泰勒公式修正学习教案.pptx
会计学1泰勒公式泰勒公式(gngsh)修正修正第一页，共61页。不足(bz):1 精确度不高2 难以估计误差(wch)第2页/共61页第二页，共61页。需要解决(jiju)的问题:2 给出误差(wch)：的具体(jt)估计式.1第3页/共61页第三页，共61页。观察(gunch)：有相交(xingjio)相切猜pn(x)与 f(x)在x0 处相同(xin tn)的导数的阶数越高，它们就有可能越接近？pn(x)的确定:第4页/共61页第四页，共61页。要求(yoqi):求系数(xsh)寻求寻求寻求寻求(xnqi)n(xnqi)n(xnqi)n(xnqi)n次近似多项式：次近似多项式：次近似多项式：次近似多项式：第5页/共61页第五页，共61页。要求:第6页/共61页第六页，共61页。带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒(ti l)公式阶的导数(do sh),有则对2.2.带有皮亚诺型余项的带有皮亚诺型余项的带有皮亚诺型余项的带有皮亚诺型余项的n n阶泰勒阶泰勒阶泰勒阶泰勒(ti l)(Taylor)(ti l)(Taylor)公式公式公式公式定理3.6Rn(x)的确定：第7页/共61页第七页，共61页。分析分析分析分析(fnx)(fnx)要证要证要证要证只需证令(称为(chn wi)余项),只需证第8页/共61页第八页，共61页。证证证证令则有洛必达法则(fz)第9页/共61页第九页，共61页。定理(dngl)3.6的条件可以减弱：注注注注定理(dngl)3.6 证明(zhngmng)同上，只需注意到：提示：第10页/共61页第十页，共61页。带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒(ti l)公式直到(zhdo)n+1 阶的导数,有则对定理(dngl)3.73 3.带有拉格朗日型余项的带有拉格朗日型余项的带有拉格朗日型余项的带有拉格朗日型余项的n n阶泰勒阶泰勒阶泰勒阶泰勒(Taylor)(Taylor)公式公式公式公式其中第11页/共61页第十一页，共61页。证证证证只需证令则有柯西中值定理(dngl)且第12页/共61页第十二页，共61页。即第13页/共61页第十三页，共61页。解例例例例1 1因此(ync)第14页/共61页第十四页，共61页。注注注注 1 1 泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式(gngsh)(gngsh)的余项估计的余项估计的余项估计的余项估计第15页/共61页第十五页，共61页。(1)当 n=0 时,泰勒(ti l)公式变为拉格朗日中值定理(2)当 n=1 时,泰勒(ti l)公式变为2 2 泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式(gngsh)(gngsh)的特例的特例的特例的特例(3)若在泰勒公式中称为麦克劳林公式第16页/共61页第十六页，共61页。二、麦克劳林（二、麦克劳林（二、麦克劳林（二、麦克劳林（MaclaurinMaclaurin）公式）公式）公式）公式(gngsh)(gngsh)由此得近似(jn s)公式便可得到(d do)麦克劳林（Maclaurin）公式：在泰勒公式中取第17页/共61页第十七页，共61页。其中(qzhng)几个初等函数几个初等函数几个初等函数几个初等函数(hnsh)(hnsh)的麦克劳林公式：的麦克劳林公式：的麦克劳林公式：的麦克劳林公式：第18页/共61页第十八页，共61页。其中(qzhng)第19页/共61页第十九页，共61页。类似(li s)可得其中(qzhng)第20页/共61页第二十页，共61页。其中(qzhng)第21页/共61页第二十一页，共61页。已知其中(qzhng)类似(li s)可得第22页/共61页第二十二页，共61页。三、泰勒公式三、泰勒公式三、泰勒公式三、泰勒公式(gngsh)(gngsh)的应用的应用的应用的应用1.在函数(hnsh)逼近中的应用 第23页/共61页第二十三页，共61页。误差(wch)其中(qzhng)M 为在包含 0,x 的某区间(q jin)上的上界.常见类型:1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差;3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.2.2.在近似计算中的应用在近似计算中的应用在近似计算中的应用在近似计算中的应用第24页/共61页第二十四页，共61页。在例例例例2 2 计算无理数计算无理数计算无理数计算无理数 e e 的近似值的近似值的近似值的近似值,使误差使误差使误差使误差(wch)(wch)不超过不超过不超过不超过解中令 x=1,得由于(yuy)欲使的麦克劳林公式(gngsh)由计算可知当 n=9 时上式成立,因此第25页/共61页第二十五页，共61页。3.3.利用泰勒利用泰勒利用泰勒利用泰勒(ti l)(ti l)公式求极限公式求极限公式求极限公式求极限解例3第26页/共61页第二十六页，共61页。第27页/共61页第二十七页，共61页。(方法(fngf)1)用泰勒(ti l)公式例例例例4 4解第28页/共61页第二十八页，共61页。(方法(fngf)2)用洛必达法则(fz)，需换元:第29页/共61页第二十九页，共61页。例5证4.4.利用泰勒公式进行利用泰勒公式进行利用泰勒公式进行利用泰勒公式进行(jnxng)(jnxng)证证证证明明明明第30页/共61页第三十页，共61页。证例例例例6 6由麦克劳林公式(gngsh)有证明(zhngmng)在开导数(do sh)，从而第31页/共61页第三十一页，共61页。两式相减得从而(cng r)由介值定理(dngl)，第32页/共61页第三十二页，共61页。1.泰勒(ti l)公式其中(qzhng)余项当时为麦克劳林公式(gngsh).内容小结内容小结内容小结内容小结第33页/共61页第三十三页，共61页。2.常用函数(hnsh)的麦克劳林公式3.泰勒公式(gngsh)的应用(2)近似计算(3)求极限(jxin)(4)证明(1)利用多项式逼近函数第34页/共61页第三十四页，共61页。思考题思考题思考题思考题1.在第一(dy)章6 中，重要极限为什么？解由第一(dy)章6 的证明，知第35页/共61页第三十五页，共61页。舍掉对于(duy)固定的n,令m 得n+1 项第36页/共61页第三十六页，共61页。由夹逼准则(zhnz)，得一方面，另一方面，由于(yuy)第37页/共61页第三十七页，共61页。解2.2.第38页/共61页第三十八页，共61页。备用备用备用备用(biyng)(biyng)题题题题例例例例2-1 2-1 计算(j sun)cos x的近似值,使其精确(jngqu)到 0.005,试确定 x 的适用范围.解近似公式的误差为令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .用近似公式第39页/共61页第三十九页，共61页。选择(xunz)解例例例例2-2 2-2 计算计算计算计算(j sun)(j sun)的近似值,要求(yoqi)精确到小数点后的第5位.第40页/共61页第四十页，共61页。因此(ync)符合精度(jn d)要求，第41页/共61页第四十一页，共61页。解用洛必塔法则(fz)不方便!用泰勒公式将分子展到项,由于(yuy)例例例例3-13-1第42页/共61页第四十二页，共61页。第43页/共61页第四十三页，共61页。解原式例例例例3-23-2第44页/共61页第四十四页，共61页。例例例例3-33-3利用泰勒(ti l)公式求极限解第45页/共61页第四十五页，共61页。解例例例例3-43-4因为(yn wi)第46页/共61页第四十六页，共61页。所以(suy)第47页/共61页第四十七页，共61页。证例例例例5-15-1其中(qzhng)a,b是非负数，求证(qizhng)：对一切有二阶导数(do sh)，第48页/共61页第四十八页，共61页。两式相减得第49页/共61页第四十九页，共61页。于是(ysh)第50页/共61页第五十页，共61页。证例例例例5-25-2使得(sh de)第51页/共61页第五十一页，共61页。可得第52页/共61页第五十二页，共61页。从而(cng r)得使得(sh de)即存在(cnzi)一点第53页/共61页第五十三页，共61页。证例例例例5-35-3由泰勒(ti l)公式，得第54页/共61页第五十四页，共61页。第55页/共61页第五十五页，共61页。第56页/共61页第五十六页，共61页。证例例例例6-16-1所以(suy)在第57页/共61页第五十七页，共61页。因为(yn wi)所以(suy)第58页/共61页第五十八页，共61页。感谢您的观看(gunkn)！第61页/共61页第六十一页，共61页。
