数理方程贝塞尔函数学习教案.pptx

会计学1数理方程数理方程(fngchng)贝塞尔函数贝塞尔函数第一页，共60页。讨论瞬时(shn sh)状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程。5.1 贝塞尔方程(fngchng)的引入 设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面(cmin)绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。第五章第五章第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数稳恒状态热传导问题欧拉方程。瞬时状态圆盘上的热传导问题贝塞尔方程。讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质.第1页/共60页第二页，共60页。问题归结为求解问题归结为求解(qi ji)如下定解问题：如下定解问题：令 ，代入方程得 进而(jn r)得第2页/共60页第三页，共60页。求求V V改改用用极极坐坐标标，在在极极坐坐标标系系下下，V V的的问问题题(wnt)(wnt)可可以以写成写成 再次分离变量再次分离变量,令令 ，代入化简得，代入化简得 亥亥姆姆霍霍兹兹方方程程(fngchng)(fngchng)（HelmholtzHelmholtz）第3页/共60页第四页，共60页。引入参数引入参数(cnsh)(cnsh)本征值本征值 ，本征值问题本征值问题(wnt)(wnt)本征函数本征函数第4页/共60页第五页，共60页。将将 代入另一方程得代入另一方程得:n 阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(fngchng).由条件由条件 得得:由温度是有限的，得由温度是有限的，得:原原问问题题(wnt)(wnt)就就转转化化为为求求贝贝塞塞尔尔方方程程在在条条件件 下下的的特特征值和特征函数征值和特征函数.做代换做代换(di hun),(di hun),并记并记第5页/共60页第六页，共60页。这是n阶贝塞尔方程(fngchng)的标准形式.方程(fngchng)转化为第6页/共60页第七页，共60页。5.2 5.2 贝塞尔方程贝塞尔方程(fngchng)(fngchng)的求解的求解 用 x 表示(biosh)自变量,y=y(x)表示(biosh)未知函数,则n阶贝塞尔方程为其中n为任意实数或者复数,我们仅讨论 的情形.方程(fngchng)有如下形式的级数解：其中 为常数。第7页/共60页第八页，共60页。逐项求导,有代入方程确定系数 和 ：要使上式恒成立，各项x的幂的系数(xsh)必须全为0将此级数解代入原方程(fngchng)中可得到：第8页/共60页第九页，共60页。由于(yuy)a1=0,则选取(xunq)情形情形(qng xing)1 n不为整数不为整数由得（由分部积分公式可证）：第9页/共60页第十页，共60页。第10页/共60页第十一页，共60页。因此(ync)第11页/共60页第十二页，共60页。这样，得到(d do)方程的一个特解称 为 阶第一类贝塞尔函数(n=0).第12页/共60页第十三页，共60页。取指标 得方程的另一特解 当 n 不为整数时,和 线性无关所以(suy)方程的通解可以表示为 结论(jiln)：第13页/共60页第十四页，共60页。如果(rgu)选取得到当 n 不为整数时,和 线性无关称 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者钮曼函数,方程的通解(tngji)也可表示为订正订正(dngzhng)书上书上126页页第14页/共60页第十五页，共60页。2.当p为正整数时，有Gamma函数的定义与性质函数的定义与性质(xngzh)(见附录见附录A)5.3 n5.3 n为整数为整数(zhngsh)(zhngsh)时贝塞尔方程的通解时贝塞尔方程的通解1.递推公式递推公式(gngsh)：第15页/共60页第十六页，共60页。(1)由得：（）取n=N,在 中,由于mN时，所以(suy)级数从m=N开始当n为整数(zhngsh)时，有：第16页/共60页第十七页，共60页。所以，当n为整数时,与 线性相关此时(c sh)定义第二类贝塞尔函数为第17页/共60页第十八页，共60页。不为整数.可以证明 和 线性无关，通解可写为 由于 ，故（*）式右端的(dund)极限为形式，使用洛必塔法则最后可得到：第18页/共60页第十九页，共60页。其中其中(qzhng)C为欧拉常数为欧拉常数 C =0.577216于是，此时于是，此时n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(fngchng)的的通解为：通解为：第19页/共60页第二十页，共60页。贝塞尔函数贝塞尔函数(hnsh)的性质与递推公式的性质与递推公式第20页/共60页第二十一页，共60页。性质性质(xngzh)1(xngzh)1 有界性有界性 第21页/共60页第二十二页，共60页。n n为偶数时，为偶数时，为偶函数为偶函数n n为奇数时，为奇数时，为奇函数为奇函数性质性质(xngzh)2(xngzh)2 奇偶性奇偶性 当当n n为正整数时为正整数时 第22页/共60页第二十三页，共60页。性质性质(xngzh)3(xngzh)3 递推性递推性 第23页/共60页第二十四页，共60页。第24页/共60页第二十五页，共60页。一般(ybn)的,有上面两式左边(zu bian)的导数求出来,并经过化简,则得第25页/共60页第二十六页，共60页。分别消去 和 ,可以得到两式相加减，贝塞尔函数(hnsh)的递推公式若知道的值,就可以求出可得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.只要(zhyo)已有零阶和一阶贝塞尔函数表，第26页/共60页第二十七页，共60页。对于(duy)第二类贝塞尔函数,也有相应的递推公式.第27页/共60页第二十八页，共60页。例例1 求下列求下列(xili)微积分微积分第28页/共60页第二十九页，共60页。第29页/共60页第三十页，共60页。第30页/共60页第三十一页，共60页。性质性质4.4.阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程：解：根据解：根据(gnj)整数阶贝塞尔方程的求解，可得整数阶贝塞尔方程的求解，可得第31页/共60页第三十二页，共60页。第32页/共60页第三十三页，共60页。同理，可求得另外同理，可求得另外(ln wi)一一个特解：个特解：因此因此(ync)方程的通解为方程的通解为由此可以推广到半奇数由此可以推广到半奇数阶贝塞尔方程的求解阶贝塞尔方程的求解 根据根据(gnj)Bessel函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶Bessel函数。函数。第33页/共60页第三十四页，共60页。根据根据(gnj)递推公递推公式：式：可得：可得：由此可递推出：由此可递推出：第34页/共60页第三十五页，共60页。性质性质(xngzh)5(xngzh)5 初值初值 第35页/共60页第三十六页，共60页。性质性质(xngzh)6(xngzh)6 零点零点 5.15.1节中，通过两次分离变量，我们已将求解圆盘的温度节中，通过两次分离变量，我们已将求解圆盘的温度分布问题转化分布问题转化(zhunhu)(zhunhu)为求解贝塞尔函数的特征值问题：为求解贝塞尔函数的特征值问题：由由5.35.3节可得，贝塞尔方程节可得，贝塞尔方程(fngchng)(fngchng)的通解为：的通解为：（n n为正整数时，为正整数时，JnJn与与J-nJ-n线性相关，不能组成方程的通解。）线性相关，不能组成方程的通解。）第36页/共60页第三十七页，共60页。根据根据(gnj)(gnj)自然边界条件：自然边界条件：可得可得 中，中，B=0.B=0.故：故：再根据再根据(gnj)(gnj)可得：可得：因此因此(ync)(ync)，必须要计算，必须要计算Jn(x)Jn(x)的零点。的零点。第37页/共60页第三十八页，共60页。性质性质(xngzh)6(xngzh)6 零点零点 有无穷多个关于原点对称有无穷多个关于原点对称(duchn)(duchn)分布的零点；分布的零点；和和 的零点相间分布的零点相间分布 ；的零点趋于周期分布，的零点趋于周期分布，几乎几乎(jh)(jh)是以是以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。第38页/共60页第三十九页，共60页。根据根据(gnj)(gnj)零点的结论，方程零点的结论，方程 的解为：的解为：故贝塞尔方程故贝塞尔方程(fngchng)(fngchng)的本征值为：的本征值为：与本征值对应与本征值对应(duyng)(duyng)的本征函数为：的本征函数为：第39页/共60页第四十页，共60页。性质性质(xngzh)7(xngzh)7、贝塞尔函数的正交关系、贝塞尔函数的正交关系n n阶阶BesselBessel函数序列在区间函数序列在区间 上带权上带权 正交，即正交，即称称 其中其中(qzhng)(qzhng)为为n n阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数(hnsh)(hnsh)的第的第mm个零点，即个零点，即为为n n阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数 的的模模。第40页/共60页第四十一页，共60页。取其解的两个取其解的两个(lin)(lin)值值分别分别(fnbi)(fnbi)代入原方代入原方程得程得正交性的证明正交性的证明(zhngmng)(zhngmng)：先将：先将n n阶贝塞尔方程写成如下形式阶贝塞尔方程写成如下形式第41页/共60页第四十二页，共60页。两式相减，并对两式相减，并对 从从0 0到到 积分，得积分，得上面两式分别乘上面两式分别乘第42页/共60页第四十三页，共60页。贝塞尔函数贝塞尔函数(hnsh)(hnsh)模模方的证明：方的证明：由公式由公式(gngsh(gngsh)可得：可得：当当 时，上式右端的极限时，上式右端的极限(jxin)(jxin)为为0/00/0，利，利用洛必达法则可计算该极限用洛必达法则可计算该极限(jxin)(jxin)：第43页/共60页第四十四页，共60页。根据根据(gnj)(gnj)递推递推公式公式以及以及(yj)(yj)得得:故故第44页/共60页第四十五页，共60页。称为称为(chn wi)(chn wi)贝塞尔函数的贝塞尔函数的模。模。第45页/共60页第四十六页，共60页。47例例2 2：证明：证明 的解为的解为 第46页/共60页第四十七页，共60页。第47页/共60页第四十八页，共60页。在区间，在区间，R R上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数(do(do sh)sh)以及分段连续的二阶导数以及分段连续的二阶导数(do sh)(do sh)的函的函数数 f(r),f(r),如果在如果在 r=0 r=0 处有界处有界,在在 r=R r=R 处等于处等于零零,则它必可以展开为如下形式的一致收敛的则它必可以展开为如下形式的一致收敛的级数：级数：性质性质(xngzh)8(xngzh)8、傅立叶、傅立叶-贝塞尔级数贝塞尔级数利用贝塞尔函数(hnsh)系的正交性可确定第48页/共60页第四十九页，共60页。50例3：将1在 区间内展成 的级数形式.解，其中(qzhng)令 ，则：从而(cng r)于是(ysh)有第49页/共60页第五十页，共60页。51例4：将x在0 x2区间内展成 的级数形式 解，其中(qzhng)由于(yuy)从而(cng r)于是有第50页/共60页第五十一页，共60页。例例1:求解求解(qi ji)圆形薄盘上的热传导问圆形薄盘上的热传导问题题5.5 贝塞尔函数贝塞尔函数(hnsh)的应用的应用 设有半径为设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界圆盘边界(binji)上的温度始终保持为零，上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为且圆盘上的初始温度分布为 ，其中，其中r为为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。度分布规律。第51页/共60页第五十二页，共60页。令：令：第52页/共60页第五十三页，共60页。54第53页/共60页第五十四页，共60页。设有半径为设有半径为R的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始速所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始速度度(sd)为为 ，试求该薄膜的振动规律。试求该薄膜的振动规律。问题问题(wnt)归结为求解如下定解问题归结为求解如下定解问题(wnt)：例例2:求解圆形薄膜轴对称振动求解圆形薄膜轴对称振动(zhndng)问题问题第54页/共60页第五十五页，共60页。令令第55页/共60页第五十六页，共60页。从而从而(cng r)，原问题有形式，原问题有形式级数解级数解第56页/共60页第五十七页，共60页。58令令设设为为1阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数(hnsh)的非负零点，的非负零点，即即则有则有第57页/共60页第五十八页，共60页。第58页/共60页第五十九页，共60页。Thanks for your attention!第59页/共60页第六十页，共60页。