数学建模案例分析回归分析学习教案.pptx
会计学1数学建模案例数学建模案例(n l)分析回归分析分析回归分析第一页，共52页。2023/2/72一、数学模型一、数学模型例例1 测测16名成年女子的身高与腿长所得名成年女子的身高与腿长所得(su d)数据如下：数据如下：以身高x为横坐标，以腿长 y为纵坐标将这些数据(shj)点（xi，yi）在平面直角坐标系上标出.散点图解答(jid)第2页/共52页第二页，共52页。2023/2/73一元线性回归分析的主要(zhyo)任务是：返回返回(fnhu)第3页/共52页第三页，共52页。2023/2/74二、模型二、模型(mxng)参数估参数估计计1回归系数的最小二乘估计回归系数的最小二乘估计(gj)第4页/共52页第四页，共52页。2023/2/75其中=niiniiynyxnx111,1，=niiiniiyxnxyxnx11221,1.第5页/共52页第五页，共52页。2023/2/76返回返回(fnhu)第6页/共52页第六页，共52页。2023/2/77三、检验、预测三、检验、预测(yc)(yc)与与控制控制1回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验(jinyn)第7页/共52页第七页，共52页。2023/2/78（）F检验法检验法（）t 检验法检验法第8页/共52页第八页，共52页。2023/2/79（）r 检验法检验法第9页/共52页第九页，共52页。2023/2/7102回归系数的置信区间回归系数的置信区间第10页/共52页第十页，共52页。2023/2/7113预测预测(yc)与控制与控制（1）预测）预测(yc)第11页/共52页第十一页，共52页。2023/2/712（2）控制）控制(kngzh)返回返回(fnhu)第12页/共52页第十二页，共52页。2023/2/713四、可线性化的一元非线性回归四、可线性化的一元非线性回归(hugu)（曲线回归（曲线回归(hugu)）例例2 出钢时所用的盛钢水出钢时所用的盛钢水(gngshu)的钢包，由于钢水的钢包，由于钢水(gngshu)对耐火材料的侵蚀，对耐火材料的侵蚀，容积不断增大容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：对一钢包作试验，测得的数据列于下表：解答(jid)第13页/共52页第十三页，共52页。2023/2/714散点图此即非线性回归(hugu)或曲线回归(hugu)问题（需要问题（需要(xyo)配曲线）配曲线）配曲线配曲线(qxin)的一般方法是：的一般方法是：第14页/共52页第十四页，共52页。2023/2/715通常选择的六类曲线(qxin)如下：返回返回(fnhu)第15页/共52页第十五页，共52页。2023/2/716一、数学模型及定义一、数学模型及定义(dngy)(dngy)返回返回(fnhu)第16页/共52页第十六页，共52页。2023/2/717二、模型二、模型(mxng)(mxng)参参数估计数估计解得估计值()()YXXXTT1-=b第17页/共52页第十七页，共52页。2023/2/718返回返回(fnhu)第18页/共52页第十八页，共52页。2023/2/719三、多元三、多元(du yun)线性回归中的检验线性回归中的检验与预测与预测（）F 检验法检验法（）r 检验法检验法(残差平方和残差平方和)第19页/共52页第十九页，共52页。2023/2/7202预测预测(yc)（1）点预测）点预测(yc)（2）区间）区间(q jin)预测预测返回返回第20页/共52页第二十页，共52页。2023/2/721四、逐步回归分析四、逐步回归分析(fnx)（4）“有进有出”的逐步回归分析(fnx).（1）从所有可能的因子（变量(binling)）组合的回归方程中选择最优者；（2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；（3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；选择“最优”的回归方程有以下几种方法：“最优最优”的回归方程的回归方程就是包含所有对Y有影响的变量,而不包含对Y影响不显著的变量回归方程.以第四种方法，即逐步回归分析法逐步回归分析法在筛选变量方面较为理想.第21页/共52页第二十一页，共52页。2023/2/722这个过程(guchng)反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止.逐步回归分析法的思想逐步回归分析法的思想(sxing)：从一个自变量开始(kish)，视自变量Y对作用的显著程度，从大到小地依次逐个引入回归方程.当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉.引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步.对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量.返回返回第22页/共52页第二十二页，共52页。2023/2/723统计工具箱中的回归分析统计工具箱中的回归分析(fnx)命令命令1多元多元(du yun)线性回归线性回归2多项式回归多项式回归(hugu)3非线性回归非线性回归4逐步回归逐步回归返回返回第23页/共52页第二十三页，共52页。2023/2/724多元多元(du yun)线性回归线性回归 b=regress(Y,X)1确定确定(qudng)回归系数的点估计值：回归系数的点估计值：第24页/共52页第二十四页，共52页。2023/2/7253画出残差及其置信区间：画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）2求回归系数的点估计和区间求回归系数的点估计和区间(q jin)估计、并检验回归模型：估计、并检验回归模型：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数r 2、F值、与F 对应的概率p置信区间显著性水平（缺省时为0.05）第25页/共52页第二十五页，共52页。2023/2/726例例1解：解：1输入输入(shr)数据：数据：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;X=ones(16,1)x;Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;2回归回归(hugu)分析及检验：分析及检验：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)b,bint,statsToMATLAB(liti11)题目(tm)第26页/共52页第二十六页，共52页。2023/2/7273残差分析残差分析(fnx)，作残差图：，作残差图：rcoplot(r,rint)从残差图可以看出，除第二个数据外，其余(qy)数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点.4预测预测(yc)及作图：及作图：z=b(1)+b(2)*plot(x,Y,k+,x,z,r)返回返回ToMATLAB(liti12)第27页/共52页第二十七页，共52页。2023/2/728多多 项项 式式 回回 归归（一）一元（一）一元(y yun)多项式回归多项式回归（1）确定多项式系数的命令：p，S=polyfit（x，y，m）（2）一元多项式回归命令：polytool（x，y，m）1回归：回归：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12预测和预测误差估计：预测和预测误差估计：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x处 的预测值Y；（2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得的回归多项式在 x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间YDELTA；alpha缺省时为0.5.第28页/共52页第二十八页，共52页。2023/2/729法一法一 直接直接(zhji)作二次多项式回归：作二次多项式回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;p,S=polyfit(t,s,2)ToMATLAB（liti21）得回归模型为：第29页/共52页第二十九页，共52页。2023/2/730法二法二化为多元化为多元(du yun)线性回归：线性回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1)t(t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,statsToMATLAB(liti22)得回归模型为：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,k+,t,Y,r)预测预测(yc)及作图及作图ToMATLAB(liti23)第30页/共52页第三十页，共52页。2023/2/731（二）多元（二）多元(du yun)二项式回归二项式回归命令(mnglng)：rstool（x，y，model,alpha）nm矩阵显著性水平（缺省时为0.05）n维列向量第31页/共52页第三十一页，共52页。2023/2/732 例例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数 据如下，建立回归据如下，建立回归(hugu)模型，预测平均收入为模型，预测平均收入为1000、价格为、价格为6时时 的商品需求量的商品需求量.法一法一直接(zhji)用多元二项式回归：x1=10006001200500300400130011001300300;x2=5766875439;y=10075807050659010011060;x=x1x2;rstool(x,y,purequadratic)第32页/共52页第三十二页，共52页。2023/2/733在画面左下方的下拉式菜单中选”all”,则betarmse和residuals都传送(chunsn)到MATLAB工作区中.将左边图形下方方框(fnkun)中的“800”改成1000，右边图形下方的方框(fnkun)中仍输入6.则画面左边的“PredictedY”下方的数据由原来的“86.3791”变为88.4791，即预测出平均收入为1000价格为6时的商品需求量为88.4791.第33页/共52页第三十三页，共52页。2023/2/734在MATLAB工作(gngzu)区中输入命令：beta,rmseToMATLAB(liti31)第34页/共52页第三十四页，共52页。2023/2/735结果(jigu)为:b=110.53130.1464-26.5709-0.00011.8475stats=0.970240.66560.0005法二法二ToMATLAB(liti32)返回返回(fnhu)将化为多元线性回归：第35页/共52页第三十五页，共52页。2023/2/736非线性回非线性回 归归（1）确定）确定(qudng)回归系数的命令：回归系数的命令：beta，r，J=nlinfit（x,y,model,beta0）（2）非线性回归）非线性回归(hugu)命令：命令：nlintool（x，y，model,beta0，alpha）1回归回归(hugu)：残差Jacobi矩阵回归系数的初值事先用M文件定义的非线性函数估计出的回归系数输入数据xy分别为矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量.2预测和预测误差估计：预测和预测误差估计：Y，DELTA=nlpredci（model,x，beta，r，J）求nlinfit或lintool所得的回归函数在 x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y DELTA.第36页/共52页第三十六页，共52页。2023/2/737例例 4 对第一节例对第一节例2，求解，求解(qi ji)如下：如下：2输入(shr)数据：x=2:16;y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76;beta0=8 2;3求回归系数：beta,r,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)；beta得结果(ji gu)：beta=11.6036 -1.0641即得回归模型为：ToMATLAB(liti41)题目第37页/共52页第三十七页，共52页。2023/2/7384预测(yc)及作图：YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r,J)；plot(x,y,k+,x,YY,r)ToMATLAB(liti42)第38页/共52页第三十八页，共52页。2023/2/739例例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产(gdngzchn)投资等因素有关投资等因素有关.表中列出了表中列出了19521981 年的原始数据，试构造预测模型年的原始数据，试构造预测模型.解解 设国民收入、工业总产值、农业设国民收入、工业总产值、农业(nngy)总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，财政收入为，财政收入为y，设变量之间的关系为：，设变量之间的关系为：y=ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非线性回归方法求解使用非线性回归方法求解.第39页/共52页第三十九页，共52页。2023/2/7401对回归模型(mxng)建立M文件model.m如下:functionyy=model(beta0,X)a=beta0(1);b=beta0(2);c=beta0(3);d=beta0(4);e=beta0(5);f=beta0(6);x1=X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);x5=X(:,5);x6=X(:,6);yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;第40页/共52页第四十页，共52页。2023/2/7412.主程序主程序liti6.m如下如下(rxi):X=598.00349.00461.0057482.0020729.0044.00.2927.006862.001273.00100072.043280.00496.00;y=184.00216.00248.00254.00268.00286.00357.00444.00506.00.271.00230.00266.00323.00393.00466.00352.00303.00447.00.564.00638.00658.00691.00655.00692.00657.00723.00922.00.890.00826.00810.0;beta0=0.50-0.03-0.60 0.01-0.02 0.35;betafit=nlinfit(X,y,model,beta0)ToMATLAB(liti6）第41页/共52页第四十一页，共52页。2023/2/742betafit=0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.0230 0.3658即y=0.5243x1-0.0294x2-0.6304 x3+0.0112x4-0.0230 x5+0.3658x6结果结果(ji gu)为为:返返 回回第42页/共52页第四十二页，共52页。2023/2/743逐逐 步步 回回 归归逐步回归的命令(mnglng)是：stepwise（x，y，inmodel，alpha）运行(ynxng)stepwise 命令时产生三个图形窗口：StepwisePlot，StepwiseTable，StepwiseHistory.在StepwisePlot窗口(chungku)，显示出各项的回归系数及其置信区间.Stepwise Table窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（RMSE）、相关系数（R-square）、F值、与F对应的概率P.矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量）显著性水平（缺省时为 0.05）自变量数据,阶矩阵因变量数据，阶矩阵第43页/共52页第四十三页，共52页。2023/2/744例例6 水泥凝固时放出水泥凝固时放出(fn ch)的热量的热量y与水泥中与水泥中4种化学成分种化学成分x1、x2、x3、x4 有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个 线性模线性模 型型.1数据数据(shj)输入：输入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=x1 x2 x3 x4;第44页/共52页第四十四页，共52页。2023/2/7452逐步回归：逐步回归：（1）先在初始模型中取全部）先在初始模型中取全部(qunb)自变量：自变量：stepwise(x,y)得图得图Stepwise Plot 和表和表Stepwise Table图图Stepwise Plot中四条直线都是虚线，说明模型中四条直线都是虚线，说明模型(mxng)的显著性不好的显著性不好从表从表Stepwise Table中看出中看出(kn ch)变量变量x3和和x4的显著性最差的显著性最差.第45页/共52页第四十五页，共52页。2023/2/746（2）在图）在图Stepwise Plot中点击直线中点击直线(zhxin)3和直线和直线(zhxin)4，移去变量，移去变量x3和和x4移去变量移去变量x3和和x4后模型后模型(mxng)具有显著性具有显著性.虽然(surn)剩余标准差（RMSE）没有太大的变化，但是统计量F的值明显增大，因此新的回归模型更好.ToMATLAB(liti51）第46页/共52页第四十六页，共52页。2023/2/747（3）对变量）对变量(binling)y和和x1、x2作线性回归：作线性回归：X=ones(13,1)x1 x2;b=regress(y,X)得结果(jigu)：b=52.57731.46830.6623故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2ToMATLAB(liti52）返回返回(fnhu)第47页/共52页第四十七页，共52页。2023/2/7481考察温度x对产量y的影响，测得下列 10组数据：求y关于x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测 x=42时产量的估值及预测区间（置信度 95%）.2某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标xi处测得纵坐标yi共11对数据如下：求这段曲线的纵坐标 y关于横坐标x的二次多项式回归方程.第48页/共52页第四十八页，共52页。2023/2/749第49页/共52页第四十九页，共52页。2023/2/7504混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成(zuchng)12 个试块，记录了养护日期x（日）及抗压强度y（kg/cm2）的数据：第50页/共52页第五十页，共52页。2023/2/751第51页/共52页第五十一页，共52页。2023/2/7数学(shxu)建模52感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第52页/共52页第五十二页，共52页。
