数学形态学原理学习教案.pptx

会计学1数学数学(shxu)形态学原理形态学原理第一页，共78页。数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互(xingh)关系，从而了解图像的结构特征。第2页/共78页第二页，共78页。迄今为止，还没有一种方法(fngf)能像数学形态学那样既有坚实的理论基础，简洁、朴素、统一的基本思想，又有如此广泛的实用价值。有人称数学形态学在理论上是严谨的，在基本观念上却是简单和优美的。数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科，其基本思想和方法(fngf)对图像处理的理论和技术产生了重大影响。已经构成一种新的图像处理方法(fngf)和理论，成为计算机数字图像处理的一个重要研究领域.第3页/共78页第三页，共78页。6.1.2基本符号基本符号(fho)和定义和定义1.集合论概念在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为(chnwi)一个集合。对于一幅图像A，如果点a在A的区域以内，那么就说a是A的元素，记为aA，否则，记作aA.第4页/共78页第四页，共78页。2.B包含包含(bohn)于于A设有两幅图象B，A。对于(duy)B中所有的元素ai，都有aiA，则称B包含于A，记作cD第5页/共78页第五页，共78页。3.交集和并集两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为(chnwi)两个集合的交集，记为AB，即AB=aaA且aB。两个集合A和B的所有元素组成的集合称为(chnwi)两个集合的并集，记为AB，即AB=aaA或aB。第6页/共78页第六页，共78页。4.补集设有一幅图象X，所有X区域以外的点构成的集合称为X的补集，记作Xc，显然(xinrn)，如果BX=，则B在X的补集内。B第7页/共78页第七页，共78页。2.击中与击不中设有两幅图象(txin)B，A。若存在这样一个点，它即是B的元素，又是A的元素，AB则称B击中A，记作BA，第8页/共78页第八页，共78页。击不中设有两幅图象B，A。若不存在任何一个点，它即是B的元素(yuns)，又是A的元素(yuns)，即B和A的交集是空，则称B不击中A，记作BA=第9页/共78页第九页，共78页。3平移和对称集平移设A是一幅数字图像，b是一个(y)点，那么定义A被b平移后的结果为Abab|aA，即取出A中的每个点a的坐标值，将其与点b的坐标值相加，得到一个(y)新的点的坐标值a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的结果，记为A+b，第10页/共78页第十页，共78页。对称集对称集设设有有一一幅幅图图象象(txin)B，将将B中中所所有有元元素素的的坐坐标标取取反反，即即令令(x，y)变变成成(-x，-y)，所所有有这这些些点点构构成成的的新新的的集集合合称称为为B的的对对称称集集，记作记作Bv。第11页/共78页第十一页，共78页。4.结构元素结构元素设设有有两两幅幅图图象象B，A。若若A是是被被处处理理的的对对象象，而而B是是用用来来处处理理A的的，则则称称B为为结结构构元元素素，又又被被形形象象(xngxing)地地称称做做刷刷子。结构元素通常都是一些比较小的图象子。结构元素通常都是一些比较小的图象第12页/共78页第十二页，共78页。第13页/共78页第十三页，共78页。6.2二值形态学二值形态学二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合，S为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。实际上结构元素本身(bnshn)也是一个图像集合。对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。SO第14页/共78页第十四页，共78页。6.2.1腐蚀腐蚀对对一一个个给给定定的的目目标标(mbio)图图像像X和和一一个个结结构构元元素素S，想想象象一一下下将将S在在图图像像上上移移动动。在在每每一一个个当当前前位位置置x，S+x只只有有三三种种可可能能的的状状态：态：(1)S+xX；(2)S+xXC；(3)S+xX与与S+xXC均不为空。均不为空。第15页/共78页第十五页，共78页。腐蚀是最基本的一种数学形态学运算。腐蚀也可以用集合的方式定义，即X用S腐蚀的结果(jigu)是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S的原点位置的集合。第16页/共78页第十六页，共78页。对于任意一个在阴影部分的点a，Ba包含于X，所以X被B腐蚀的结果就是那个(nge)阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。第17页/共78页第十七页，共78页。第18页/共78页第十八页，共78页。第19页/共78页第十九页，共78页。第20页/共78页第二十页，共78页。第21页/共78页第二十一页，共78页。6.2.2膨胀膨胀膨膨胀胀可可以以看看做做是是腐腐蚀蚀的的对对偶偶运运算算，其其定定义义是是：把把结结构构元元素素B平平移移a后后得得到到Ba，若若Ba击击中中X，我我们们记记下下这这个个(zhge)a点点。所所有有满满足足上上述述条条件件的的a点点组成的集合称做组成的集合称做X被被B膨胀的结果。膨胀的结果。腐蚀可以看作是将图像(txin)X中每一与结构元素S全等的子集S+x收缩为点x。反之，也可以将X中的每一个点x扩大为S+x，这就是膨胀运算，记为XS。若用集合语言，它的定义为XS=x|S+xx第22页/共78页第二十二页，共78页。图中X是被处理(chl)的对象，B是结构元素，对于任意一个在阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的，这就是为什么叫膨胀的原因。第23页/共78页第二十三页，共78页。第24页/共78页第二十四页，共78页。第25页/共78页第二十五页，共78页。第26页/共78页第二十六页，共78页。图腐蚀(fsh)与膨胀示意图第27页/共78页第二十七页，共78页。第28页/共78页第二十八页，共78页。6.2.4开运算与闭运算开运算与闭运算开运算开运算先腐蚀先腐蚀(fsh)后膨胀称为开后膨胀称为开对图像(txin)X及结构元素S，用符号XS表示S对图像(txin)X作开运算第29页/共78页第二十九页，共78页。第30页/共78页第三十页，共78页。第31页/共78页第三十一页，共78页。第32页/共78页第三十二页，共78页。开运算(ynsun)去掉了凸角(a)结构元素S1和S2；(b)XS1；(c)XS2第33页/共78页第三十三页，共78页。第34页/共78页第三十四页，共78页。结论：结论：我们可以得到关于开运算的几点结论：我们可以得到关于开运算的几点结论：（）开运算能够（）开运算能够(nnggu)除去孤立的小点，毛刺和小桥，而除去孤立的小点，毛刺和小桥，而总的位置和形状不便。总的位置和形状不便。（）开运算是一个基于几何运算的滤波器。（）开运算是一个基于几何运算的滤波器。（）结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。（）结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。（）不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出不（）不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出不同的特征。同的特征。第35页/共78页第三十五页，共78页。6.2.5闭闭先膨胀后腐蚀(fsh)称为闭对图像X及结构元素(yuns)S，用符号XS表示S对图像X作闭运算第36页/共78页第三十六页，共78页。一般来说，闭运算能够填平(tinpn)小湖(即小孔)，弥合小裂缝，而总的位置和形状不变。这就是闭运算的作用。第37页/共78页第三十七页，共78页。闭运算填充(tinchng)了凹角(a)结构元素S1和S2；(b)XS1；(c)XS2第38页/共78页第三十八页，共78页。第39页/共78页第三十九页，共78页。第40页/共78页第四十页，共78页。第41页/共78页第四十一页，共78页。n n综上所述，我们也可以得到综上所述，我们也可以得到(d do)(d do)关于闭运算的几点关于闭运算的几点结论：结论：n n（1 1）闭运算能够填平小湖（即小孔），弥合小裂缝，）闭运算能够填平小湖（即小孔），弥合小裂缝，而总的位置和形状不变。而总的位置和形状不变。n n（2 2）闭运算是通过填充图像的凹角来滤波图像的。）闭运算是通过填充图像的凹角来滤波图像的。n n（3 3）结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。）结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。n n（4 4）不同结构元素的选择导致了不同的分割。）不同结构元素的选择导致了不同的分割。第42页/共78页第四十二页，共78页。6.2.6开闭运算的代数(dish)性质由于开、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定义的，根据腐蚀和膨胀运算的代数(dish)性质，我们不难得到下面的性质。1）对偶性(XCS)C=XS，(XCS)C=XS2）扩展性（收缩性）XSXXS即开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使原图像扩大第43页/共78页第四十三页，共78页。3）单调性如果XY，则XSYS，XSYS如果YZ且ZY=Z，那么XYXZ根椐这一性质可以知道，结构元素的扩大(kud)只有在保证扩大(kud)后的结构元素对原结构元素闭运算不变的条件下方能保持单调性。第44页/共78页第四十四页，共78页。4）平移不变性(X+h)S=(XS)+h，(X+h)S=(XS)+hX(S+h)=XS，X(S+h)=XS5）等幂性(XS)S=XS，(XS)S=XS开、闭运算的等幂性意味着一次滤波就能把所有特定结构(jigu)元素的噪声滤除干净，作重复的运算不会再有效果。这是一个与经典方法(例如中值滤波、线性卷积)不同的性质。第45页/共78页第四十五页，共78页。6.3灰值形态学灰值形态学6.3.1腐蚀与膨胀腐蚀与膨胀1灰度腐蚀灰度腐蚀用用结结构构元元素素b对对输输入入(shr)图图像像f(x,y)进进行行灰灰值值腐腐蚀蚀记记为为fS，其定义为其定义为式中，式中，Df和和Db分别是分别是f和和b的定义域。的定义域。这这里里限限制制(t+x)和和(m+y)在在f的的定定义义域域之之内内，类类似似于于二二值值腐腐蚀蚀定定义中要求结构元素完全包括在被腐蚀集合中。义中要求结构元素完全包括在被腐蚀集合中。第46页/共78页第四十六页，共78页。其效果相当于半圆形结构元素在被腐蚀函数(hnsh)的下面“滑动”时，其圆心画出的轨迹。但是，这里存在一个限制条件，即结构元素必须在函数(hnsh)曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形结构元素从函数(hnsh)的下面对函数(hnsh)产生滤波作用，这与圆盘从内部对二值图像滤波的情况是相似的。第47页/共78页第四十七页，共78页。采用了一个扁平结构元素对上图的函数作灰值腐蚀。扁平结采用了一个扁平结构元素对上图的函数作灰值腐蚀。扁平结构元素是一种在其定义域上取常数的结构元素。注意这种结构元构元素是一种在其定义域上取常数的结构元素。注意这种结构元素产生的滤波素产生的滤波(lb)效果。效果。第48页/共78页第四十八页，共78页。6.3.2灰值膨胀灰值膨胀用用结结构构元元素素S(x,y)对对输输入入图图像像(txin)进进行行灰灰值值膨膨胀胀记记为为fs，其定义为，其定义为式式中中，Df和和Db分分别别是是f和和S的的定定义义域域。这这里里限限制制(t-x)和和(m-y)在在f的的定定义义域域之之内内，类类似似于于在在二二值值膨膨胀胀定定义义中中要要求求两两个个运运算算集集合合至至少少有一个（非零）元素相交。有一个（非零）元素相交。第49页/共78页第四十九页，共78页。灰度膨胀可以通过将结构灰度膨胀可以通过将结构(jigu)元素的原点平移到与信号重元素的原点平移到与信号重合，然后，对信号上的每一点求结构合，然后，对信号上的每一点求结构(jigu)元素的最大值得到元素的最大值得到.第50页/共78页第五十页，共78页。第51页/共78页第五十一页，共78页。6.3.2开运算与闭运算开运算与闭运算灰度开运算灰度开运算用用结结构构元元素素(yuns)S(灰灰值值图图像像)对对灰灰值值图图像像f做做开开运运算算记记为为fS，其其定义为定义为fS=（fS）S灰值闭运算灰值闭运算用用结结构构元元素素S(灰灰值值图图像像(txin)对对灰灰值值图图像像(txin)f做做闭闭运算记为运算记为fS，其定义为其定义为fS=（fS）S第52页/共78页第五十二页，共78页。第53页/共78页第五十三页，共78页。开运算可看作将b贴着f的下沿从一端滚到另一端。对所有比b的直径小的山峰其高度和尖锐度都减弱了。开运算操作消除与结构元素相比尺寸(chcun)较小的亮细节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不受影响。腐蚀去除了小的亮细节并同时减弱了图像亮度，膨胀增加了图像亮度，但又不重新引入前面去除的细节。闭运算可看作将b贴着f的上沿从一端滚到另一端。所有比b的直径小的山谷得到了“填充”。闭运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的暗细节，而保持图像整体灰度值和大的暗区域基本不受影响；膨胀去除了小的暗细节并同时增强(zngqing)了图像亮度，腐蚀减弱了图像亮度但又不重新引入前面去除的细节。第54页/共78页第五十四页，共78页。第55页/共78页第五十五页，共78页。6.3.3 形态学重构 形状重构是图像形态处理的重要操作之一，通常用来强调图像中与掩模图像指定对象相一致的部分，同时忽略图像中的其他对象。形态学重构是根据一幅图像(称之为掩模图像mask)的特征对另一幅图像(称之为标记图像marker)进行重复膨胀，重点是要选择一个合适的标记图像，使膨胀所得的结果能够强调掩模图像中的主要对象。每一次膨胀处理从标记图像的峰值点开始，整个膨胀过程(guchng)将一直重复，直到图像的像素值不再变化为止。形态重构操作具有这样一些独有的特性：形态重构处理是基于两幅图像的，一个是标记图像，另一个是掩模图像，而不仅仅是一幅图像和一个结构元素；重构将一直重复直至图像稳定(即图像不再变化)；形态重构是基于连通性概念的，而不是基于结构元素的。第56页/共78页第五十六页，共78页。若g是掩模，f为标记，则从f重构g可以记为 ，它有下面的迭代过程定义：1.将 初始化为标记图像 。2.创建结构(jigu)元素 。3.重复 直到 标记 必须是g 的一个子集，即 。第57页/共78页第五十七页，共78页。第58页/共78页第五十八页，共78页。第59页/共78页第五十九页，共78页。6.4形态学的应用形态学的应用(yngyng)前面已经介绍了二值形态学和灰值形态学的基本运算腐蚀，膨胀，开和闭运算及其一些性质，通过对它们的组合可以得到一系列二值形态学和灰值形态学的实用算法。灰值形态学的主要算法有灰值形态学梯度，形态学平滑，纹理分割等。本节主要介绍形态学滤波，骨架抽取等重要算法。通过本节的讨论，可以从几何角度理解形态学的一些非常实用的技术。不过，应该注意到，在实际应用形态学方法(fngf)时，通常需要对输入图像做预处理，以便适合于使用这些算法。同时对输出图像可能还要做一些处理，以便产生满意的结果。第60页/共78页第六十页，共78页。6.4.1形态学滤波形态学滤波由由于于开开、闭闭运运算算所所处处理理的的信信息息分分别别与与图图像像的的凸凸、凹凹处处相相关关，因因此此，它它们们本本身身都都是是单单边边算算子子，可可以以利利用用开开、闭闭运运算算去去除除图图像像的的噪噪声声、恢恢复复图图像像，也也可可交交替替使使用用开开、闭闭运运算算以以达达到到(ddo)双双边边滤滤波波目目的的。一一般般，可可以以将将开开、闭闭运运算算结结合合起起来来构构成成形形态态学学噪噪声滤波器，例如声滤波器，例如(XS)S或或(XS)S等。等。第61页/共78页第六十一页，共78页。第62页/共78页第六十二页，共78页。整个过程(guchng)是先做开运算再做闭运算，可以写为可看出(knch)目标区域内外的噪声都消除掉了，而目标本身除原来的4个直角变为圆角外没有太大的变化。在利用开、闭运算滤除图像的噪声时，选择圆形结构元素会得到较好的结果。为了能使从噪声污染的图像X中恢复原始图像X0的结果达到最优，在确定结构元素的半径时，可以采用优化方法。第63页/共78页第六十三页，共78页。第64页/共78页第六十四页，共78页。6.4.2骨架抽取骨架抽取(chuq)1.细化细化就就是是从从原原来来的的图图中中去去掉掉一一些些点点，但但仍仍要要保保持持原原来来的的形形状状。实实际际上上，是保持原图的骨架。是保持原图的骨架。即XB为X与XB的差集。更一般地，利用(lyng)结构对序列B1，B2，BN迭代地产生输出序列随着(suzhe)迭代的进行，得到的集合也不断细化第65页/共78页第六十五页，共78页。2.细化的重要性利用细化技术得到区域的细化结构(jigu)是常用的方法。寻找二值图像的细化结构(jigu)是图像处理的一个基本问题。在图像识别或数据压缩时，经常要用到这样的细化结构(jigu)。在图像识别或数据压缩时，经常要用到这样的细化结构(jigu)第66页/共78页第六十六页，共78页。3.骨架所谓骨架，可以理解为图象的中轴.例如：一个长方形的骨架是它的长方向上的中轴线；圆的骨架是它的圆心；直线的骨架是它自身；孤立点的骨架也是自身。（1）基于烈火模拟：设想在时刻，将目标边界各处同时点燃，火的前沿以匀速向目标内部蔓延(mnyn)，当前沿相交时火焰熄灭，火焰熄灭点的集合就构成了骨架。第67页/共78页第六十七页，共78页。图骨架(gji)的定义第68页/共78页第六十八页，共78页。（2）基于最大圆盘：目标X的骨架由X内所有最大内切圆盘的圆心组成，最大圆盘不是其他(qt)任何完全属于X的圆盘的子集，并且至少有两点与目标边界轮廓相切。第69页/共78页第六十九页，共78页。定义骨架子集Sk（X）为图像X内所有最大圆盘kB的圆心x构成的集合，对于k0，1，2，从骨架的定义可知，骨架是所有骨架子集的并，即S(X)=Sk（X）|k0，1，2，可以证明骨架子集为Sk（X）=(XkB)-(Xk)式中，B为结构元素，(XkB)代表(dibio)连续k次用B对X腐蚀S(X)=(XkB)-(XkB)|k0，1，2，第70页/共78页第七十页，共78页。图骨架抽取示例(shl)(a)一幅二值图像；（b）用33的结构元素S得到的骨架；(c）用55的结构元素得到的骨架；（d）用77的结构元素得到的骨架第71页/共78页第七十一页，共78页。4.细化算法举例细化算法举例细化算法有很多，我们在这里介绍的是一种细化算法有很多，我们在这里介绍的是一种(yzhn)简单而且效果很好的算法，用它就能够实现从文本抽取骨架简单而且效果很好的算法，用它就能够实现从文本抽取骨架的功能。我们的对象是白纸黑字的文本。的功能。我们的对象是白纸黑字的文本。*判断一个点是否能去掉的判据：判断一个点是否能去掉的判据：依据：八个相邻点（八连通）的情况：依据：八个相邻点（八连通）的情况：(1)内部点不能删除；内部点不能删除；(2)孤立点不能删除；孤立点不能删除；(3)直线端点不能删除；直线端点不能删除；(4)如果如果P是边界点，去掉是边界点，去掉P后，如果连通分量不增加，则后，如果连通分量不增加，则P可以删除。可以删除。第72页/共78页第七十二页，共78页。方法：查表法事先做出一张表，从0到255共有256个元素，每个元素要么是0，要么是1。我们(wmen)根据某点(当然是要处理的黑色点了)的八个相邻点的情况查表，若表中的元素是1，则表示该点可删，若为0则保留。白点为1，黑点为012340567812480163264128第73页/共78页第七十三页，共78页。0-150,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,16-311,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,32-470,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,48-631,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,64-791,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,80-950,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,96-1111,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,112-1270,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,128-1430,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,144-1591,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,160-1750,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,176-1911,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,192-2071,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,208-2231,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,224-2391,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,240-2551,1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0第74页/共78页第七十四页，共78页。例题：对一个黑色矩形(jxng)进行细化第75页/共78页第七十五页，共78页。在每一次水平细化后，再进行一次垂直方向的细化，就可以了，这样一来，每处理一次，删除点的顺序变成：(先是水平方向扫描)第一行最左边的点；第一行最右边的点；第二行最左边的点；第二行最右边的点；最后(zuhu)一行最左边的点；最后(zuhu)一行最右边的点；(然后是垂直方向扫描)第二列最上边的点(因为第一列最上边的点已被删除)；第二列最下边的点；第三列最上边的点；第三列最下边的点；倒数第二列最上边的点(因为倒数第一列最上边的点已被删除)；倒数第二列最下边的点。我们发现，刚好剥掉了一圈，这也正是细化要做的事。实际的结果也验证了我们的想法。在每一行水平扫描的过程中，先判断(pndun)每一点的左右邻居，如果都是黑点，则该点不做处理。另外，如果某个黑点被删除了，那么跳过它的右邻居，处理下一个点。第76页/共78页第七十六页，共78页。第77页/共78页第七十七页，共78页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第78页/共78页第七十八页，共78页。