椭圆的简单几何性质（2）同步练习-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）一、单选题1. 已知点是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的斜率为(    )A. B. C. D. 22. 过椭圆中心的直线交椭圆于两点，右焦点为，则的最大面积是(    )A. abB. acC. bcD. 3. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线AB交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是(    )A. B. C. D. 4. 过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为(    )A. B. C. 1D. 二、多选题5. 已知椭圆的左、右焦点为，O为坐标原点，直线过交C于两点，若的周长为8，则(    )A. 椭圆焦距为；B. 椭圆方程为；C. 弦长；D. 6. 已知直线l：被椭圆C：截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(    )A. B. C. D. 7. 画法几何的创始人-法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点直线l的方程为下列说法正确的是(    )A. C的蒙日圆的方程为B. 对直线l上任意点P，C. 记点A到直线l的距离为d ，则的最小值为D. 若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为三、填空题8. 已知点，在椭圆C：上，则椭圆C的方程为_，若直线交椭圆C于M，N两点，则_.9. 已知点，椭圆上两点A，B满足，则当_时，点B横坐标的绝对值最大10. 过点的直线l与椭圆交于点A和B，且点Q满足，若O为坐标原点，则的最小值为_.11. 已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线对称，则实数m的取值范围是_.四、解答题12. 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为求双曲线C的方程经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长13. 设椭圆C：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；设O为坐标原点，证明：14. 已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为求椭圆C的方程；设过定点的直线l与中的椭圆C交于不同的两点A、B，且为锐角，求直线l的斜率k的取值范围15. 已知椭圆的离心率为，的面积为求椭圆C的方程;设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点求证：为等腰三角形.16. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的长轴长为过左顶点A且倾斜角为的直线与椭圆的另一个交点为B，与y轴交于点C，且求椭圆的标准方程；过点且不与x轴重合的直线交椭圆于点，连接NO并延长交AM于点若，求实数的取值范围.答案和解析1.【答案】C 解：设直线l与椭圆相交于两点，代入椭圆方程可得，两式相减得，解得故选  2.【答案】C 解：设，则，的面积是，当最大时，的面积S取最大值，所以直线AB与x轴垂直时，的面积S取最大值，则的面积的最大值为故选  3.【答案】B 解： 由题意，可设，设，故选  4.【答案】D 解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，当直线AB的斜率不存在时，AB：，则CD：此时，则；同理易得当直线AB的斜率为0时，；当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：，则 CD：又设点，联立方程组，消去y并化简得，由题知，直线CD的斜率为，同理可得为定值故选  5.【答案】BC 解：直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误；的周长为8，根据椭圆定义得的周长为4a，所以，得，所以，所以椭圆方程为，故B正确；联立得，所以，故C正确；O到直线的距离，所以故D错误，故选  6.【答案】ACD 解：由于直线l：被椭圆截得的弦长为7，根据对称性可得：，满足条件直线被椭圆C截得的弦长不为综上可得：下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有故选  7.【答案】AD 解：当与一个斜率为0，另一个斜率不存在时，易知交点，当与的斜率均不为0时，可设且，因为过P点的切线方程为，所以联立得，因为l与椭圆相切，所以，整理得，而与即为式的两根，所以蒙日圆的方程为，所以蒙日圆的方程为，故A正确;B.直线过定点，而刚好在蒙日圆上，过 M做椭圆的两条切线，切点为 A， B，由蒙日圆的定义知，故 B错误；C.点A在椭圆上，的最小值为到到l的距离，而到l的距离为，的最小值为，故 C错误.D.因为矩形MNGH的四条边均与C相切，所以矩形MNGH为C的素日圆的内接矩形，设长为m，宽为n，蒙日圆半径为R，则，当且仅当时等号成立，故D正确.故选  8.【答案】 解：由题意可知：椭圆C：上，由点，焦点在x轴上，则，椭圆的标准方程：；设，则，消去y，整理得，则，则故答案为：；  9.【答案】5 解：设，由，可得，即有，又，即为，又，-得，可得，解得，则，即有，即有时，有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大故答案为：  10.【答案】 解：设，由，得则，同理，于是又，则，所以点Q的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，所以故答案为  11.【答案】 解：设，线段AB的中点此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线对称，直线AB的方程可设为联立，化为，解得，代入直线可得：，解得代入可得：，解得的取值范围是故答案为  12.【答案】解：由题意得椭圆的焦点坐标分别为和，设双曲线方程为，则，解得，双曲线方程为设，分别代入双曲线可得，两式相减，得，点为AB的中点，可得，则，直线l的方程为，把代入，消去y得， 13.【答案】解：，与x轴垂直，直线l的方程为，由，解得或，的坐标为或，直线AM的方程为或；当l与x轴重合时，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，则，则，由，得，将代入，整理可得，则，从而，故MA，MB的倾斜角互补，综上， 14.【答案】解：由已知得 ，又，解得，椭圆C的方程为由题意知，直线l斜率存在，可设直线l方程为，将其代入，得，设，解得，由根与系数的关系，得，为锐角，代入，化简得，解得，由且，解得 15.【答案】解：由题解得所以椭圆C的方程为证明：由知，设，则，设直线方程为，直线方程为，由解得点由于，于是直线的方程为，直线的方程为由，解得点于是，所以轴设PQ中点为N，则N点的纵坐标为故PQ中点在定直线上从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以，所以为等腰三角形 16.【答案】解：由题意：，所以直线的方程为，所以，因为所以，由B在椭圆上可得： 椭圆的标准方程为： 设直线：，点，点  ，所以  ，所以直线AM：，直线ON：，设点，所以     ，       ，令，所以  所以  ，        实数的取值范围为 第16页，共16页学科网（北京）股份有限公司