（新课标）天津市2019年高考数学二轮复习 题型练4 大题专项（二）数列的通项、求和问题 理.doc
1题型练题型练 4 4 大题专项大题专项( (二二) )数列的通项、求和问题数列的通项、求和问题1 1.设数列an的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)0.(1)求an的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2 2.已知等差数列an的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=.1 (1)求数列bn的通项公式;(2)设数列bn前n项和为Tn,求Tn.23 3.(2018 浙江,20)已知等比数列an的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2 是a3,a5的等差中项.数列bn 满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为 2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.34 4.已知等差数列an的前n项和为Sn,公比为q的等比数列bn的首项是 ,且1 2a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列an,bn的通项公式an,bn;(2)求数列的前n项和Tn.1 + 1+1 + 145 5.已知数列an满足a1=,且an+1=an-(nN N* *).1 22(1)证明:12(nN N* *); + 1(2)设数列的前n项和为Sn,证明:(nN N* *).21 2( + 2)1 2( + 1)6 6.已知数列an的首项为 1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,nN N*.(1)若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-=1 的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+en>.225 34- 33 - 15题型练 4 4 大题专项(二)数列的通项、求和问题1 1.(1)解 当n=1 时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n2 时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得an=qan-1.又q(q-1)0,所以an是以 1 为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1.(2)证明 由(1)可知Sn=,又S3+S6=2S9,1 - 1 - 所以,1 - 31 - +1 - 61 - =2(1 - 9)1 - 化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2 2.解 (1)在等差数列an中,a1=1,公差d=1,Sn=na1+d=,bn=( - 1) 22+ 222+ .(2)bn=2,Tn=b1+b2+b3+bn=2+22+ =2 ( + 1)(1 -1 + 1)1 1 × 2+1 2 × 3?+1 3 × 4=2+=2故Tn=?1 ( + 1)(1 -1 2?+1 21 3+1 31 41 ?1 + 1)(1 -1 + 1)=2 + 1.2 + 1.3 3.解 (1)由a4+2 是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得 8=20,( +1 )解得q=2 或q=,因为q>1,所以q=2.1 2(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn前n项和为Sn,由cn=解得cn=4n-1.1, = 1, - - 1, 2,?由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)·(12) - 1.6故bn-bn-1=(4n-5),n2,·(12) - 2bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)+(4n-9)+7+3.·(12) - 2·(12) - 3·12设Tn=3+7+11+(4n-5),n2,·12·(12)2·(12) - 2Tn=3+7+(4n-9)+(4n-5),1 2·12·(12)2·(12) - 2·(12) - 1所以Tn=3+4+4+4-(4n-5),1 2·12·(12)2·(12) - 2·(12) - 1因此Tn=14-(4n+3),n2,·(12) - 2又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·(12) - 2.4 4.解 (1)设an公差为d,由题意得解得故an=3n-1,bn=1+ 2 = 8, 1+ 2 = 3, 1+ + 2 = 6,?1= 2, = 3, =1 2,?(1 2).(2)+22n+1,1 + 1+1 + 1=1 3(1 -1 + 1)+1 + 1=1 3(1 -1 + 1)Tn=+(22n+1 3(1 2-1 5)?+(15-1 8)(1 3 - 1-?1 3 + 2)+8(1 - 4) 1 - 4=1 3(1 2-1 3 + 2)+1 33-8)=1 3(22 + 3-1 3 + 2)5 2.5 5.证明 (1)由题意得an+1-an=-0,即an+1an,故an由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-21 2.2)(1-a1)a1>0.由 00,故q=2.所以an=2n-1(nN N*).(2)证明 由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-=1 的离心率en=221 + 2=1 + 2( - 1).由e2=,解得q=1 + 2=5 34 3.因为 1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(kN N*).1 + 2( - 1)于是e1+e2+en>1+q+qn-1=,- 1 - 1故e1+e2+en>4- 33 - 1.
