第17讲等边三角形同步讲义 人教版数学八年级上册.docx

第17讲 等边三角形知识导航1等边三角形三个内角均为60°2等边三角形三条边相等3直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半4三个角都相等的三角形是的等边三角形5有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形【板块一】 等边三角形的性质方法技巧（1）运用等边三角形角的数量特征和边的相等关系解题（2）共顶点的两个等边三角形（也称手拉手图形）组成的图中，必定有全等三角形题型利一 与等边三角形有关的角度的计算【例1】如图，ABC是等边三角形，CDBC，CDBC，求DAC和ADB的度数题型二 共顶点的等边三角形（手拉手图形）【例2】如图，点D是等边ABC的边AB上一点，以CD为一边，向上作等边EDC，连接AE（1）求证：DBCEAC； （2）求证：AEBC【例3】如图，ABC和CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F（1）求证：AEBD； （2）求AFB的度数；（3）求证：CF平分AFD；（4）直接写出EF，DF，CF之间的数量关系题型三 平面直角坐标系中的等边三角形【例4】如图，点A（2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且ODB30°，延长DB至E，使BEBD，点P为x轴正半轴上一动点（点P在点C的右边），点M在EP上，且EMA60°，AM交BE于点N（1）求证：BEBC； （2）求证：ANBEPC；（3）当点P运动时，求BPBN的值针对练习11如图，等边ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B处，DB，EB分别交AC于点F，G，若ADF80°，求EGC的度数2如图，ABD和ACE都是等边三角形， DC于BE交于点M（1）求证：BECD； （2）求AMD的度数3如图1，等边ABC中，点D是AB上一点，以CD为一边，向上作等边EDC，向下作等边DCF，连接AE，BF（1）求证：ABAEBF；（2）当点D在BA延长线上时，如图2，若AE10，BF4，求AC的长 图1 图24已知点D，E分别是等边ABC的边BC，AB上的点，ADE60°（1）如图1，当点D是BC的中点时，求证：AE3BE；（2）如图2，当点M在AC上，满足ADM60°，求证：BECM；（3）如图3，过C作CFAB交ED延长线于点F，探究线段BE，CF，CD之间的数量关系，并给出证明 图1 图2 图35.在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=a，AB=b，BO与x轴正方向的夹角150°，且.判断ABO的形状；      如图1，若BCBO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、BD交于点E，求证:AE= BE+CE；      如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边BEG，延长GA交x轴于点P，AP与AO之间有何数量关系?试证明你的结论.      6.ABC为等边三角形，BC交y轴于点D，A(a，0)，B(b，0)，且a，b满足 .     (1)如图1，求点A，B的坐标及CD的长；(2)如图2，P是AB的延长线上一点，点E是CP右侧一点，CP=PE，且CPE=60° ，连接EB，求证:直线EB必过点D关于x轴对称的对称点；      (3)如图3，若点M在CA的延长线上，点N在AB的延长线上，且CMD=DNA，求AN-AM的值.     【板块二】60°角的用法方法技巧      合理利用60°角构造等边三角形得到相等线段，再进行推理.题型一  过60°角一边上一点作平行线构造等边三角形.方法技巧:过60°角一边上一点，作平行线构造等边三角形，转化边与角.      【例5】如图，ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E，F分别在BC，AB的延长线上，EDF=120°.(1)求证:DE=DF；      (2)若AB=5，求CE-BF的值. 题型二 在60°角的两边上截取两条相等线段构造等边三角形方法技巧:在60°角的边上截取两条相等线段后构成等边三角形，然后产生新的全等三角形，从而找到解决问题的突破口.      【例6】如图，ABC为等边三角形，ADB=60°.      (1)如图1，当DAB=90°时，直接写出DA，DC，DB之间的数量关系_；(2)如图2，当DAB90°时，中的关系式是否成立?说明理由.题型三  利用60°角的一边上的点向另一边做垂线构造30°，60°，90°的直角三角形方法技巧:利用30角所对的直角边等于斜边的一半，作高. 【例7】如图，在ABC中，B=60°，C=45°，AB=2，BC=  ，求ABC的面积.題型四 利用60°角延长构造等边三角形方法技巧；向外延长60”角的一边，在外部构造等边三角形.【例8】已知点D，点E分別等边ABC边BC，AC上的点，CD=AE，AD与BE交于点F.(1)如图1，求AFE的度数； (2)点G边AC中点，BFG=120° ，如图2，求证:AF=2FG.针对练习21.如图，在等边ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，求AP的长.2.如图.在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC.(1)试判定ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系?请说明理由.3.点D为BC上任一点，ADE=60°，边ED与ACB外角的平分线交于点E，求证:AD=DE；      4.已知ABC是边长为5的等边三角形.(1)如图1，若点P是BC上一点，过点C，点P分别作AB，AC的平行线，两线相交于点Q，连接BQ，AP的延长线交BQ于点D.试问:线段AD，BD，CD之间是否存在某种确定的数量关系?若存在，请写出它们之间数量关系并证明你的结论；若不存在，说明理由；(2)如图2，若点P是BC延长线上一点，连接AP，以AP为边作等边APE(点E、点A在直线BC同侧)，连接CE交AP于点F，求CE-CP的值.5.如图，在ABC中，BAC=60°，以BC为边在ABC的同侧作等边DBC，BD，AC相交于点E，连结AD. (1)如图1，若A ,求证：ABCADC(2)如图2，若，求的值.6.如图1，ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连接CE、DE .求证：EC=ED；如图2，EOCD于点O，点N在EO上，DNM为等边三角形，CM交EO于F，若FO=1，求FM-FN的值.7.如图1，ABC是等边三角形，点D是AB中点，点E在BC上，DEF为等边三角形，(1)当点E为BC中点时，直接写出FE与FC的数量关系为_.(2)当点E不为BC中点时，(1)结论还是否成立?请说明理由；(3)如图2，当DAF=90°时，求证:BE=3EC.板块三) 30°角的用法方法技巧构造30°角的直角三角形，算边长与面积.题型一  已知30°角连线巧得隐直角.【例9】如图，在ABC中，AB=AC，C=30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，试探究BE与CE之间的数量关系.题型二 利用30°作高构造直角三角形.【例10】如图，CD是ABC的中线，CDCB，ACD=30°，求证:AC=2BC.题型三 已知30°和90°角补形构造直角三角形【例11】如图，四边形ABCD中，C=30°，B=90°，ADC=120°，若AB=2，CD=8，求AD的长.题型四 利用底角为15°的等腰三角形构造30°角的直角三角形【例12】如图，AOC=15°，OC平分AOB，点P为OC上一点，PD/OA交OB于点D，PEOA于点E，若OD=4cm，求PE的长. 题型五  利用150°构造30°角的直角三角形【例13】如图，在ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，以AD为腰作等腰ADE，且AD=AE，BAC=DAE=30°，连接CE，若BD=2，CD=5，求DCE的面积.题型六30°直角三角形斜边上的高方法技巧：30°角的直角三角形斜边上的高中，有3个30°的直角三角形，选取最小的和最大的两个直角三角形进行计算.【例14】如图，在RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足为点D，A=30°，AD=6，求BC的长.针对练习31.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a元，求购买这种草皮至少需要多少元? 2.在ABC中，B=30°，AB=AC=8，P为BC上一点，求AP的最小值. 3.如图，在等边ABC中，点D为AC上一点，CD=CE，ACE=60°. (1)求证:BCDACE；(2)延长BD交AE于点F，连接CF，若AF=CF，猜想线段BF，AF的数量美系，并证明你的猜想. 4.如图，在ABC中，BAC=90°，点D为三角形内一点，且AB=AC=BD，ABD=30°.求证:AD=CD， 5.如图，在ABC中，ABC=45°，BAC=60°，点D为BC上一点，ADC=60°，AEBC，CFAD，垂足分别为E、F，AE、CF相交于点H.(1)求证:DFCHFA； (2)若DF=2，AF=，求EH的值.6.如图1，在ABC中，AB=AC，A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N. (1)求证:CM=2BM； (2)如图2，点F为AB上方一点，连接BF，AF，CF，点B关于直线AF的对称点E在CF上，连接BE.求证:BEF为等边三角形.