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会计学1湍流的数学模型简介湍流的数学模型简介(jin ji)精心整理精心整理第一页，共89页。Contents湍流导论湍流导论1湍流的数学模型简介湍流的数学模型简介2湍流模型湍流模型RANS3直接模拟直接模拟DNS4大涡模拟大涡模拟LES5湍流燃烧模型简介湍流燃烧模型简介6第1页/共89页第二页，共89页。第2页/共89页第三页，共89页。第第1章章 湍流湍流(tunli)导论导论n n湍流现象描述湍流现象描述湍流现象描述湍流现象描述 n n 湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。湍流中流体的各个物理参数，转的不规则流动。湍流中流体的各个物理参数，转的不规则流动。湍流中流体的各个物理参数，转的不规则流动。湍流中流体的各个物理参数，如速度、压力、温度等都随时间与空间发生随机如速度、压力、温度等都随时间与空间发生随机如速度、压力、温度等都随时间与空间发生随机如速度、压力、温度等都随时间与空间发生随机(su j)(su j)变化。变化。变化。变化。n n湍流与层流湍流与层流湍流与层流湍流与层流n n 自然界中的流体流动状态主要有两种形式，自然界中的流体流动状态主要有两种形式，自然界中的流体流动状态主要有两种形式，自然界中的流体流动状态主要有两种形式，即层流即层流即层流即层流(laminar)(laminar)和湍流和湍流和湍流和湍流(trubulence)(trubulence)。层流是指。层流是指。层流是指。层流是指流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而湍流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而湍流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而湍流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而湍流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，湍流是普遍的，而层流则属于个别情况。湍流是普遍的，而层流则属于个别情况。湍流是普遍的，而层流则属于个别情况。湍流是普遍的，而层流则属于个别情况。n n 判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数是否超过临界雷诺数。雷诺数的定义如下：是否超过临界雷诺数。雷诺数的定义如下：是否超过临界雷诺数。雷诺数的定义如下：是否超过临界雷诺数。雷诺数的定义如下：n n 式中：式中：式中：式中：VV为截面的平均速度；为截面的平均速度；为截面的平均速度；为截面的平均速度；L L为特征长度；为特征长度；为特征长度；为特征长度；为流体的运动粘度。为流体的运动粘度。为流体的运动粘度。为流体的运动粘度。n n 当当当当Re2000Re2000，管内流动保持稳定的层流状，管内流动保持稳定的层流状，管内流动保持稳定的层流状，管内流动保持稳定的层流状态。态。态。态。、湍流、湍流(tunli)的认的认识识第3页/共89页第四页，共89页。第第1章章 湍流湍流(tunli)导论导论、湍流的认识(rn shi)葛饰北斋的浮世绘作品神奈川冲浪里 第4页/共89页第五页，共89页。1.1 湍流湍流(tunli)的认识的认识n n湍流(tunli)物理特征大尺度(chd)的涡旋小尺度的涡旋主要由流动边界条件决定，从主流获得能量，是引起低频脉动的原因。由于流体粘性的作用，不断消失，从而产生能量耗散；是引起高频脉动的原因。“随机随机”和和“脉动脉动”是湍流流场的重要的物理特征。是湍流流场的重要的物理特征。第5页/共89页第六页，共89页。1.1 湍流湍流(tunli)的认识的认识n n Kolmogorow Kolmogorow尺度分布理论尺度分布理论尺度分布理论尺度分布理论 n n 在描述湍流行为的理论中，在描述湍流行为的理论中，在描述湍流行为的理论中，在描述湍流行为的理论中，KolmogorovKolmogorov尺度分布理论尺度分布理论尺度分布理论尺度分布理论 n n是相当重要是相当重要是相当重要是相当重要(zhngyo)(zhngyo)也是非常普适的一种。也是非常普适的一种。也是非常普适的一种。也是非常普适的一种。n n1 Kolmogorow1 Kolmogorow长度尺度长度尺度长度尺度长度尺度n n 湍流能量的耗散发生在小涡结构中，这一最小的湍流流动结湍流能量的耗散发生在小涡结构中，这一最小的湍流流动结湍流能量的耗散发生在小涡结构中，这一最小的湍流流动结湍流能量的耗散发生在小涡结构中，这一最小的湍流流动结构尺寸可用构尺寸可用构尺寸可用构尺寸可用KolmogorowKolmogorow长度尺度表示：长度尺度表示：长度尺度表示：长度尺度表示：n n2 Kolmogorow2 Kolmogorow时间尺度时间尺度时间尺度时间尺度 Kolmogorow Kolmogorow时间尺度表示最小湍流结构的动量时间尺度表示最小湍流结构的动量(dngling)(dngling)扩散时间，它的定义为扩散时间，它的定义为 第6页/共89页第七页，共89页。第第1章章 湍流湍流(tunli)导论导论1.2 湍流的统计平均(pngjn)法 统计平均(pngjn)方法是湍流研究的开始.他将不规则的流场分解为规则的平均(pngjn)场和不规则的脉动场，同时也引出了封闭雷诺方程的世纪难题。湍流的随机性 统计平均(pngjn)方法是处理湍流流动的基本手段，这是由湍流的随机性所决定的。研究湍流的统计平均(pngjn)方法 在湍流理论中，有多种统计平均(pngjn)方法。例如时均法、体均法、按概率平均(pngjn)法（或称系综平均(pngjn)法）等。下面将分别予以讨论，然后在进行比较。第7页/共89页第八页，共89页。1.2 1.2 湍流湍流湍流湍流(tunli)(tunli)的统计平均法的统计平均法的统计平均法的统计平均法1 1 时均法时均法时均法时均法时均法的确切时均法的确切时均法的确切时均法的确切(quqi)(quqi)定义是：定义是：定义是：定义是：上式中的速度瞬时值是任一次试验结果，积分限中的下线 可以(ky)任意取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影响平均值的结果。当时间间隔T很长时，有：这时，速度时均值不再是时间的函数，这就是雷诺平均。l 应用时均法需满足下列要求：应用时均法需满足下列要求：平均值与平均的起始时刻 及时间间隔 T（只要足够长）无关。而且平均值本身不再是时间的函数，因此，时均法只能用于讨论定常的湍流流动定常的湍流流动。第8页/共89页第九页，共89页。1.2 1.2 湍流湍流湍流湍流(tunli)(tunli)的统计平均法的统计平均法的统计平均法的统计平均法2 2 体均法体均法体均法体均法 湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。具有随机性。具有随机性。具有随机性。体均值要求与积分体积体均值要求与积分体积体均值要求与积分体积体均值要求与积分体积 的大小及的大小及的大小及的大小及 所处的坐标位所处的坐标位所处的坐标位所处的坐标位置无关。因此置无关。因此置无关。因此置无关。因此(ync(ync)严格说来，体均法只适用于描严格说来，体均法只适用于描严格说来，体均法只适用于描严格说来，体均法只适用于描述对体均值而言的均匀的湍流流场。述对体均值而言的均匀的湍流流场。述对体均值而言的均匀的湍流流场。述对体均值而言的均匀的湍流流场。3 3 概率平均法（系综平均法）概率平均法（系综平均法）概率平均法（系综平均法）概率平均法（系综平均法）时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者(qin zh)适用于定常湍流，后者适用于均匀湍流。对于一般的不定常非均匀流，可以采用随机变量的一般平均法，即概率平均法。在相同条件下重复N次试验，再对此N次试验值取平均。若能对某种湍流找到相应的概率密度，则湍流问题就可认为已经解决。第9页/共89页第十页，共89页。1.2 1.2 湍流湍流湍流湍流(tunli)(tunli)的统计平均法的统计平均法的统计平均法的统计平均法n n 三种三种三种三种(sn zh(sn zhn n )平均法之间的关系及各态平均法之间的关系及各态平均法之间的关系及各态平均法之间的关系及各态遍历假说遍历假说遍历假说遍历假说 时均法只适用于定常湍流，体均法只适用于均匀不定常湍流。在什么物理条件下，普遍适用的概率平均值和时均值或体均值等价？各态遍历假说的思想(sxing)：一个随机变量在重复许多次的试验中出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长的时间或相当大的空间范围内以相同的概率出现。各态遍历假说的结论：对于一个满足各态遍历的系统，三种平均值相等在各态遍历假说成立的前提下，可以用时均法研究不定常流动。v 脉动值脉动值随机值与平均值之差称为涨落，在湍流中称为脉动脉动 脉动值是随机变量，平均值是统计的决定性变量，全部湍流理论湍流理论就是研究脉动值脉动值和平均值平均值之间的互相关系。第10页/共89页第十一页，共89页。第第1章章 湍流湍流(tunli)导论导论、湍流的基本方程湍流瞬时控制方程(包括(boku)连续方程、动量方程和能量方程)可用通用微分方程表示。一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方程一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方程和和N-S方程方程(动量动量(dngling)方程方程)仍然适用于湍流的瞬时仍然适用于湍流的瞬时流动。流动。第11页/共89页第十二页，共89页。第第1章章 湍流湍流(tunli)导论导论 、湍流、湍流(tunli)的基本方程（不可压）的基本方程（不可压）v N-S方程方程(fngchng)平均值与脉动值之和为流动变量的瞬时值平均值与脉动值之和为流动变量的瞬时值 将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均时间平均流动与瞬间脉动瞬间脉动流动的叠加叠加：第12页/共89页第十三页，共89页。1.3 湍流湍流(tunli)的基本方程的基本方程 以上为Reynolds时均方程，引入的Reynolds应力(yngl)有6个未知分量，由于雷诺平均方程中未知数个数大大多于方程个数而出现了方程不封闭的问题。必须做假设引入雷诺应力(yngl)的封闭模型即建立湍流模型才能求解出平均流场。v Reynolds时均方程时均方程(fngchng)第13页/共89页第十四页，共89页。1.3 湍流的基本湍流的基本(jbn)方程方程v 雷诺应力雷诺应力(yngl)输运方程输运方程上式称为不可压缩(y su)湍流的雷诺应力输运方程，方程中各项分别用 ，来表示。雷诺应力在平均运动平均运动轨迹上的增长率。脉动压强和脉动速度变形率张量相关的平均值，称再分配项再分配项。雷诺应力与平均运动速度梯度的乘积，产生湍动能的关键，称生成项生成项。具有扩散性质，称雷诺应力扩散项扩散项。脉动速度梯度乘积的平均值，使湍流能耗散，故称耗散项耗散项。第14页/共89页第十五页，共89页。1.3 湍流的基本湍流的基本(jbn)方程方程n n其它变量时均方程其它变量时均方程其它变量时均方程其它变量时均方程(fngchng)(fngchng)n n时均化的能量方程时均化的能量方程时均化的能量方程时均化的能量方程(fngchng)(fngchng)雷诺热流雷诺热流(rli)二阶相关量二阶相关量 3个未知量个未知量第15页/共89页第十六页，共89页。第一章第一章 湍流湍流(tunli)导论导论、湍流封闭(fngb)问题湍流模式理论的主要任务(rn wu)就是研究湍流方程的封闭方法。核心问题 求解雷诺应力第16页/共89页第十七页，共89页。第17页/共89页第十八页，共89页。第第2章章 湍流的数值模拟方法湍流的数值模拟方法(fngf)简介简介2.1 湍流数值模拟方法的分类 湍流运动的数值模拟方法可以分为(fn wi)直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。所谓直接数值模拟方法是指求解瞬时湍流控制方程。非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流做某种程度的近似和简化处理。根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为(fn wi)大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。第18页/共89页第十九页，共89页。第19页/共89页第二十页，共89页。第第2章章 湍流的数值模拟湍流的数值模拟(mn)方方法简介法简介2.2 模型(mxng)比较 湍流模型(mxng)方法(RANS方法)大涡模拟方法(LES方法)直接数值模拟(DNS方法)给出了时间平均的流动信息，易于工程应用抹去了流动的瞬态特性及细观结构，适合高雷诺数，不具普适性介于RANS与DNS之间，非常成功的应用于RANSRANS不能满足要求的高端应用，如燃烧、混合、外部空气动力学。亚格子湍流模型有待进一步完善无需湍流模型，能精确给出湍流瞬态演变过程数值求解方法难度大，适合低雷诺数第20页/共89页第二十一页，共89页。第第3章章 湍流湍流(tunli)模型模型（RANS）不可压缩时均运动控制方程组之所以出现方程组不封闭（需求解的未知函数较方程数多），在于(ziy)方程中出现了湍流脉动值的雷诺应力项。要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。所谓湍流模型，是依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，把脉动值附加项与时均值联系起来的一些特定的关系式。第21页/共89页第二十二页，共89页。3.1 湍流模型湍流模型(mxng)的分类的分类湍流涡粘模型(mxng)雷诺应力模型(mxng)1.湍流涡粘模型（湍流涡粘模型（Eddy-Viscosity Models，EVM）这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入涡这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入涡粘系数粘系数(xsh)（Eddy Viscosity），然后把湍流应力表），然后把湍流应力表示成为涡粘系数示成为涡粘系数(xsh)的函数，整个计算关键在于确定这的函数，整个计算关键在于确定这种湍流粘性系数种湍流粘性系数(xsh)。引入引入Boussinesq涡粘性假设，认为雷诺应力与平均速度涡粘性假设，认为雷诺应力与平均速度梯度成正比，即将梯度成正比，即将Reynolds应力项表示为应力项表示为湍流粘性系数v 基于不同的假设，湍流模型分为基于不同的假设，湍流模型分为湍动能：湍动能：第22页/共89页第二十三页，共89页。3.1 湍流湍流(tunli)模型的分类模型的分类 n 一方程(fngchng)模型常系数模型 二维Prandtl混合(hnh)长度理论零方程模型一方程模型两方程模型n 零方程模型v 根据确定湍流粘性系数根据确定湍流粘性系数 的微分方程数目，又可分为的微分方程数目，又可分为第23页/共89页第二十四页，共89页。3.1 湍流模型湍流模型(mxng)的分类的分类 由求解(qi ji)湍流特征参数的微分方程来确定湍流粘性。包括k-、k-、k-g 模型等。其中，应用最普遍的是 k-模型。n 两方程(fngchng)模型 以上介绍的模型都是基于Boussinesq假设，认为湍湍流流粘粘性性系系数数各各向向同同性性，难于考虑旋转流动及流动方向表面曲率变化的影响，不适用于复杂流动。针对针对k-k-模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。n n 重整化群k-模型（renormalization group，RNG model）n n 可实现k-模型（realizable k-model）n n 多尺度k-模型（multiscale model of turbulence）第24页/共89页第二十五页，共89页。3.1 湍流湍流(tunli)模型的分类模型的分类l l雷诺应力方程雷诺应力方程雷诺应力方程雷诺应力方程(fngchng)(fngchng)模型（模型（模型（模型（Reynolds Stress Reynolds Stress ModelModel，RSMRSM）由各项异性的前提出发，完全抛弃了Boussinesq表达式及 的概念，直接建立以雷诺应力为因变量的微分方程，然后作适当假设使之封闭(fngb)。这种模型也称为二阶封闭(fngb)模型。主要思想是设法将应力的微分方程简化为代数表达式，以减少RSM模型过分复杂的弱点，同时保保留留湍流各项异性的基本特点。l代数应力方程模型（代数应力方程模型（Algebraic Stress Model，ASM）2 雷诺应力方程模型雷诺应力方程模型第25页/共89页第二十六页，共89页。3.2 湍流模型具体湍流模型具体(jt)介绍介绍双方程模型 标准 模型 可实现 模型 RNG 模型 Reynolds应力模型（RSM）代数应力模型（ASM）零方程模型 单方程模型 第26页/共89页第二十七页，共89页。3.2 湍流模型湍流模型(mxng)具体介绍具体介绍1 零方程(fngchng)模型 代数涡粘模型 这一假设并无物理基础，且采用各向同性的湍流动力粘度来计算湍流应力(yngl)，难于考虑旋转流动和表面曲率变化的影响，但以此为基础的湍流模型目前在工程计算却应用最为广泛。所谓零方程模型就是不使用微分方程，而是基于Boussinesq1877年的假设，用代数关系式，把湍流粘度湍流粘度与时均值时均值联系起来的模型，它只用湍流的时均连续方程和Reynolds方程组成方程组，把方程组中的Reynolds应力应力用平均速度场的局部速度梯度局部速度梯度来表示。第27页/共89页第二十八页，共89页。1 零方程零方程(fngchng)模型模型n n零方程零方程零方程零方程 Prandtal Prandtal混合长度理论混合长度理论混合长度理论混合长度理论n n零方程中最著名的是零方程中最著名的是零方程中最著名的是零方程中最著名的是PrandtlPrandtl提出提出提出提出(t ch)(t ch)的混的混的混的混合长度模型（合长度模型（合长度模型（合长度模型（mixing length modelmixing length model）。）。）。）。l 混合长度定义：混合长度定义：l 脉动微团在经历这段距离内保持有不变的脉动速度值。表示：微流微团的作用范围。脉动微团在经历这段距离内保持有不变的脉动速度值。表示：微流微团的作用范围。l混合长度模型的特点：混合长度模型的特点：l 直接用平均量梯度代数表达式来模拟直接用平均量梯度代数表达式来模拟 Reynolds时均方程组中未知的应力或热流、物质流关联项。时均方程组中未知的应力或热流、物质流关联项。l lm由实验或直观判断加以由实验或直观判断加以(jiy)确定。确定。对于自由剪切流 充分发展的湍流管流 第28页/共89页第二十九页，共89页。1 零方程零方程(fngchng)模型模型n n普朗特混合长度模型普朗特混合长度模型普朗特混合长度模型普朗特混合长度模型(mxng)(mxng)的评价的评价的评价的评价优点：直观、简单，无须附加湍流特性的微分方程(wi fn fn chn)适用于简单流动，如射流、边界层、管流、喷管流动等。另外，研究历史较长，积累了很多经验。缺点1：在 处必然是湍流粘性T为零，或剪力、热流、扩散流均为零与实际不符。混合长度模型相当于湍流能量达到局部平衡，即湍流的产生等于湍流的耗散，亦即认为湍流的对流对流（上游影响）和扩散扩散（断面上的混合）均为零。不符合湍流本身特性不符合湍流本身特性。缺点2：只有简单流动中才能给出lm的表达式。对复杂流动如拐弯或台阶后方有回流的流动，就很难给出lm的规律。第29页/共89页第三十页，共89页。1 零方程零方程(fngchng)模型模型n n零方程(fngchng)模型的适用性l 二维带有中等程度(chngd)的压力梯度的可压缩流合适;l 带有轻微横向流的三维边界层也合适;l 有曲率、旋转或分离时不适用;l 因压力或湍流而形成二次流时以及有突然的变形或剪切率变化时也不适用;l 有激波诱导的分离流不准.l l事实上零方程模式仅适用于处于局部平衡状态的湍流。忽略了对流和扩散的影响。对处理有分离、回流等现象的复杂流动并不适用。l Kolmogorov和 prantl 放弃了寻找湍流粘性系数和时均速度梯度之间的直接关系的方法,而是通过求解微分方程确定湍流粘性系数,以此来弥补混合长度假设的局限性，这样产生了单方程的湍流模型。第30页/共89页第三十一页，共89页。2 单方程单方程(fngchng)模型模型 为了弥补混合长度假定的局限性，在使用湍流时均为了弥补混合长度假定的局限性，在使用湍流时均连续方程和连续方程和ReynoldsReynolds方程的基础上，再建立一个湍方程的基础上，再建立一个湍流动能流动能k k的输运方程，而的输运方程，而 表示成表示成k k的函数，从而的函数，从而(cng r)(cng r)可使方程封闭。这里，湍流动能可使方程封闭。这里，湍流动能k k的输运方的输运方程可写为：程可写为：瞬时瞬时(shn sh)项项对流项对流项扩散项扩散项产生项产生项耗散项耗散项 由由Kolmogorov-Prandtl表达式表达式 第31页/共89页第三十二页，共89页。2 单方程单方程(fngchng)模型模型n n 单方程模型(mxng)的评价l单方程模型克服了混合长度模型的不足，考虑了湍能对流及扩散，比零方程模型更合理。l但是要用单方程模型封闭，必须预先给定长度比尺l的代数(dish)表达式，因此很难得到推广应用。l l 实际上湍流长度标尺本身也是与具体问题有关的，需要有一个偏微分方程来确定，于是两方程模型应运而生。第32页/共89页第三十三页，共89页。3 两方程两方程(fngchng)模型模型v湍流尺度湍流尺度l的输运方程的输运方程v推广言之，对湍流粘性推广言之，对湍流粘性(zhn xn)T=c k1/2lvSpalding和和Launder曾总结出一个广义的第二参量曾总结出一个广义的第二参量z=kmln，一般形式的，一般形式的z方程：方程：第33页/共89页第三十四页，共89页。3 两方程两方程(fngchng)模型模型不同不同(b tn)学者推荐的不同学者推荐的不同(b tn)的的z符号符号z=kmln提出者提出者双方程双方程fk1/2/l俄国学者俄国学者k-f k3/2/l周培源周培源Harlow-Nukayamak-llRodi,Spaldingk-lklklNg,Spaldingk-klwk/l2Spaldingk-w 其中其中k-双方程模型的应用及经受双方程模型的应用及经受(jngshu)的检验最为普遍的检验最为普遍.第34页/共89页第三十五页，共89页。标准标准(biozhn)k-模型模型n n 标准k-方程(fngchng)的定义 在关于湍动能k的方程(fngchng)的基础上，再引入一个关于湍动耗散率的方程(fngchng)，便形成了k-两方程(fngchng)模型，称为标准k-模型。在模型中，表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate）的被定义为：湍动粘度 可表示成k和的函数，即：其中，C为经验常数。第35页/共89页第三十六页，共89页。标准标准(biozhn)k-模型模型在标准k-模型中，k和是两个基本(jbn)未知量，与之相对应的输运方程为：其中，Gk是由于平均速度梯度(t d)引起的湍动能k的产生项，Gb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，C1、C2和C3为经验常数，k和分别是与湍动能k和耗散率对应的Prandtl数，Sk和S是用户定义的源项。第36页/共89页第三十七页，共89页。Gk是由于平均速度梯度引起(ynq)的湍动能k的产生项，由下式计算：Gb是由于浮力引起的湍动能(dngnng)k的产生项，对于不可压流体，Gb=0。对于可压流体，有：标准标准k-模型模型(mxng)中的有关公式中的有关公式标准标准k-模型模型第37页/共89页第三十八页，共89页。Prt是湍动Prandtl数，在该模型中可取Prt，gi是重力加速度在第i方向的分量(fn ling)，是热膨胀系数，可由可压流体的状态方程求出，其定义为：YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献(gngxin)，对于不可压流体，YM=0。对于可压流体，有：其中(qzhng)，Mt是湍流Mach数，标准标准k-模型中的有关公式模型中的有关公式标准标准k-模型模型第38页/共89页第三十九页，共89页。在标准的k-模型中，根据Launder等的推荐值及后来的实验(shyn)验证，模型常数 的取值为：对于可压缩流体的流动计算中与浮力相关的系数C3，当主流方向与重力(zhngl)方向平行时，有C3=1，当主流方向与重力(zhngl)方向垂直时，有C3=0。标准标准(biozhn)k-模型中的系数模型中的系数标准标准k-模型模型第39页/共89页第四十页，共89页。标准标准(biozhn)k-模型模型n n标准标准标准标准k-k-模型模型模型模型(mxng)(mxng)的控制方程组的控制方程组的控制方程组的控制方程组方程方程扩散系数扩散系数源项源项S连续连续100 x-动量动量uy-动量动量vz-动量动量w湍动能湍动能k耗散率耗散率能量能量TS按实际问题而定按实际问题而定第40页/共89页第四十一页，共89页。标准标准(biozhn)k-模型模型n n标准(biozhn)k-模型的适用性1）模型中的有关系数，主要根据(gnj)一些特殊条件下的试验结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值可能有出入。2）标准k-模型比零方程模型和一方程模型有了很大改进，但是对于强漩涡、浮力流、重力分层流、曲壁边界层、低Re数流动以及圆射流时，会产生一定失真失真。原因是在标准k-模型中，对于Reynolds应力的各个分量，假定粘度系数t是相同的，即假定t是各向同性各向同性的标量。而在弯曲流线的情况下，湍流是明显各向异性的，t应该是各向异性的张量。标准k-模型适用范围广、经济、合理的精度，包括边界层流动、管内流动、剪切流动，浮力、燃烧等子模型。但它是个半经验的公式，是从实验现象中总结出来的。有一定的局限性：第41页/共89页第四十二页，共89页。标准标准(biozhn)k-模型模型n n标准(biozhn)k-模型的适用性3）上述k-模型，是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建立的，假设分子(fnz)粘性的影响可以忽略，是一种针对高Re数的湍流计算模型，而当Re数较低时，例如，在近壁区内的流动，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响可能不如分子(fnz)粘性的影响大，在更贴近壁面的底层内，流动可能处于层流状态。因此，对Re数较低的流动使用上面建立的k-模型进行计算，就会出现问题。这时，必须采用特殊的处理方式，以解决近壁区内的流动计算及低Re数时的流动问题。使用上面的k-模型可能就会出现问题。常用解决方法有壁面函数法和低Re数的k-模型。虽然k-模型的计算量大于代数涡粘模式，但随着计算机的发展这一点已不是障碍。如果能克服标准化k-模型的这些缺点，它将有更好的预测结果。第42页/共89页第四十三页，共89页。RNG k-模型模型(mxng)重整化群k-模型和标准k-模型很相似，但是有以下改进：在方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变率Eij，这样，RNG k-模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在同一问题中也还是空间坐标的函数。考虑到了湍流漩涡，提高了在这方面的精度。RNG理论为湍流Prandtl数提供了一个解析公式，然而标准k-模型使用的是用户提供的常数(chngsh)。RNG k-模型仍针对充分发展的湍流是有效的，是高Re数的湍流计算模型，而对近壁区内的流动及Re数较低的流动，必须使用下面将要介绍的壁面函数法或低Re数的k-模型来模拟。第43页/共89页第四十四页，共89页。RNG k-模型模型(mxng)RNG k-模型比标准k-模型在更广泛的流动(lidng)中有更高的可信度和精度。对更复杂的剪切流如高应变率、漩涡和分离的流动(lidng)有较好的效果。重整化群k-模型是一种理性的模式，原则上，它不需要经验常数；但实践结果发现重整化群理论得到的系数 会在湍动能耗散方程中产生奇异性。具体来说，在均匀剪切湍流中会导致湍动能增长率过大，会导致负的正应力。因此，RAG k-模型还需要进一步研究。第44页/共89页第四十五页，共89页。Realizble k-模型模型(mxng)n n Realizble k-模型(mxng)与标准k-模型(mxng)l湍流粘度计算公式发生了变化(binhu)，引入了与旋转和曲率有关的内容。l方程发生了很大变化(binhu)，方程中的产生项不再包含有k方程中的产生项Gk，这样，现在的形式更好地表示了光谱的能量转换。l方程中的倒数第二项不具有任何奇异性，即使k值很小或为零，分母也不会为零。这与标准k-模型和RNG k-有很大区别。第45页/共89页第四十六页，共89页。Realizble k-模型模型(mxng)n n Realizble k-模型(mxng)适用性 Realizable k-模型已被有效地用于各种不同类型的流动模拟，它能更加准确的预测平板绕流、圆柱射流的发散率,对旋转流动、逆压梯度的边界层流动、流动分离以及复杂的二次流都可以 取得较好的计算效果。对以上流动结果都比标准模型的结果好，特别是可实现模型对圆口射流和平板过程模拟射流模拟中，能给出较好的射流扩张角。不足之处在于,计算旋转和静态流动区域时不能提供自然的湍流粘度,同时受限于各向同性(xin tn xn)涡粘度假设。第46页/共89页第四十七页，共89页。3 两方程两方程(fngchng)模型模型 双方程模型中，无论是标准模型、重整化群模型还是可实现模型，三个模型有类似的形式，即都有k和 的输运方程，它们的区别在于：计算湍流(tunli)粘性的方法不同；控制湍流(tunli)扩散的湍流(tunli)普朗特数不同；方程中的产生项和Gk关系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生Gk，表示由于浮力影响引起的湍动能产生Gb；表示可压缩湍流(tunli)脉动膨胀对总的耗散率的影响YM。第47页/共89页第四十八页，共89页。3.3 在近壁区使用在近壁区使用(shyng)k-模型的问题模型的问题 k-模型都是高Re数的湍流模型，但在近壁区内的流动，Re数较低，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响不如分子粘性的影响大，湍流应力几乎不起作用，这样在这个区域内就不能使用(shyng)前面的k-模型就行计算，必须采用特殊的处理方式。第48页/共89页第四十九页，共89页。3.3 在近壁区使用在近壁区使用(shyng)k-模模型的问题型的问题 解决这个问题有两个途径一是不对粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层）进行求解，而是用一组半经验公式（即壁面函数）将壁面上的物理量与湍流核心区内的相应物理量联系起来(q li)，不需要对壁面区的流动求解，这就是壁面函数法。另一种途径是采用低Re数k-模型来求解粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层），这时要求在壁面划分比较细密的网格。越靠近壁面，网格越细。第49页/共89页第五十页，共89页。壁面函数壁面函数(hnsh)法法 壁面函数法的基本思想是：对于湍流核心区的流动使用k-模型求解，而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的物理量与湍流核心区内的求解变量联系起来。这样，不需要对壁面区内的流动进行求解，就可直接得到与壁面相邻(xin ln)控制体积的节点变量值。上述壁面函数法是FLUENT选用的默认方法，它对各种壁面流动都非常有效。相对于低Re数k-模型，壁面函数法计算效率高，工程实用性强。而采用低Re数k-模型时，因壁面区（粘性底层和过渡层）内的物理量变化非常大，因此，必须使用细密的网格，从而造成计算成本的提高(t go)。当然，壁面函数法无法象低Re数k-模型那样得到粘性底层和过渡层内的“真实”速度分布。壁在函数法在流动分离过大或壁面流动处于高压之下时，该方法不理想。第50页/共89页第五十一页，共89页。低低Re数数k-模型模型(mxng)1）为体现分子粘性的影响，控制方程的扩散系数项必须同时包括(boku)湍流扩散系数与分子扩散系数两部分。2）控制方程的有关系数必须考虑不同流态的影响，即在系数计算公式中引入湍流雷诺数Ret，这里 3）在k方程中应考虑壁面附近湍动能的耗散不是各向同性这一因素。低Re数的流动主要体现在粘性底层，流体的分子粘性起着绝对支配地位(dwi)，因此必须对高Re数k-模型进行三方面修改，才能使其用于计算各种Re数的流动：充分发展的湍流核心区及粘性底层均用同一套公式计算，且充分发展的湍流核心区及粘性底层均用同一套公式计算，且由于粘性底层的速度梯度大，因而粘性底层的网格密。由于粘性底层的速度梯度大，因而粘性底层的网格密。低低Re的的 模型使用范围模型使用范围 第51页/共89页第五十二页，共89页。4 Reynolds 4 Reynolds 应力应力应力应力(yngl)(yngl)模型（二阶模型）模型（二阶模型）模型（二阶模型）模型（二阶模型）n n上述方程湍流模型都假定上述方程湍流模型都假定(jidng)(jidng)湍流粘性系数是各向同性的湍流粘性系数是各向同性的;采用了湍流粘性的假设采用了湍流粘性的假设,用有效粘性系数和用有效粘性系数和平均速度梯度的乘积来模拟雷诺应力。这些模型难于反映旋转流动及流动方向表面曲率变化的影响，有必平均速度梯度的乘积来模拟雷诺应力。这些模型难于反映旋转流动及流动方向表面曲率变化的影响，有必要对湍流脉动应力（雷诺应力）直接建立微分方程求解。要对湍流脉动应力（雷诺应力）直接建立微分方程求解。n n在应力方程模型中，对两个脉动值乘积的时均值方程直接求解，而对三个脉动值乘积的时均值，采用模拟在应力方程模型中，对两个脉动值乘积的时均值方程直接求解，而对三个脉动值乘积的时均值，采用模拟方式计算，这就是方式计算，这就是ReynoldsReynolds应力方程模型应力方程模型(RSM)(RSM)。n n为了减轻为了减轻RSMRSM的计算工作量，将的计算工作量，将ReynoldsReynolds应力用代数方程式而不是用微分方程来求解，用代数方程去近似的应力用代数方程式而不是用微分方程来求解，用代数方程去近似的模拟微分方程，这就是代数应力方程模型模拟微分方程，这就是代数应力方程模型(ASM)(ASM)。第52页/共89页第五十三页，共89页。Reynolds 应力(yngl)方程模型（RSM）n n Reynolds Reynolds应力应力应力应力(yngl)(yngl)输运方程输运方程输运方程输运方程方程中第一项为瞬态项，Cij：对流项DT,ij：湍动扩散项DL,ij：分子粘性扩散项Pij：剪应力产生项Gij：浮力产生项ij：压力应变项ij：粘性耗散项Fij：系统(xtng)旋转产生项第53页/共89页第五十四页，共89页。Reynolds 应力(yngl)方程模型（RSM）上式各项中，Cij、DL,ij、Pij和Fij均只包含二阶关联项，不必进行处理。可是，DT,ij、Gij、ij和ij包含有未知的关联项，必须(bx)象前面构造k方程和方程的过程一样，构造其合理的表达式，即给出各项的模型，才能使Reynolds应力方程封闭。第54页/共89页第五十五页，共89页。1）湍动扩散）湍动扩散(kusn)项项DT,ij的的计算计算可通过(tnggu)Daly和Harlow所给出的广义梯度扩散模型来计算但是有的文献认为(rnwi)该式可能导致数值上不稳定，推荐下式式中，t是湍动粘度，按标准k-模型中 来计算，系数k，注意该值在Realiza