 是BE上一点且BFCK，求证：FKAB3如图，点F是口ABCD内一点，且EDCD，EBCB，AED135° (1)求证：ADEABE； (2)求EAB的度数； (3)求证:EBBC； (4)探究：ABDE与AE的数量关系【模块二】 平行四边形中的面积转换方法技巧 两平行线间的距离相等，同底(或等底)且同高(或等高)的三角形的面积相等题型三 平行线转换面积 【例1】如图，四边形ABCD，ADFE均为平行四边形，边AE，DC相交于点P，边BC，EF在同一条直线上，当点P从点C出发向点D运动时(点P不与点C，D重合)，则ACP的面积与PEF的面积之差的变化情况是( ) A先变小再变大 B先变大再变小C一直变小 D一直不变 【例2】(1)如图1，在口ABCD中，点E边AB上一点，点F在BC上，则SECD SFAD；(填>、<或)(2)如图2，在口ABCD中，点O为BD中点，直线FE过O点分别交AD，BC于E，F两点，则S四边形ABOE_S四边形CDOF；(填>、<或) (3)如图3，点E为口ABCD中任意一点，若S四边形ABCD6，则SABESDEC的值是 图1 图2 图3 【例3】如图，在口ABCD中，点E为AD上一点，点F为AB上一点，且BEDF，BE与DF交于点G，求证：GC平分BGD 针对练习21如图，在口ABCD中，对角线BDAB，点G为BD延长线上一点，且CBG为等边三角形，BCD，ABD的角平分线相交于点E，连接CE，交BD于点F，连接GE (1)若CG8，求口ABCD的面积； (2)求证：CEBEGE2如图，在四边形ABCD中，请过点A作一直线，将这个四边形ABCD的面积平分，并说明理由3在ABC中，ABAC，点P是直线BC上一点，PDAB于点D，PEAC于点E，BFAC于点F (1)如图1，求证：PDPEBF； (2)如图2，当点P在BC的延长线上时，探究PD，PE，BF之间的数量关系 图1 图2【板块三】 平行四边形中特殊角度，特定关系角的转换方法技巧 平行四边形中45°角可用来构造等腰直角三角形，其中三边比有1：1：关系；60°的角可用来构造等边三角形题型四 平行四边形中45°角(或等腰直角三角形）的运用【例1】如图，在ABC和DAF中，ACBC，ADAF，ACBDAF90°，点D，A，C在一条直线上，过点D作DEDF，且DEAC，连接CF，BE，EF (1)判断四边形ADEB的形状，并予以证明；(2)求的值题型五 平行四边形中60°角(或等边三角形）的运用【例2】分别以口ABCD的边BC，CD为边作等边BCE和等边CDF，求证：AFE为等边三角形 【例3】在口ABCD中，ABC120°，BAD的平分线交BC边于点E，交DC延长线于点F，过F作FGBC，且使FGCE，连接DB，DG，求BDG的度数 针对练习3 1如图，在口ABCD中，AD2CD，点F是AD的中点，作CEAB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论：DCFBCF；EFCF；DFE3AEF；SBEC<2SCEF其中结论一定成立的是_(请填序号) 2如图，在口ABCD中，过点A作AEBC于点E，连接DE，点F为DE的中点，且BAEDEC，B60° (1)判断AEF的形状并说明理由； (2)若AB2，求DE的长3如图，在口ABCD中，点E为AD上一点，且ABAE，连接BE，交AC于点H，过点A作AFBC于点F，交BE于点G(1)若D50°，求EBC的度数；(2)若ACCD，过点G作GMBC交AC于点M，求证：AHMC4在口ABCD中，点E是AD上一点，AEAB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得EGBEAB，连接AG(1)如图1，当EF与AB相交时，若EAB60°，求证：EGAGBG；(2)如图2，当EF与CD相交时，且EAB90°，探究EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论 图1 图2【板块四】 平行图边形中勾股定理的运用方法技巧 平行四边形中有直角三角形，可综合“对边相等，对角线互相平分”，利用勾股定理探究边的关系或求边长题型六 平方关系线段运用勾股定理探求【例1】已知ABCD为平行四边形，ABC和DCB的角平分线分别交AD于点H和点G，且它们交于O点，若AB5，AD6，求OG2OH2的值 【例2】(1)如图1，已知AB，BC5，ABC<90°，口ABCD的面积为15 求AC，BD的长； 探究AC2BD2和AB2BC2之间有什么数量关系； (2)如图2，如果把(1)中的关系推广到任意口ABCD中去，并证明你的推广 图1 图2针对练习4 1如图1，在OAB中，OAB90°，AOB30°，0B8，以OB为边，在OAB外作等边OBC，点D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E (1)求证：四边形ABCE是平行四边形； (2)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长 图1 图22如图1，在口ABCD中，ABa，BCb (1)若BCD120°，则对角线BD的长是 (用含a,b的式子表示)； (2)求证：AC2BD22a22b2； (3)如图2，在(1)的条件下，若四边形BCEF也是平行四边形，连接AF并延长交BE于点P，恰有APB 120°，设BEm，AFn，若a3，b2，求m，n之间的数量关系式 图1 图2 3如图，在四边形ABCD中，ADBC，C90°，BCCD，点E，F分别在边BC，CD上，且BFDFAD，AF与DE交于点G (1)求证：ABBF； (2)当AB5，AD2，求DG的长 【板块五】 平行四边形中的多解问题方法技巧 平行四边形的高可以在四边形内部，也可以在外部，从而产生多解题型七 高在平行四边形内部或外部产生的多解问题 【例1】口ABCD的周长为52，过D作DEAB于点E，DFBC于点F，DE5，DF8，求BEBF的长题型八 重叠方式不同产生多解【例2】如图，在RtABC中，A90°，点D是AB边上一点，点E是BC的中点，将CDF沿DE翻折，得到FDE，使FDE与BDE重叠部分的面积是BDC的面积的，若AB4，AC2，求BD的长 图1 图2 针对练习51在面积为6的口ABCD中，过A作AE直线BC于点E，作AF直线CD于F，若AB3，BC2，则CECF的长为( ) A 105 B2 C105或2 D105或5102在面积为15的口ABCD中，过点A作AE直线BC于点E，作AF直线CD于点F，若AB5，BC6，求CECF的长3口ABCD周长为44，过A作AE直线BC于点E，作AF直线CD于点F，若AE5，AF6，则CECF的长为 【板块六】 平行四边形中的动点与最值方法技巧 平行四边形中匀速运动的点，可以设运动时间为t，然后用t表示各个变量求解；线段的最值常用两边之和大于第三边或垂线段最短求解题型九 平行四边形中的动点问题【例1】如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD24cm，BC30cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止，同时点Q从点C向点B以2cms的速度运动，到点B即停止，直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发几秒时所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 题型十 平行四边形中的最值问题 【例2】如图，在RtABC中，BAC90°，AB3，AC4，P为BC边上一动点，PEAB于点E，PFAC于点F，点M为EF的中点，则线段AM的最小值为 针对练习6 1如图，在RtABC中，B90°，BCA30°，AC20，点D在BC上，以AC为对角线的所有口ADCE中，线段DE的最小值是 2如图，矩形ABCD中，点O是BD中点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于点Q（1）求证：四边形PBQD为平行四边形；（2）若AB=3cm，AD=4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D匀速运动设点P的运动时间为ts，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；若不能，说明理由【板块七】 构造平行四边形方法技巧将线段进行平移，可构造平行四边形，借助构造的平行四边形可以得到相等的边、平行线，从而得到全等三角形题型十一 构造平行四边形同时构造等腰直角三角形【例1】已知点A，C分别是B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA，BC上的点，直线AE，CD相交于点P（1）点D，E分别在线段BA，线段BC上如图1，若B=60°，且AD=BE，BD=CE，则APD的度数是 ；如图2，若B=90°，且AD=BC，BD=CE，求APD的度数（2）如图3，点D，E分别在线段AB，BC的延长线上，若ABC=90°，AD=BC，APD=45°，求证：BD=CE题型十二 构造平行四边形同时构造全等三角形【例2】如图，在等腰ABC中，AB=AC，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，若AD=BC=CE=DE 求证：BAC=100°针对练习71如图，在ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边ABE，ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A，E之间，连接CE，CF，EF，有以下四个结论：CDFEBC；CDF=EAF；ECF是等边三角形；CGAE其中结论一定正确的是（ ）A只有 B只有 C只有 D2如图，在ABC中，C=90°，DE分别为BC，AC边上的点，且BD=CE，AE=BC（1）求AFE的度数；（2）求的值3如图，线段AC与BD交于点O，A=30°，ACD=120°，D=15°，AB=1，求BD的长