2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质课时作业.doc
12.3.22.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的几何性质8 直线与抛物线的位置关系1,9 抛物线的焦点弦问题2,3,7 抛物线中的最值问题4,10,11,13 抛物线中的定值问题12 综合应用5,6 【基础巩固】 1.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y2=2px(p>0),则( C ) (A)直线与抛物线有一个公共点 (B)直线与抛物线有两个公共点 (C)直线与抛物线有一个或两个公共点 (D)直线与抛物线可能没有公共点 解析:因为直线 y=kx-k=k(x-1), 所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线 y2=2px 的内部, 所以当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点; 当 k0 时,直线与抛物线有两个公共点. 故选 C. 2.过抛物线 y2=8x 的焦点作倾斜角为 45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( B )(A)8(B)16(C)32(D)64 解析:由题可知抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0), 直线的方程为 y=x-2, 代入 y2=8x,得(x-2)2=8x, 即 x2-12x+4=0, 所以 x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选 B. 3.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且 2x2=x1+x3,则有( C )(A)|FP1|+|FP2|=|FP3| (B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 (C)|FP1|+|FP3|=2|FP2| (D)|FP1|·|FP3|=|FP2|2解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+ ,|FP2|=x2+ ,|FP3|=x3+ . 因为 2x2=x1+x3,所以 2(x2+ )=(x1+ )+(x3+ ), 即 2|FP2|=|FP1|+|FP3|.2故选 C. 4.(2018·临川高二月考)抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A )(A)(B)(C)(D)3解析:设抛物线 y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线 4x+3y-8=0 的距离为,当 m= 时,取得最小值为 .故选 A.5.(2016·全国卷)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= (k>0)与 C 交于点 P,PFx 轴, 则 k 等于( D )(A)(B)1(C)(D)2 解析:由题知 P(1,2),2=k.故选 D. 6.(2018·郑州高二检测)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,若 A,B 在准线上的射影为 A1,B1,则A1FB1等于( A )(A)90° (B)45° (C)60° (D)120° 解析: 如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|, 所以AA1F=AFA1, 又AA1F=A1FO, 所以AFA1=A1FO, 同理BFB1=B1FO, 于是AFA1+BFB1=A1FO+B1FO=A1FB1. 故A1FB1=90°.故选 A. 7.(2018·兰州高二检测)在抛物线 y2=16x 内,过点(2,1)且被此点平分的弦 AB 所在直线的 方程是 . 解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为 k,则直线方程为 y-1=k(x-2),由 消去 x 得 ky2-16y+16(1-2k)=0,所以 y1+y2=2(y1,y2分别是 A,B 的纵坐标), 所以 k=8.代入得 y=8x-15. 答案:y=8x-15 8.抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135°的直线被抛物线所截3得的弦长为 8,试求抛物线的标准方程. 解: 如图,依题意可设抛物线标准方程为 y2=2px(p>0),则直线方程为 y=-x+ p. 设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2), 过 A,B 分别作准线的垂线,垂足为 C,D, 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ , 即 x1+x2+p=8. 又 A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由消去 y 得 x2-3px+=0.所以 x1+x2=3p, 将代入,得 p=2. 所以所求的抛物线标准方程为 y2=4x. 当抛物线方程设为 y2=-2px(p>0)时, 同理可求得抛物线标准方程为 y2=-4x. 【能力提升】 9.(2017·高安市校级高二月考)已知直线 y=2(x-1)与抛物线 C:y2=4x 交于 A,B 两点,点M(-1,m),若·=0,则 m 等于( B )(A)(B)(C)(D)0解析:由可得 8x2-20x+8=0,解得 x=2 或 x= ,则 A(2,2),B( ,-),点 M(-1,m),由·=0,4可得(3,2-m)·( ,-m)=0.化简得 2m2-2m+1=0,解得 m=.故选 B.10.(2018·宜春高二月考)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,·=2(其中 O 为坐标原点),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( B )(A)2(B)3(C)(D)解析:设点 A 的坐标为(a2,a),点 B 的坐标为(b2,b), 直线 AB 的方程为 x=ty+m,与抛物线 y2=x 联立得 y2-ty-m=0, 故 ab=-m,由·=2 得 a2b2+ab=2,故 ab=-2 或 ab=1(舍去), 所以 m=2,所以ABO 的面积等于 m|a-b|=|a-b|=|a+ |,AFO 的面积等于 × |a|=,所以ABO 与AFO 的面积之和为|a+ |+=| a|+| |2=3.当且仅当|a|= 时,等号成立.故选 B. 11.(2018·云南质检)对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)满足|PQ|a|,则 a 的取 值范围是 . 解析:设点 Q 的坐标为(,y0),由|PQ|a|,得+(-a)2a2,整理得(+16-8a)0,因为0,所以+16-8a0,即 a2+恒成立.5而 2+的最小值为 2,所以 a2. 答案:(-,2 12. (2018·湖南六校联考)如图所示,已知点 M(a,3)是抛物线 y2=4x 上一定点,直线 AM,BM 的斜率互为相反数,且与抛物线另交于 A,B 两个不同的点.(1)求点 M 到其准线的距离; (2)求证:直线 AB 的斜率为定值. (1)解:因为 M(a,3)是抛物线 y2=4x 上一定点,所以 32=4a,a= ,所以 M( ,3). 因为抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1,所以点 M 到其准线的距离为 -(-1)=. (2)证明:由题知直线 MA,MB 的斜率存在且不为 0,设直线 MA 的方程为 y-3=k(x- ),由得 y2- y+-9=0.所以 yA+3= ,所以 yA= -3. 因为直线 AM,BM 的斜率互为相反数,所以直线 BM 的方程为 y-3=-k(x- ).同理可得 yB=-3.(只需将 yA= -3 中的 k 换为-k)所以 kAB=- .所以直线 AB 的斜率为定值- . 【探究创新】613.(2018·枣庄高二月考)设点 P 在圆 C:x2+(y-6)2=5 上,点 Q 在抛物线 x2=4y 上,则|PQ|的 最小值为 . 解析:设 Q(x,y),其中 x2=4y. 又圆心 C(0,6),则|QC|=(y0).当 y=4 时,|QC|min=2, 所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=. 答案:
