数学数值积分和数值微分学习教案.pptx

数学数值数学数值(shz)积分和数值积分和数值(shz)微分微分第一页，共107页。(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式(gngsh)就无能为力了(2)还有被积函数还有被积函数f(x)的原函数能用初等的原函数能用初等(chdng)函函数表示，但表达式太复杂，例如函数数表示，但表达式太复杂，例如函数并不复杂并不复杂(fz)，但积分后其表达式却很复杂，但积分后其表达式却很复杂(fz)，积分后其原函数，积分后其原函数F(x)为：为：第1页/共107页第二页，共107页。(3)(3)被积函数被积函数f(x)f(x)没有具体的解析没有具体的解析(ji x)(ji x)表达式表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性通过原函数来计算积分有它的局限性,因而需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。因而需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想。在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想。用代数插值多项式去代替被积函数发用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容插值型积分。进行积分是本章讨论数值积分的主要内容插值型积分。第2页/共107页第三页，共107页。同样对于函数同样对于函数f(x)f(x)的求导问题，因为在微分学中，函的求导问题，因为在微分学中，函数数f(x)f(x)的导数是通过极限定义的。若函数是以表格形的导数是通过极限定义的。若函数是以表格形式给出，或函数的表达式过于复杂时，也需要研究其式给出，或函数的表达式过于复杂时，也需要研究其数值计算方法。这是本章数值计算方法。这是本章(bn zhn)(bn zhn)介绍的另一个介绍的另一个内容内容数值微分。数值微分。6.2 6.2 数值积分概述数值积分概述 6.2.1 6.2.1 数值积分的基本思想数值积分的基本思想 积分值积分值 在几何上可以在几何上可以解释为由解释为由x=a,x=b,y=0 x=a,x=b,y=0以及以及y=f(x)y=f(x)这四条边所围成的这四条边所围成的曲边梯形面积。如图曲边梯形面积。如图6-16-1所示，而这个面积之所以难所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边于计算是因为它有一条曲边y=f(x)y=f(x)图图6-1 6-1 数值积分的数值积分的几何几何(j h)(j h)意义意义 第3页/共107页第四页，共107页。建立建立(jinl)数值积分公式的途径比较多数值积分公式的途径比较多,其中最其中最常用的有两种：常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在，在积分区间积分区间a,b内存在一点内存在一点，使得，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为，高为的矩形面积。但是点的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的的具体位置一般是未知的,因而因而的值也是未知的的值也是未知的,称称为为f(x)在区间在区间a,b上的平均高度。那么只要对平均高度上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法算法，相应地就获得一种数值求积方法第4页/共107页第五页，共107页。三个求积分三个求积分(jfn)(jfn)公式公式 梯形梯形(txng)(txng)公式公式y=f(x)yxaby=f(x)abyx(a+b)/2 中矩形中矩形(jxng)(jxng)公式公式按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如如 分别取分别取 和和则分别得到中矩形公式和梯形公则分别得到中矩形公式和梯形公式。式。y=f(x)abab第5页/共107页第六页，共107页。y=f(x)yabSimpson公式公式(gngsh)(a+b)/2f()的近似值而获得的一种数值积分方法。的近似值而获得的一种数值积分方法。中矩形公式把中矩形公式把a,b的中点处函数的中点处函数(hnsh)值值作为平均高度作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值的近似值而获得的一种数值积分方法。积分方法。ab(a+b)/2在这三个公式在这三个公式(gngsh)中中,梯形公式梯形公式(gngsh)把把f(a),f(b)的加权平均值的加权平均值作为平均高度作为平均高度第6页/共107页第七页，共107页。Simpson公式公式(gngsh)是以函数是以函数f(x)在在a,b,(a+b)/2这三这三点的函数值点的函数值f(a),f(b),的加权平均值的加权平均值似值而获得的一种数值积分方法。似值而获得的一种数值积分方法。作为作为(zuwi)平均高度平均高度f()的近的近（2）先用某个）先用某个(mu)简单函数简单函数近似逼近近似逼近f(x),用用代替原被积函数代替原被积函数f(x)，即，即以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数函数应对应对f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分且又容易计算积分,因此将因此将选取为插值多项式选取为插值多项式,这样这样f(x)的积分就可以的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替用其插值多项式的积分来近似代替第7页/共107页第八页，共107页。6.2.2 6.2.2 插值求积公式插值求积公式(gngsh)(gngsh)设已知设已知f(x)f(x)在节点在节点 有函数值有函数值,作作n n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 式中式中 这里这里(zhl(zhl)多项式多项式P(x)P(x)易于易于(yy)(yy)求积求积,所以可取所以可取 作为作为 的近似值，即的近似值，即 第8页/共107页第九页，共107页。其中其中(qzh(qzhng)ng)称为求积系数。给出如下称为求积系数。给出如下(rxi)(rxi)定义。定义。定义定义(dngy)6.1 (dngy)6.1 求积公式求积公式 其系数其系数 时，则称求积公式为插值时，则称求积公式为插值求积公式。求积公式。(6.4)(6.4)第9页/共107页第十页，共107页。设插值求积公式设插值求积公式(gngsh)(gngsh)的余项为的余项为 ,由插值余项由插值余项定理得定理得 其中其中(qzh(qzhng)ng)如何衡量积分公式精确程度？如何衡量积分公式精确程度？以多项式函数以多项式函数(hnsh)(hnsh)做为参照系，考察积分公式的做为参照系，考察积分公式的误差。为此给出以下定义。误差。为此给出以下定义。第10页/共107页第十一页，共107页。定义定义6.2 6.2 （代数精度）（代数精度）设求积公式设求积公式(gngsh)(gngsh)（6.46.4）对于一）对于一 切次数小于等于切次数小于等于m m的多项式的多项式(是准确的，而对于次数为是准确的，而对于次数为m+1m+1的多项式是不准确的，则称该求的多项式是不准确的，则称该求积公式具有积公式具有m m次代数次代数(dish)(dish)精度（简称代数精度（简称代数(dish)(dish)精度）精度）由定义可知，若求积公式（由定义可知，若求积公式（6.46.4）的代数）的代数(dish)(dish)精度精度为为n n，则求积系数，则求积系数 应满足线性方程组：应满足线性方程组：或或)第11页/共107页第十二页，共107页。这是关于这是关于(guny)的线性方程组，其系数的线性方程组，其系数矩阵矩阵是梵得蒙矩阵是梵得蒙矩阵(jzhn),当当互异时非奇异互异时非奇异,故故有唯一解。有唯一解。第12页/共107页第十三页，共107页。定理定理6.1 n+16.1 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式(gngsh)(gngsh)为插值型求积公式为插值型求积公式(gngsh)(gngsh)的充要条件是公式的充要条件是公式(gngsh)(gngsh)至至少具有少具有n n次代数精度。次代数精度。证证:充分性充分性 设设n+1n+1个节点的求积公式个节点的求积公式(gngsh)(gngsh)为插值型求积公式为插值型求积公式(gngsh),(gngsh),求积系数为求积系数为 又又 。当。当f(x)f(x)为不高于为不高于n n次的多项式时次的多项式时,f(x)=P(x),f(x)=P(x),其余项其余项R(f)=0R(f)=0。因而这时求积公式。因而这时求积公式(gngsh)(gngsh)至少至少具有具有n n次代数精度。次代数精度。必要性必要性 若求积公式若求积公式(gngsh)(gngsh)至少具有至少具有n n次代数精度次代数精度,则对则对n n次多项式次多项式 第13页/共107页第十四页，共107页。定理定理6.1 n+16.1 n+1个节点个节点(ji din)(ji din)的求积公式的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式为插值型求积公式的充要条件是公式 至少具有至少具有n n次代数精度。次代数精度。必要性必要性 若求积公式若求积公式(gngsh)(gngsh)至少具有至少具有n n次代数精度次代数精度,则对则对n n次次 多项式多项式精确精确(jngqu)(jngqu)成立成立,即即而而取取 时时所以有所以有 ,即求积公式为插值型即求积公式为插值型求积公式求积公式 第14页/共107页第十五页，共107页。例例6.1 6.1 设积分区间设积分区间a,ba,b为为0,20,2，取，取 时时,分别分别(fnbi)(fnbi)用梯形和辛卜生公式用梯形和辛卜生公式 计算其积分结果并与准确值进行计算其积分结果并与准确值进行(jnxng)(jnxng)比较比较解解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比 较如下表所示较如下表所示 第15页/共107页第十六页，共107页。f(x)1 x x2 x3 x4 ex 准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形(txng)公式计算值 2 2 4 8 16 8.389 辛卜生公式计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 从表中可以看出从表中可以看出,当当f(x)f(x)是是 时时,辛辛卜生公式卜生公式(gngsh)(gngsh)比梯形公式比梯形公式(gngsh)(gngsh)更精确更精确 一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有梯形公式和中矩形公式具有1 1次代数精度，辛卜生次代数精度，辛卜生公式有公式有3 3次代数精度。下面以梯形公式为例进行次代数精度。下面以梯形公式为例进行(jnxng)(jnxng)验证验证 第16页/共107页第十七页，共107页。取取f(x)f(x)=1时，时，两端两端(lin(lin dun)dun)相等相等 取取f(x)=xf(x)=x时时,取取f(x)=xf(x)=x2 2 时时,两端两端(lin(lin dun)dun)不相等不相等 所以梯形公式所以梯形公式(gngsh)(gngsh)只有只有1 1次代数精度。次代数精度。两端相等两端相等 第17页/共107页第十八页，共107页。例例6.2 6.2 试确定一个至少具有试确定一个至少具有2 2次代数精度次代数精度(jn d)(jn d)的公式的公式 解解:要使公式具有要使公式具有2 2次代数精度次代数精度,则对则对f(x)=1,x,x2f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立求积公式准确成立(chngl)(chngl)，即得如下方程，即得如下方程组。组。解之得，解之得，所求公式所求公式(gngsh)(gngsh)为：为：第18页/共107页第十九页，共107页。例例6.3 6.3 试确定求积系数试确定求积系数A,B,C A,B,C 使使 具有最高的代数精度具有最高的代数精度解解:分别分别(fnbi)(fnbi)取取f(x)=1,x,x2 f(x)=1,x,x2 使求积公式准确成立使求积公式准确成立,即即 得如下方程组。得如下方程组。所得所得(su d)(su d)求积公求积公式为：式为：对于对于f(x)=1,x,x2,x3f(x)=1,x,x2,x3都准确都准确(zhnqu)(zhnqu)成立成立,对于对于f(x)=x4 f(x)=x4 就不准确就不准确(zhnqu)(zhnqu)了，所以此求积公式了，所以此求积公式 3 3 次代数精度。次代数精度。第19页/共107页第二十页，共107页。由于由于(yuy)n+1节点的插值求积公式至少有节点的插值求积公式至少有n次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如求积公式的代数精度。例如插值求积公式插值求积公式有三个节点至少有有三个节点至少有2次代数精度，是否有次代数精度，是否有3次代数精度呢次代数精度呢？将？将f(x)=x2代入公式两端，左端和右端都等于代入公式两端，左端和右端都等于(dngy)(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将公式两端严格相等，再将f(x)=x4代代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代次代数精度。数精度。第20页/共107页第二十一页，共107页。的代数精度的代数精度可以验证可以验证,对于对于(duy)f(x)=1,x时公式两端相等时公式两端相等,再将再将f(x)=x2代入公式代入公式左端左端例例6.4考察考察(koch)求积公式求积公式两端两端(lindun)不相等不相等,所以该求积公式具有所以该求积公式具有1次次代数精度代数精度.三个节点不一定具有三个节点不一定具有2次代数精度，次代数精度，因为不是插值型的因为不是插值型的右端右端第21页/共107页第二十二页，共107页。例例6.5 6.5 给定求积公式给定求积公式(gngsh)(gngsh)如下：如下：试证此求积公式试证此求积公式(gngsh)(gngsh)是插值型的求积公式是插值型的求积公式(gngsh)(gngsh)证证:设设 ,则以这三点则以这三点(sn(sn din)din)为插值节点的为插值节点的 Lagrange Lagrange插值基函数为插值基函数为 第22页/共107页第二十三页，共107页。第23页/共107页第二十四页，共107页。由插值型求积公式由插值型求积公式(gngsh)(gngsh)的定义知，所给的定义知，所给的求积公式的求积公式(gngsh)(gngsh)是插值型求积公式是插值型求积公式(gngsh)(gngsh)。插值型求积公式插值型求积公式(gngsh)(gngsh)为为第24页/共107页第二十五页，共107页。例例6.6求证求证(qizhng)不是不是(bshi)插值型的插值型的证明证明:设设x0=-1,x1=0,x2=1,A0=1/2,A1=1,A2=1/2则以这三点则以这三点(sndin)为插值节点的为插值节点的Lagrange插值插值基函数为基函数为第25页/共107页第二十六页，共107页。第26页/共107页第二十七页，共107页。第27页/共107页第二十八页，共107页。例例6.7给定给定(idn)求积公式求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代数使其有尽可能高的代数(dish)精度，并指出其代数精度，并指出其代数(dish)精度精度解：令求积公式对解：令求积公式对f(x)=1,x,x2准确准确(zhnqu)成立，成立，则有则有第28页/共107页第二十九页，共107页。例例6.7给定给定(idn)求积公式求积公式试确定求积系数试确定求积系数(xsh)A-1,A0,A1,使其有尽可能使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度高的代数精度，并指出其代数精度解之得解之得其代数精度至少为其代数精度至少为2,将将f(x)=x3代入求积公式两端代入求积公式两端(lindun)相等相等,而将将而将将f(x)=x4代入求积公式两端代入求积公式两端(lindun)不相等不相等,所以其代数精度为所以其代数精度为3次次第29页/共107页第三十页，共107页。例例6.8确定确定(qudng)求积公式求积公式使其具有尽可能高的代数使其具有尽可能高的代数(dish)精度精度解：不妨设解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式设所求公式(gngsh)的代数的代数精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式时公式(gngsh)变成等式变成等式,即即第30页/共107页第三十一页，共107页。例例6.8确定确定(qudng)求积公式求积公式使其具有尽可能高的代数使其具有尽可能高的代数(dish)精度精度解：不妨解：不妨(bfng)设设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式设所求公式的代数的代数精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式变成等式,即即其中其中h=b-a,令令f(x)=x3代入上式代入上式,两端不等两端不等,说明求积公说明求积公式只有式只有2次代数精度。次代数精度。解之得：解之得：第31页/共107页第三十二页，共107页。构造插值求积公式有如下特点：构造插值求积公式有如下特点：复杂函数复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的积分 求积系数求积系数Ak只与积分区间及节点只与积分区间及节点xk有关，而与被积有关，而与被积函数函数f(x)无关，可以不管无关，可以不管f(x)如何，预先如何，预先(yxin)算出算出Ak的值的值 n+1个节点的插值求积公式至少具有个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度次代数精度 求积系数之和求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性第32页/共107页第三十三页，共107页。例例 6.9 求证求证(qizhng)当节点为当节点为n+1个时个时,插值求积系数之插值求积系数之和为和为第33页/共107页第三十四页，共107页。(1)在积分在积分(jfn)区间区间a,b上选取节点上选取节点xk(2)求出求出f(xk)及利用及利用或解关于或解关于Ak的线性方程组求出的线性方程组求出Ak，这样，这样就得到了就得到了(3)利用利用(lyng)f(x)=xn,验算代数精度验算代数精度 构造构造(guzo)(guzo)插值求积公式的步骤插值求积公式的步骤第34页/共107页第三十五页，共107页。例例6.9对对构造一个至少有构造一个至少有3次代数次代数(dish)精度精度的求积公式的求积公式解解:3次代数精度需次代数精度需4个节点个节点,在在0,3上取上取0,1,2,3四个四个节点构造节点构造(guzo)求积公式求积公式确定求积系数确定求积系数(xsh)Ak(k=0,1,2,3),利用求积利用求积系数系数(xsh)公式公式因为求积公式有因为求积公式有4个节点，所以至少具有个节点，所以至少具有3次代数精度，次代数精度，只需将只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入代入两端不相等，所以只有两端不相等，所以只有3次代数精度次代数精度第35页/共107页第三十六页，共107页。6.3牛顿牛顿(nidn)柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式在插值求积公式在插值求积公式中中,当所取节点是等距时称为牛顿当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式柯特斯公式其中其中(qzhng)插值多项式插值多项式求积系数求积系数这里这里(zhl)是插值基函数。即有是插值基函数。即有第36页/共107页第三十七页，共107页。将积分区间将积分区间a,b划分为划分为n等分等分,步长步长求积节点为求积节点为为了计为了计算系数算系数(xsh)Ak,由于由于,所以所以作变量作变量(binling)代换代换当当时时,有有,于是可得于是可得第37页/共107页第三十八页，共107页。(k=0,1,n)代入插值求积公式代入插值求积公式(gngsh)(6.4)(gngsh)(6.4)有有 称为牛顿称为牛顿(ni dn)-(ni dn)-柯特斯求积公式柯特斯求积公式,Ck,Ck称为柯称为柯特斯系数特斯系数引进引进(ynjn)记记号号(k=0,1,n)则则第38页/共107页第三十九页，共107页。容易容易(rngy)(rngy)验证验证 显然显然,Ck,Ck是不依赖于积分区间是不依赖于积分区间a,ba,b以及被积函数以及被积函数f(x)f(x)的常数的常数(chngsh),(chngsh),只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数就可以算出柯特斯系数,譬如当譬如当n=1n=1时时 第39页/共107页第四十页，共107页。当当n=2=2时时P130 P130 表表-1-1给出了给出了n n从从1 18 8的柯特斯系数。的柯特斯系数。当当n=8n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从而时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是影响稳定性和收敛性，因此实用的只是(zhsh)(zhsh)低阶低阶公式。公式。第40页/共107页第四十一页，共107页。6.4 6.4 几个低阶求积公式几个低阶求积公式 在牛顿在牛顿-柯特斯求积公式中柯特斯求积公式中n=1,2,4n=1,2,4时，就时，就分别分别得到下面得到下面(xi mian)(xi mian)的梯形公式、辛卜生公式的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。和柯特斯公式。(1)(1)梯形公式梯形公式 当当n=1n=1时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式 定理定理6.2（梯形公式的误差）设（梯形公式的误差）设f(x)在在a,b上具有连续上具有连续(linx)的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为第41页/共107页第四十二页，共107页。证证:由插值型求积公式由插值型求积公式(gngsh)(gngsh)的余项的余项 其中其中 可知梯形公式可知梯形公式(gngsh)(gngsh)的误差为的误差为 由于由于(yuy)(x-a)(x-b)(yuy)(x-a)(x-b)在在a,ba,b中不变号中不变号,在在a,ba,b上连续上连续,根据高等数学中的积分中值定理根据高等数学中的积分中值定理,在在a,ba,b上存在一点上存在一点，使，使 因此因此(ync(ync)第42页/共107页第四十三页，共107页。（2 2）辛卜生公式辛卜生公式(gngsh)(gngsh)当当n=2n=2时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)就是辛就是辛卜生公式卜生公式(gngsh)(gngsh)（或（或 称抛物线公式称抛物线公式(gngsh)(gngsh)）定理定理(dngl)6.3(dngl)6.3（辛卜生公式的误差）设在（辛卜生公式的误差）设在a,ba,b上上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为 定理证明定理证明(zhngmng)(zhngmng)从略。从略。第43页/共107页第四十四页，共107页。（3 3）柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)。当当n=4n=4时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)为为 定理定理6.46.4（柯特斯公式（柯特斯公式(gngsh)(gngsh)的误差）设在的误差）设在a,ba,b上具有连续的上具有连续的6 6阶导数，则柯特斯求积公式阶导数，则柯特斯求积公式(gngsh)(gngsh)的误差为的误差为 定理定理(dngl)(dngl)的证明从略。的证明从略。第44页/共107页第四十五页，共107页。例例6.11 6.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式计算公式计算(j sun)(j sun)定积分定积分 的近似值的近似值(计算计算(j sun)(j sun)结果取结果取5 5位有效数位有效数字字)(1)(1)用梯形公式用梯形公式(gngsh)(gngsh)计计算算 (2)(2)用辛卜生公式用辛卜生公式(gngsh)(gngsh)第45页/共107页第四十六页，共107页。(3)(3)用柯特斯公式用柯特斯公式(gngsh)(gngsh)计算，系计算，系数为数为 积分积分(jfn)(jfn)的准的准确值为确值为 可见，三个求积公式的精度可见，三个求积公式的精度(jn d)(jn d)逐渐提逐渐提高。高。第46页/共107页第四十七页，共107页。例例6.12 6.12 用用辛辛卜卜生生公公式式(gngsh)(gngsh)和和柯柯特特斯斯公公式式(gngsh)(gngsh)计计算定积分算定积分的的近近似似值值,并并估估计计(gj)(gj)其其误误差差(计计算算结结果果取取5 5位位小小数数)解解:辛辛 卜卜 生生 公公 式式(gngsh)(gngsh)由于由于 由辛卜生公式余项由辛卜生公式余项 知其误差为知其误差为 第47页/共107页第四十八页，共107页。例例6.12用用辛辛卜卜生生公公式式和和柯柯特特斯斯公公式式计计算算(jsun)定定积分积分的近似值的近似值,并估计其误差并估计其误差(wch)(计算结果取计算结果取5位位小数小数)解解:柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)知其误差为知其误差为第48页/共107页第四十九页，共107页。例例6.12用用辛辛卜卜生生公公式式(gngsh)和和柯柯特特斯斯公公式式(gngsh)计算定积分计算定积分的近似值的近似值,并估计其误差并估计其误差(wch)(计算结果取计算结果取5位小位小数数)该定积分的准确值该定积分的准确值 ,这个这个例子告诉例子告诉(o s)(o s)我们，对于同一个积分，当我们，对于同一个积分，当n2n2时，公式却是精确的，这是由于辛卜生公式时，公式却是精确的，这是由于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。立的。第49页/共107页第五十页，共107页。6.5 6.5 复化求积公式复化求积公式问题提出：如何提高积分精度？问题提出：如何提高积分精度？随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于n8n8时的牛顿时的牛顿柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本(jbn)(jbn)思想。思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生公式。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生公式。第50页/共107页第五十一页，共107页。6.5.1复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差将积分区间将积分区间(qjin)a,b划分为划分为n等分等分,步长步长求求积积节节点点为为在在每每个个小小区区间间(qjin)上应用梯形公式上应用梯形公式求出积分求出积分(jfn)(jfn)值值Ik,Ik,然后将它们累加求和然后将它们累加求和,用用作为所求积分作为所求积分(jfn)I(jfn)I的近似值。的近似值。第51页/共107页第五十二页，共107页。记记(6.5)(6.5)(6.5)(6.5)式称为式称为(chn wi)(chn wi)复化梯形公复化梯形公式。式。当当f(x)f(x)在在a,ba,b上有连续的二阶导数上有连续的二阶导数(do sh),(do sh),在子区间在子区间 上梯形公式的余项已知为上梯形公式的余项已知为 在在a,ba,b上的余项上的余项 第52页/共107页第五十三页，共107页。设设 在在a,ba,b上连续，根据上连续，根据(gnj)(gnj)连续函数的连续函数的介值定理知，存在介值定理知，存在 ，使，使 因此因此(ync),(ync),余项余项 6.5.2 6.5.2 复化梯形求积算法实现复化梯形求积算法实现 （1 1）复化梯形公式计算步骤）复化梯形公式计算步骤 确定确定(qudng)(qudng)步长步长h=(b-a)/N (N h=(b-a)/N (N 为为等分数等分数)对对k=1,2,Nk=1,2,N，计算，计算T=T+f(a+kh)T=T+f(a+kh)T=h T=h f(a)+2T+f(b)f(a)+2T+f(b)/2/2第53页/共107页第五十四页，共107页。（2 2）复复化化梯梯形形(t t x x n ng g)公公式式的的流流程程图图 第54页/共107页第五十五页，共107页。(3)(3)程序实现程序实现(见附录见附录(fl)A A-11(fl)A A-11 复化梯形求积法）复化梯形求积法）6.5.3复化辛卜生公式及其误差复化辛卜生公式及其误差将将积积分分区区间间(qjin)a,b划划分分为为n等等分分,记记子子区区间间(qjin)的的中中点点为为在在每每个个小小区区间间(qjin)上上应应用用辛辛卜生卜生公式，则有公式，则有记记 (6.6)(6.6)称为称为(chn wi)(chn wi)复化辛卜生公式复化辛卜生公式 第55页/共107页第五十六页，共107页。类似于复化梯形类似于复化梯形(txng)(txng)公式余项的讨论，公式余项的讨论，复化辛卜生公式复化辛卜生公式(6.6)(6.6)的求积余项为的求积余项为 如果把每个子区间如果把每个子区间 四等四等(s dn)(s dn)分分,内内分点依次记分点依次记 同理可得复化柯特斯公式同理可得复化柯特斯公式(gngsh)(gngsh)求积余项为求积余项为第56页/共107页第五十七页，共107页。复化求积公式复化求积公式(gngsh)(gngsh)的余项表明，的余项表明，只要被积函数发只要被积函数发f(x)f(x)所涉及的各阶导数在所涉及的各阶导数在a,ba,b上连续，那么复化梯形公式上连续，那么复化梯形公式(gngsh)(gngsh)、复化辛卜生公式、复化辛卜生公式(gngsh)(gngsh)与与复化柯特斯公式复化柯特斯公式(gngsh)(gngsh)所得近似值所得近似值的余项和步长的关系依次为的余项和步长的关系依次为 、。因此当。因此当h0(h0(即即n)n)时时,都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。个快。第57页/共107页第五十八页，共107页。6.5.4 6.5.4 复化辛卜生求积算法复化辛卜生求积算法(sun f)(sun f)实现实现（1 1）复化辛卜生公式计算步骤）复化辛卜生公式计算步骤 确确定定步步长长h=(b-a)/N,S1=f h=(b-a)/N,S1=f(a+h/2)(a+h/2),S2=0 S2=0 (N (N 为等分数为等分数)对对k=1,2,N-1k=1,2,N-1，计算，计算 S1=S1=S1+f S1+f(a+kh+h/2)(a+kh+h/2),S2=S2=S2+f(a+kh)S2+f(a+kh)S S=h h f f(a)(a)+4S1+4S1+2 2 S2+S2+f f(b)(b)/6/6 第58页/共107页第五十九页，共107页。（2 2）复复化化辛辛卜卜生生公公式式(g g n ng gs sh h)流流程程图图 第59页/共107页第六十页，共107页。(3)(3)程序实现程序实现(见附录见附录(fl)A A-12(fl)A A-12复化辛卜生求积法复化辛卜生求积法)例例6.13 6.13 依次用依次用n=8n=8的复化梯形的复化梯形(txng)(txng)公式、公式、n=4n=4的复化的复化 辛卜生公式计算定积分辛卜生公式计算定积分 解解:首先计算出所需各节点首先计算出所需各节点(ji din)(ji din)的函数值的函数值,n=8,n=8时，时，见见P P136136由复化梯形公式由复化梯形公式(6.5)(6.5)可得如下计算公式：可得如下计算公式：第60页/共107页第六十一页，共107页。由复化辛卜生公式由复化辛卜生公式(gngsh)(6.6)(gngsh)(6.6)可得如下计可得如下计算公式算公式(gngsh)(gngsh)（积分（积分(jfn)(jfn)准确值准确值I=0.9460831I=0.9460831）这两种方法都需要提供这两种方法都需要提供9 9个点上的函数值，计算个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有化梯形法只有(zhyu)(zhyu)两位有效数字两位有效数字(T8=0.9456909),(T8=0.9456909),而复化辛卜生法却有六位有效数字。而复化辛卜生法却有六位有效数字。第61页/共107页第六十二页，共107页。例例6.14 6.14 用复化梯形公式计算定积分用复化梯形公式计算定积分 才能才能(cinng)(cinng)使误差不超过使误差不超过 解解:取取 ,则则 ,又区间又区间(q(q jin)jin)长度长度b-a=1b-a=1，对，对复化梯形公式有余项复化梯形公式有余项 即即 ,n212.85 ,n212.85，取，取n=213n=213，即将，即将(jjing)(jjing)区间区间0,10,1分为分为213213等份时，用复化梯形公式计算误差等份时，用复化梯形公式计算误差不超过不超过 。问区间问区间0,10,1应分多少等份应分多少等份第62页/共107页第六十三页，共107页。6.6 6.6 龙贝格（龙贝格（RombergRomberg）求积法）求积法 复复化化求求积积方方法法对对于于(duy)(duy)提提高高计计算算精精度度是是行行之之有有效效的的方方法法，但但复复化化公公式式的的一一个个主主要要缺缺点点在在于于要要先先估估计计出出步步长长。若若步步长长太太大大，则则难难以以保保证证计计算算精精度度，若若步步长长太太小小，则则计计算算量量太太大大，并并且且积积累累误误差差也也会会增增大大。在在实实际际计计算算中中通通常常采采用用变变步步长长的的方方法法，即即把把步步长长逐逐次次分分半半，直直至至达达到到某种精度为止。某种精度为止。6.6.1 6.6.1变步长的梯形公式变步长的梯形公式 变变步步长长复复化化求求积积法法的的基基本本思思想想是是在在求求积积过过程程中中，通通过过对对计计算算结结果果精精度度的的不不断断估估计计，逐逐步步改改变变步步长长（逐逐次次分分半半），直直至至满满足足精精度度要要求求为为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。第63页/共107页第六十四页，共107页。设将积分设将积分(jfn)(jfn)区间区间a,bna,bn等分，即分等分，即分成成n n个子区间，一共有个子区间，一共有n+1n+1个节点，即个节点，即x=a+kh,x=a+kh,k=0,1,k=0,1,，n n，步长，步长 。对于某个。对于某个子区间子区间 ,