数学数理统计学习教案.pptx

会计学1数学数学(shxu)数理统计数理统计第一页，共61页。-2-设设为一随机变量为一随机变量,其数学期望其数学期望和方差和方差都存在，则对于任意都存在，则对于任意有有1)1)切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式2)A.L.CauchySchwarz不等式不等式.准备(zhnbi)工作第2页/共61页第二页，共61页。-3-设事件设事件 在每次试验在每次试验(shyn)中出现的概率为中出现的概率为 p,在在n次重复次重复(chngf)独立试验中出现的频率为独立试验中出现的频率为 且且贝努里（Bernoulli）大数(d sh)定律证证 引入 r.v.序列Xk设则第3页/共61页第三页，共61页。-4-记由 Chebyshev 不等式相互独立，第4页/共61页第四页，共61页。-5-故第5页/共61页第五页，共61页。-6-在概率的统计(tngj)定义中,事件 A 发生的频率 “稳定(wndng)于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指：频率与 p 有较大偏差是小概率事件,因而在 n 足够大时,可以用频率近似代替 p.这种稳定(wndng)称为依概率稳定(wndng).贝努里贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)大数定律的意义大数定律的意义第6页/共61页第六页，共61页。-7-大数(d sh)定律设 r.v.序列(xli)或则有是常数(chngsh)序列，则称服从大数定律第7页/共61页第七页，共61页。-8-Chebyshev 大数(d sh)定律则有或两两不相关(xinggun)的随机变量,又设第8页/共61页第八页，共61页。-9-两两不相关,且方差(fn ch)有界，则可得到第9页/共61页第九页，共61页。-10-辛钦大数辛钦大数(d sh)定律定律 为一列相互独立为一列相互独立(dl)同分布的同分布的随机变量随机变量(su j bin lin)，且具有相同的数学期望，且具有相同的数学期望 设设在定理一中在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同去掉方差存在的条件而加上相同分布的条件，则有：分布的条件，则有：注注相互独立的条件可以去掉，代之以（Markov）大数定律第10页/共61页第十页，共61页。-11-如果对于如果对于(duy)任意的任意的 有，有，二随机变量二随机变量(su j bin lin)的收敛性的收敛性定义定义(dngy)1存在常数存在常数 使得对于任意的使得对于任意的 有有设设为一列随机变量，如果为一列随机变量，如果 记为记为 则称则称依概率收敛于依概率收敛于 定义定义2设设为一列随机变量为一列随机变量,X是随机变量是随机变量记为记为 则称则称 依概率收敛于依概率收敛于 第11页/共61页第十一页，共61页。-12-定义(dngy):设 是一列分布函数,如果对F(x)每个连续(linx)点x，都有则称分布(fnb)函数列弱收敛于分布(fnb)函数F(x)，记为定义：如果则称依分布收敛于X，记为第12页/共61页第十二页，共61页。-13-可以(ky)证明：（）若则，（）设C为常数(chngsh)，则充分性：F(x)是X=C的分布(fnb)函数，即第13页/共61页第十三页，共61页。-14-：r阶收敛(shulin)定义：设对随机变量Xn及X，r0为常数(chngsh)，如果且，则称r阶收敛于X,记作特别(tbi)：阶收敛为平均收敛，阶为均方收敛第14页/共61页第十四页，共61页。-15-：以概率(gil)收敛定义：若存在(cnzi)一随机变量X,使我们称随机序列 以概率为收敛(shulin)于X,或说几乎处处收敛(shulin)于X，并记为四种收敛关系：以概率收敛或r-阶收敛 依概率收敛依分布收敛第15页/共61页第十五页，共61页。-16-中心极限定理讨论(toln)：随机变量序列对应的分布函数序列收敛(shulin)于标准正态分布函数的定理三、三、中心极限中心极限(jxin)定理定理第16页/共61页第十六页，共61页。-17-的随机变量，且具有数学期望的随机变量，且具有数学期望(qwng)(qwng)和方差，和方差，定理定理1 1（独立同分布的中心（独立同分布的中心(zhngxn)(zhngxn)极限定极限定理）理）任意任意(rny)(rny)实数实数 有有其中其中为标准正态分布的分布函数。为标准正态分布的分布函数。设设为一列相互独立相同分布为一列相互独立相同分布则对于则对于第17页/共61页第十七页，共61页。-18-若一随机变量可以表示成数量若一随机变量可以表示成数量(shling)很多的很多的相互独立相相互独立相同分布的随机变量同分布的随机变量(su j bin lin)的和，则该随机变量的和，则该随机变量(su j bin lin)可近似服从可近似服从正态分布，标准化后就服从正态分布，标准化后就服从(fcng)标准正态分布。标准正态分布。近似近似服从第18页/共61页第十八页，共61页。-19-对任意对任意 有，有，第19页/共61页第十九页，共61页。-20-中心极限定理(dngl)的意义前面讲过有许多随机(su j)现象服从正态分布若联系(linx)于此随机现象的随机变量为X，则是由于许多彼此没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用(即这些因素的叠加)的它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从或近似服从正态分布.结果.第20页/共61页第二十页，共61页。-21-对此现象(xinxing)还可举个有趣的例子高尔顿钉板试验(shyn)加以说明.03 钉子层数第21页/共61页第二十一页，共61页。-22-表示某一个小球在第k次碰了钉子(dng zi)后向左或向右落下这一随机现象联系的随机变量，满足中心极限定理(dngl)条件，独立投入(tur)个小球，第22页/共61页第二十二页，共61页。-23-有有其中其中为标准正态分布的分布函数。为标准正态分布的分布函数。这个定理表明这个定理表明(biomng)，二项分布的极限分布是正态分布，二项分布的极限分布是正态分布项分布项分布(fnb)的概率。的概率。很大时，我们便可以利用定理很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二来近似计算二当当定理定理(dngl)2（德莫佛（德莫佛拉普拉普拉斯）拉斯）则对于任意实数则对于任意实数设设第23页/共61页第二十三页，共61页。-24-对任意对任意 有，有，第24页/共61页第二十四页，共61页。-25-某单位有某单位有200台电话分机台电话分机(fn j)，每台分机，每台分机(fn j)有有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机的时间要使用外线通话。假定每台分机(fn j)是是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以外线，才能以90%以上的概率保证分机以上的概率保证分机(fn j)用外线时用外线时不等待？不等待？解：设有解：设有X部分机同时部分机同时(tngsh)使用外线，使用外线，则有则有设有设有N 条外线条外线(wixin)。由题意有。由题意有例例例例第25页/共61页第二十五页，共61页。-26-由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(dngl)(dngl)有有查表得查表得故故N应满足条件应满足条件 即即 第26页/共61页第二十六页，共61页。-27-对随机现象进行观测、试验(shyn)，以取得有代表性的观测值 对已取得的观测值进行整理(zhngl)、分析,作出推断、决策,从而 找出所研究的对象的规律性数数理理统统计计的的分分类类描述统计学推断统计学第第2 2章章 数理统计数理统计(sh l tn(sh l tn j)j)的基本概念的基本概念第27页/共61页第二十七页，共61页。-28-参数估计(第3章)假设检验(第4章)推断(tudun)统计学方差分析(第6章)回归(hugu)分析(第5章)第28页/共61页第二十八页，共61页。-29-总体总体 研究对象研究对象(duxing)(duxing)全体元素组成的全体元素组成的集合集合 所研究的对象所研究的对象(duxing)(duxing)的某个的某个(或某些或某些)数数量指标的全体量指标的全体,它是一个随机变量它是一个随机变量(或多维随机或多维随机变量变量).).记为记为X.X.X 的分布函数和数字特征称为(chn wi)总体的分布函数和数字特征.总体和样本 2.1 基本概念基本概念第29页/共61页第二十九页，共61页。-30-样本样本 从总体中抽取的部分从总体中抽取的部分(b(b fen)fen)个体个体.称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用 表示,n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有样本所有(suyu)(suyu)可能取值的可能取值的集合集合.个体个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 表示.第30页/共61页第三十页，共61页。-31-则称 为简单随机样本.若总体 X 的样本 满足:(1)与X 有相同的分布(2)相互独立简单简单(jindn)(jindn)随机样本随机样本它可以用与总体独立它可以用与总体独立(dl)同分布的同分布的n个相互独立个相互独立(dl)的随机的随机变量变量(binling)X1,X2,Xn表表示。示。若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联，则其简单随机样本的联合分布函数为合分布函数为F(x1)F(x2)F(xn)第31页/共61页第三十一页，共61页。-32-设 是取自总体X 的一个样本,为一实值连续函数,且不含有(hn yu)未知参数,则称随机变量为统计量统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量定义定义(dngy)(dngy)统计量统计量第32页/共61页第三十二页，共61页。-33-例例 是未知参数,若 ,已知,则为统计(tngj)量是一样本,是统计(tngj)量,其中则但不是统计量.第33页/共61页第三十三页，共61页。-34-常用常用(chn(chn yn)yn)的统计量的统计量为样本均值样本均值为修正样本方差样本方差为修正样本标准差样本标准差设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量第34页/共61页第三十四页，共61页。-35-为样本的k 阶原点矩原点矩为样本的k 阶中心矩中心矩例如(lr)第35页/共61页第三十五页，共61页。-36-注注 样本方差样本方差 与样本二阶中心矩与样本二阶中心矩 的不同的不同关系式关系式1）第36页/共61页第三十六页，共61页。-37-常见常见(chn jin)统计量的统计量的性质：性质：第37页/共61页第三十七页，共61页。-38-2）第38页/共61页第三十八页，共61页。-39-顺顺序序(shnx)(shnx)统统计计量量与极差与极差设为样本,为样本值,且当取值为时,定义 r.v.则称统计量为顺序统计量顺序统计量.其中,称为极差极差第39页/共61页第三十九页，共61页。-40-1 1）样本的经验）样本的经验(jngyn)(jngyn)分布函数分布函数样本样本(yngbn)(yngbn)值值 样本样本(yngbn)(yngbn)值小于值小于x x的个数，的个数，作作 样本的经验分布函数样本的经验分布函数非降，左连续；非降，左连续；第40页/共61页第四十页，共61页。-41-若子样为若子样为n n维维r.vr.v，那么，那么(n me)(n me)对于每一样本值对于每一样本值就可作就可作(k zu)(k zu)一个经验分布函数，故一个经验分布函数，故是随机变量是随机变量(su(su j bin lin)j bin lin)-n-n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件发生的频率。发生的频率。由大数定律，由大数定律，第41页/共61页第四十一页，共61页。-42-这就是我们可以由样本推断总体这就是我们可以由样本推断总体(zngt)(zngt)的基本理的基本理论依据论依据.格列汶科进一步证明了：当格列汶科进一步证明了：当nn时，时，Fn(x)Fn(x)以概率以概率(gil)1(gil)1关于关于x x一致收敛于一致收敛于F(x)F(x)，即，即这就是著名这就是著名(zhmng)(zhmng)的格列汶科定理的格列汶科定理.定理告诉我们，当样本容量足够大时，对所有的定理告诉我们，当样本容量足够大时，对所有的x x,F Fn n(x x)与与F F(x x)之差的绝对值都很小，这件事发生的概率为之差的绝对值都很小，这件事发生的概率为1.1.第42页/共61页第四十二页，共61页。-43-直方图离散(lsn)型表示在表示在n n次试验中出现的次数，次试验中出现的次数，设设为n次独立重复样本则则第43页/共61页第四十三页，共61页。-44-定义(dngy)函数：当称为在区间(q jin)a,b)的图形为a,b)的频率直方图第44页/共61页第四十四页，共61页。-45-第45页/共61页第四十五页，共61页。-46-第46页/共61页第四十六页，共61页。-47-第47页/共61页第四十七页，共61页。-48-.抽样抽样(chu yn)分布分布定理(dngl)：则为两随机(su j)向量，且第48页/共61页第四十八页，共61页。-49-第49页/共61页第四十九页，共61页。-50-特别：若相互独立且服从相互独立且服从那么也是正态随机变量若为正交矩阵，那么：随机变量也是相互独立且均值为的正态随机变量第50页/共61页第五十页，共61页。-51-几个重要几个重要几个重要几个重要(zhngyo)(zhngyo)(zhngyo)(zhngyo)的抽样分布定理的抽样分布定理的抽样分布定理的抽样分布定理取自正态总体取自正态总体的样本的样本(yngbn),(yngbn),则有则有 定理定理(dngl)1 (dngl)1 (样本均值样本均值的分布的分布)设设X1,X2,Xn 是是第51页/共61页第五十一页，共61页。-52-定理定理定理定理(dngl(dngl)2.()2.(样本方差样本方差样本方差样本方差的分布的分布的分布的分布)设设 X1,X2,Xn 是取自正态总体是取自正态总体(zngt)样本样本(yngbn),分别为样本均值和修正样本方差分别为样本均值和修正样本方差则有则有的的和和 相互独立相互独立。证明：设第52页/共61页第五十二页，共61页。-53-而第53页/共61页第五十三页，共61页。-54-第54页/共61页第五十四页，共61页。-55-定理定理定理定理3(3(3(3(与样本均值和样本方差有关与样本均值和样本方差有关与样本均值和样本方差有关与样本均值和样本方差有关(yugun)(yugun)(yugun)(yugun)的一的一的一的一个分布个分布个分布个分布)设设 X1,X2,X n X1,X2,X n 是取自正态总体是取自正态总体(zngt)(zngt)分别为样本分别为样本(yngbn)(yngbn)均值和样本均值和样本(yngbn)(yngbn)修正方差修正方差.则有则有的样本的样本,证明证明:第55页/共61页第五十五页，共61页。-56-(II)两两个个(lin)正正态总体态总体相互(xingh)独立的简单随机样本.令设与分别是来自正态总体与的第56页/共61页第五十六页，共61页。-57-则若则第57页/共61页第五十七页，共61页。-58-则相互独立(dl)的简单随机样本.设与分别是来自正态总体与的第58页/共61页第五十八页，共61页。-59-与相互独立第59页/共61页第五十九页，共61页。-60-第60页/共61页第六十页，共61页。-61-感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第61页/共61页第六十一页，共61页。