极值点偏移问题微专题练-高三数学二轮专题复习.docx

冲刺高考二轮 极值点偏移问题微专题练（原卷+答案）1已知函数f(x)(a0).(1)若对任意的xR，都有f(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)设m，n是两个不相等的实数，且mnemn.求证：mn>2.2已知函数f(x)ex(ln xa).(1)若f(x)是增函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：x1x2>2.3.已知函数f(x)ln x(1)求f(x)的单调区间；(2)当f(x1)f(x2)(x1x2)时，证明：x1x2>2.4已知函数f(x)x(1ln x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln aa ln bab，证明：2<<e.参考答案1解析：(1)当a<0时，f，因为0<e<e，所以>，即f>，不符合题意；当a>0时，f(x)，当x(，1)时，f(x)>0，当x(1，)时，f(x)<0，所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以f(x)f(1).由f(x)恒成立可知，所以a1.又因为a>0，所以a的取值范围为(0，1.(2)证明：因为mnemn，所以memnen，即.令g(x)，由题意可知，存在不相等的两个实数m，n，使得g(m)g(n).由(1)可知g(x)在区间(，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减不妨设m<n，则m<1<n.设h(x)g(x)g(2x)(x>1)，则h(x)g(x)g(2x)(x1)ex2(x1)·>0，所以h(x)在(1，)上单调递增，所以h(x)>0，即g(x)>g(2x)在区间(1，)上恒成立因为n>1，所以g(n)>g(2n).因为g(m)g(n)，所以g(m)>g(2n).又因为m<1，2n<1，且g(x)在区间(，1)上单调递增，所以m>2n，即mn>2.2解析：(1)函数的定义域为(0，)，f(x)ex，若f(x)是增函数，即f(x)0对任意x>0恒成立，故ln xa0恒成立，设g(x)ln xa，则g(x)，所以当0<x<1时，g(x)<0，g(x)单调递减，当x>1时，g(x)>0，g(x)单调递增，所以当x1时，g(x)ming(1)a1，由a10得a1，所以a的取值范围是1，).(2)证明：不妨设0<x1<x2，因为x1，x2是f(x)的两个极值点，所以f(x1)ex10，即ln x1a0，同理ln x2a0，故x1，x2是函数g(x)ln xa的两个零点，即g(x1)g(x2)0，由(1)知，g(x)ming(1)a1<0，故应有a(，1)，且0<x1<1<x2，要证明x1x2>2，只需证x2>2x1，只需证g(x2)g(2x1)g(x1)g(2x1)ln x1aln x1ln (2x1)>0，设h(x)ln xln (2x)，x(0，1，则h(x)0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，因为x1(0，1)，所以h(x1)>h(1)0，即g(x2)g(2x1)>0，g(x2)>g(2x1)，又x2>1，2x1>1，及g(x)在(1，)上单调递增，所以x2>2x1成立，即x1x2>2成立3解析：(1)f(x)，令g(x)1x22x ln x，则g(x)2x2ln x22(xln x1)，g(x)2；当x>0时，g(x)<0，g(x)在(0，)上单调递减，又g(e2)2(e21)>0，g(1)4<0，x0(e2，1)，使得g(x0)0，则当x(0，x0)时，g(x)>0；当x(x0，)时，g(x)<0；g(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，g(x)maxg(x0)>g(1)0，又当x(0，1)时，1x2>0，2x ln x>0；当x(0，1)时，g(x)>0，即f(x)>0；当x(1，)时，g(x)<0，即f(x)<0；f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，).(2)证明：由(1)知：若f(x1)f(x2)(x1x2)，则0<x1<1<x2，要证x1x2>2，只需证x2>2x1，0<x1<1<x2，2x1>1，又f(x)在(1，)上单调递减，则只需证f(x2)<f(2x1)，f(x1)f(x2)，则只需证f(x1)<f(2x1)，即证f(x1)f(2x1)<0，则需证ln x1ln (2x1)<0，又1x1>0，只需证<0，即证ln x1(1x1)ln (2x1)<0，令F(x)(3x)ln x(1x)ln (2x)(0<x<1)，则F(x)ln xln (2x)，F(x)<0，F(x)在(0，1)上单调递减，F(x)>F(1)0，F(x)在(0，1)上单调递增，F(x)<F(1)0，(3x1)ln x1(1x1)ln (2x1)<0，原不等式得证4解析：(1)函数的定义域为，又f1ln x1ln x，当x时，f>0，当x时，f<0，故f的递增区间为，递减区间为.(2)因为b ln aa ln bab，故ba，即，故ff，设x1，x2，由(1)可知不妨设0<x1<1，x2>1.因为x时，fx>0，x时，fx<0，故1<x2<e.先证：x1x2>2，若x22，x1x2>2必成立若x2<2, 要证：x1x2>2，即证x1>2x2，而0<2x2<1，故即证f>f，即证：f>f，其中1<x2<2.设gff，1<x<2，则gffln xln ln ，因为1<x<2，故0<x<1，故ln x>0，所以g>0，故g在上为增函数，所以g>g0，故f>f，即f>f成立，所以x1x2>2成立，综上，x1x2>2成立设x2tx1，则t>1，结合，x1，x2，可得：x1x2，即：1ln x1t，故ln x1，要证：x1x2<e，即证x1<e，即证ln ln x1<1，即证：ln <1，即证：ln t ln t<0，令Sln t ln t，t>1，则Sln 1ln tln ，先证明一个不等式：ln x.设uln x，则u1，当1<x<0时，u>0；当x>0时，u<0，故u在上为增函数，在上为减函数，故umaxu0，故ln x成立，由上述不等式可得当t>1时，ln <，故S<0恒成立，故S在上为减函数，故S<S0，故ln t ln t<0成立，即x1x2<e成立综上所述，2<<e.学科网（北京）股份有限公司