数学教学典型案例分析PPT精品学习教案.pptx

会计学1数学教学典型案例数学教学典型案例(n l)分析分析PPT精品精品第一页，共60页。如何培养学生如何培养学生(xu sheng)(xu sheng)的数学学习的数学学习兴趣兴趣？第2页/共60页第二页，共60页。数学教学案例分析之一数学教学案例分析之一数学教学案例分析之一数学教学案例分析之一 “糖水浓度糖水浓度糖水浓度糖水浓度(nngd)(nngd)与数学发现与数学发现与数学发现与数学发现”系列活动课系列活动课系列活动课系列活动课 道道 具：一缸清水具：一缸清水 一罐白糖一罐白糖(bitng)(bitng)大大小小的玻璃杯若干个大大小小的玻璃杯若干个第3页/共60页第三页，共60页。大家都知道：大家都知道：第4页/共60页第四页，共60页。活动课之一活动课之一等比定理等比定理(dngl)的发现的发现分成分成(fn chn)三小杯三小杯第5页/共60页第五页，共60页。请问：三小杯糖水请问：三小杯糖水(tn shu)的浓度有何关系？的浓度有何关系？由于三小杯的糖水都是由大杯由于三小杯的糖水都是由大杯(d bi)倒出的，倒出的，显然有：显然有：第6页/共60页第六页，共60页。现在把三小杯糖水倒入一个现在把三小杯糖水倒入一个现在把三小杯糖水倒入一个现在把三小杯糖水倒入一个(y(y )空的大空的大空的大空的大杯子：杯子：杯子：杯子：倒入一个倒入一个(y)大杯大杯第7页/共60页第七页，共60页。请问：混合后糖水请问：混合后糖水(tn shu)的浓度与的浓度与原三个小杯糖水原三个小杯糖水(tn shu)的浓度有的浓度有何关系？何关系？学生学生(xu sheng)1：混合后的糖水浓度为：混合后的糖水浓度为第8页/共60页第八页，共60页。由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合(hnh)(hnh)后的糖水浓度相等，即是：后的糖水浓度相等，即是：后的糖水浓度相等，即是：后的糖水浓度相等，即是：这就是这就是(jish)(jish)等比定理：等比定理：若若 即即.第9页/共60页第九页，共60页。从从“糖水情境糖水情境”到到“等比定理等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是化抽象的数学过程，前者是“具具体的模型体的模型”，后者是，后者是“抽象的模抽象的模式式”，两者之间有，两者之间有“质质”的区别的区别.把糖放进水里，把糖水倒来倒去，把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！但是，我们这是数学吗？不是！但是，我们一旦一旦(ydn)(ydn)舍去糖、水、浓度舍去糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系的数量关系等比定理，这就等比定理，这就是数学了是数学了.这中间的过程就是一个这中间的过程就是一个“数学化数学化”的过程！的过程！第10页/共60页第十页，共60页。问题：问题：“糖水情境糖水情境”中的中的 与与“等比定理等比定理(dngl)”中的中的 有区别吗？有区别吗？学生学生2：“糖水情境糖水情境”中的中的 只能是正数，并且只能是正数，并且(bngqi).而而“等比定理等比定理”中的中的 不需要这么多限制，只要不需要这么多限制，只要有有 就够了就够了.第11页/共60页第十一页，共60页。老师转问学生老师转问学生老师转问学生老师转问学生(xu sheng)1(xu sheng)1(xu sheng)1(xu sheng)1：为什么说：为什么说：为什么说：为什么说式是混合后的浓式是混合后的浓式是混合后的浓式是混合后的浓度？度？度？度？学生学生(xu(xu sheng)sheng)1 1：学生学生(xu(xu sheng)sheng)3 3：第12页/共60页第十二页，共60页。老师老师(losh)(losh)问学生问学生3 3：为什么？有何依据？：为什么？有何依据？学生学生3 3：在计算：在计算(j sun)(j sun)小杯糖水的浓度时，小杯糖水的浓度时，分子分母可能有约分，比如：分子分母可能有约分，比如：2121克糖水中有克糖水中有3 3克糖，其浓度是克糖，其浓度是 .第13页/共60页第十三页，共60页。老师老师(losh)：学生学生(xu sheng)4：还是！：还是！第14页/共60页第十四页，共60页。老师老师老师老师(l(l oshosh)问：问：问：问：学生学生4 4：此时式子：此时式子虽然不是混合糖水浓度定义的直虽然不是混合糖水浓度定义的直接接(zhji)(zhji)式子，但在数值上并没有变！式子，但在数值上并没有变！第15页/共60页第十五页，共60页。学生学生(xu sheng)4(xu sheng)4：这是因为：这是因为第16页/共60页第十六页，共60页。学生学生(xu sheng)5(xu sheng)5：第17页/共60页第十七页，共60页。学生学生(xu sheng)6(xu sheng)6：第18页/共60页第十八页，共60页。于是于是(ysh)我们一我们一共得到了等比定理的三共得到了等比定理的三种等价形式！种等价形式！第19页/共60页第十九页，共60页。大家都知道大家都知道(zh do)，在糖水未达到，在糖水未达到饱和之前，给糖水加糖，糖水就会饱和之前，给糖水加糖，糖水就会变甜！变甜！活动课之二活动课之二真分数不等式的发现真分数不等式的发现(fxin)老师问：加糖后糖水就会变甜，能不能一个老师问：加糖后糖水就会变甜，能不能一个(y)不等式来表达这个结论？不等式来表达这个结论？第20页/共60页第二十页，共60页。学生学生(xu sheng)：老师问：很好！但是这个式子没有老师问：很好！但是这个式子没有(mi yu)反映出加反映出加糖来糖来.第21页/共60页第二十一页，共60页。学生：学生：老师问：很好！这里老师问：很好！这里(zhl)的的c 表示什么？表示什么？学生学生(xu sheng)：表示加：表示加糖了！糖了！老师问：老师问：c 表示所加的糖的质量吗？浓度与质量可以表示所加的糖的质量吗？浓度与质量可以(ky)直接相加吗？直接相加吗？第22页/共60页第二十二页，共60页。学生：学生：c不是糖的质量不是糖的质量(zhling)，而是浓度的，而是浓度的增加量增加量.老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加，并没有老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加，并没有(mi yu)反映出浓度增加的原因糖的增加反映出浓度增加的原因糖的增加.那么如那么如何把何把“因为糖的增加而使糖水浓度增加因为糖的增加而使糖水浓度增加”这个事实反映这个事实反映出来呢？出来呢？第23页/共60页第二十三页，共60页。学生学生学生学生(xu sheng)(xu sheng)：老师，我明白：老师，我明白：老师，我明白：老师，我明白了！了！了！了！第24页/共60页第二十四页，共60页。学生：同样可以考虑约分学生：同样可以考虑约分学生：同样可以考虑约分学生：同样可以考虑约分(yu fn)(yu fn)的情形！的情形！的情形！的情形！第25页/共60页第二十五页，共60页。学生学生学生学生10101010：由于：由于：由于：由于(yuy)(yuy)(yuy)(yuy)我们这里都是讨论的真分数，于是又有：我们这里都是讨论的真分数，于是又有：我们这里都是讨论的真分数，于是又有：我们这里都是讨论的真分数，于是又有：第26页/共60页第二十六页，共60页。新的发现新的发现(fxin)：第27页/共60页第二十七页，共60页。关于糖水的浓度关于糖水的浓度(nngd)(nngd)问题，我问题，我们还可以从中发现们还可以从中发现“中间不等式中间不等式”并由此得出并由此得出“定比分点公式定比分点公式”，并可以从中找到很多很有意义，并可以从中找到很多很有意义的数学模型的数学模型.感兴趣的老师可以感兴趣的老师可以参阅参阅中学数学课例分析中学数学课例分析 （罗增儒（罗增儒 著著 陕西师大出陕西师大出版社版社 2001.7 2001.7出版）出版）第28页/共60页第二十八页，共60页。数学教学案例分析之二数学教学案例分析之二数学教学案例分析之二数学教学案例分析之二 一个一个一个一个(y(y )不等式的证明与变式不等式的证明与变式不等式的证明与变式不等式的证明与变式 例：设 ，求证(qizhng)：第29页/共60页第二十九页，共60页。思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效(zu(zu xio).xio).仔细观察上式中三个根式的结构特征，可以发现：仔细观察上式中三个根式的结构特征，可以发现：第30页/共60页第三十页，共60页。所以，可以看作以所以，可以看作以所以，可以看作以所以，可以看作以为边夹角为的三角形的第三边为边夹角为的三角形的第三边为边夹角为的三角形的第三边为边夹角为的三角形的第三边.另两个另两个另两个另两个(li(li n n )根式类似地可视为根式类似地可视为根式类似地可视为根式类似地可视为一个三一个三一个三一个三角形的第三边角形的第三边角形的第三边角形的第三边.于是可构造满足条件的于是可构造满足条件的于是可构造满足条件的于是可构造满足条件的三棱锥帮助证明此题三棱锥帮助证明此题三棱锥帮助证明此题三棱锥帮助证明此题.第31页/共60页第三十一页，共60页。构造相应构造相应(xingyng)的的几何图形：几何图形：证明证明(zhngmng)(zhngmng)：如图：如图.构造三棱锥构造三棱锥S-ABCS-ABC，依余弦定理得：依余弦定理得：第32页/共60页第三十二页，共60页。因为三角形两边之和大于第三边，因为三角形两边之和大于第三边，所以在所以在ABCABC中，有中，有第33页/共60页第三十三页，共60页。很显然，同样有下面很显然，同样有下面(xi mian)两两个不等式成立：个不等式成立：第34页/共60页第三十四页，共60页。到这里不仅到这里不仅(bjn)要想，我们适要想，我们适当增大最后一个根号内的值，当增大最后一个根号内的值，不等式是否成立？即是下述不不等式是否成立？即是下述不等式是否成立？等式是否成立？第35页/共60页第三十五页，共60页。受前面数形结合证法(zhn f)的启示，我们作类似的处理.第36页/共60页第三十六页，共60页。这次作出的图形这次作出的图形(txng)会是什么样子的呢？会是什么样子的呢？第37页/共60页第三十七页，共60页。一共一共(ygng)有几种情形呢？有几种情形呢？第38页/共60页第三十八页，共60页。由以上由以上(yshng)三图知，不等式三图知，不等式应修正为：应修正为：同理有类似同理有类似(li s)的结论：的结论：第39页/共60页第三十九页，共60页。我们现在把不等式前面的两个根我们现在把不等式前面的两个根号的值变大，显然号的值变大，显然(xinrn)有有以下三个不等式成立：以下三个不等式成立：第40页/共60页第四十页，共60页。现在以现在以x x、y y、z z为边的三个夹角为边的三个夹角(ji jio)(ji jio)都是都是120120，恰好拼成一个周角，作图如下：恰好拼成一个周角，作图如下：第41页/共60页第四十一页，共60页。同样我们有与同样我们有与同样我们有与同样我们有与 类似的类似的类似的类似的共共共共9 9个不等式（即个不等式（即个不等式（即个不等式（即“前两个根式中有一个的交叉项为负、前两个根式中有一个的交叉项为负、前两个根式中有一个的交叉项为负、前两个根式中有一个的交叉项为负、其余为正其余为正其余为正其余为正”或者或者或者或者“前两个根式中有一个的交叉项为正、其前两个根式中有一个的交叉项为正、其前两个根式中有一个的交叉项为正、其前两个根式中有一个的交叉项为正、其余为负余为负余为负余为负”）成立）成立）成立）成立.那么，如果要仿上作出图形利用那么，如果要仿上作出图形利用那么，如果要仿上作出图形利用那么，如果要仿上作出图形利用“余弦定余弦定余弦定余弦定理理理理”和和和和“三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边”来证明它们来证明它们来证明它们来证明它们(t men)(t men)，所作的图形又是怎么样的呢？，所作的图形又是怎么样的呢？，所作的图形又是怎么样的呢？，所作的图形又是怎么样的呢？请大家仔细思考这个问题！请大家仔细思考这个问题！请大家仔细思考这个问题！请大家仔细思考这个问题！第42页/共60页第四十二页，共60页。1.1.问题的提出问题的提出(t ch)(t ch)已知图形如下：已知图形如下：请记住这道题请记住这道题请记住这道题请记住这道题目，并根据排列组合目，并根据排列组合目，并根据排列组合目，并根据排列组合的知识推算这样的不的知识推算这样的不的知识推算这样的不的知识推算这样的不同同同同(b tn)(b tn)图形共有图形共有图形共有图形共有多少个？多少个？多少个？多少个？数学教学案例分析数学教学案例分析(fnx)之三之三 一道有趣的开放题一道有趣的开放题第43页/共60页第四十三页，共60页。现保持阴影现保持阴影现保持阴影现保持阴影(ynyng)(ynyng)(ynyng)(ynyng)部分的面积大小，该图形可以部分的面积大小，该图形可以部分的面积大小，该图形可以部分的面积大小，该图形可以变化为如下一系列图形：变化为如下一系列图形：变化为如下一系列图形：变化为如下一系列图形：第44页/共60页第四十四页，共60页。假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用半圆和圆心角为半圆和圆心角为半圆和圆心角为半圆和圆心角为90909090的扇形去分割这个的扇形去分割这个的扇形去分割这个的扇形去分割这个(zh ge)(zh ge)(zh ge)(zh ge)正正正正方形并保持阴影部分的面积不变方形并保持阴影部分的面积不变方形并保持阴影部分的面积不变方形并保持阴影部分的面积不变.画出尽可能多的不画出尽可能多的不画出尽可能多的不画出尽可能多的不同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由.第45页/共60页第四十五页，共60页。2.2.2.2.问题解决问题解决问题解决问题解决(jiju)(jiju)(jiju)(jiju)的的的的思路思路思路思路 为了解决这个问题，我们为了解决这个问题，我们还得回到最初的图形还得回到最初的图形(txng).(txng).先将原图分成四部分，如下：先将原图分成四部分，如下：第46页/共60页第四十六页，共60页。思路一：将上图沿虚线剪开，思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则转化为用以下的四个该问题则转化为用以下的四个小正方形去填充一个小正方形去填充一个(y)空白空白正方形的问题正方形的问题.填充填充 a b c d第47页/共60页第四十七页，共60页。事实上，上面的四个小正方事实上，上面的四个小正方形（通过旋转后）是完全一样形（通过旋转后）是完全一样的的.但为了说明问题，我们将它但为了说明问题，我们将它们们(t men)(t men)的位置固定下来，的位置固定下来，看作四个不同的图形，分别记看作四个不同的图形，分别记为为a a，b b，c c，d d，现在用这四个，现在用这四个小正方形去填充，考虑一共能小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不同的图案组成多少种不同的图案.由排列组合的知识知道，这是一个可重由排列组合的知识知道，这是一个可重复排列的问题复排列的问题(wnt)(wnt)，应有，应有44=25644=256种不同种不同的情形的情形.第48页/共60页第四十八页，共60页。是不是有这么多呢？这是不是有这么多呢？这是不是有这么多呢？这是不是有这么多呢？这256256256256个不同的图案中有没有重复的呢？为了个不同的图案中有没有重复的呢？为了个不同的图案中有没有重复的呢？为了个不同的图案中有没有重复的呢？为了(wi le)(wi le)(wi le)(wi le)说明说明说明说明问题，再来看思路二问题，再来看思路二问题，再来看思路二问题，再来看思路二.思路二：（思路二：（1 1）如下图，先将三个）如下图，先将三个小正方形的位置固定，旋转带小正方形的位置固定，旋转带*的小正方形的小正方形.这样这样(zhyng)(zhyng)就得就得到三个不同于初始图案的图案到三个不同于初始图案的图案.第49页/共60页第四十九页，共60页。（2 2）那么，运用排列组合的知）那么，运用排列组合的知识，如果有两个小正方形同时按不识，如果有两个小正方形同时按不同方向（旋转方向互不关联）分别同方向（旋转方向互不关联）分别旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转的情形旋转的情形.否则否则(fuz)(fuz)回到回到（1 1）.这里分为同时旋转两个相这里分为同时旋转两个相邻的小正方形和同时旋转两个对角邻的小正方形和同时旋转两个对角的小正方形两种情形，共有的小正方形两种情形，共有332=18332=18种不同的图案种不同的图案.第50页/共60页第五十页，共60页。（3 3）类似的，固定一个同时）类似的，固定一个同时旋转另三个小正方形，又可以得旋转另三个小正方形，又可以得到到33=2733=27种不同的图案种不同的图案.（4 4）现在让四个小正方形同）现在让四个小正方形同时旋转（旋转方向互不关联），时旋转（旋转方向互不关联），都不保持原来的位置，又可以得都不保持原来的位置，又可以得到到34=8134=81种不同的图案种不同的图案.加上原来的初始图案，则共加上原来的初始图案，则共有有1 13 31818272781=13081=130种不种不同的图案同的图案.由此可见，思路由此可见，思路(sl)(sl)一中的一中的256256个图案中有很多是重复个图案中有很多是重复的的.第51页/共60页第五十一页，共60页。接下来的问题是：这接下来的问题是：这130130种种图案中有没有重复的？如果有，图案中有没有重复的？如果有，重复了几种？这个重复了几种？这个(zh ge)(zh ge)问问题的最终结果应该是多少种不题的最终结果应该是多少种不同的图案？请读者自行解决同的图案？请读者自行解决.第52页/共60页第五十二页，共60页。3.3.3.3.教学教学教学教学(jio xu)(jio xu)(jio xu)(jio xu)与反思与反思与反思与反思 笔者曾经在小学笔者曾经在小学笔者曾经在小学笔者曾经在小学4 4 4 4、5 5 5 5、6 6 6 6年级的数学课外年级的数学课外年级的数学课外年级的数学课外活动中运用该题进行过数学活动课教学，让活动中运用该题进行过数学活动课教学，让活动中运用该题进行过数学活动课教学，让活动中运用该题进行过数学活动课教学，让学生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生的学习兴趣非常高，收到了良好的教学学生的学习兴趣非常高，收到了良好的教学学生的学习兴趣非常高，收到了良好的教学学生的学习兴趣非常高，收到了良好的教学效果效果效果效果.通过这样的数学活动，使学生能够既动通过这样的数学活动，使学生能够既动通过这样的数学活动，使学生能够既动通过这样的数学活动，使学生能够既动脑又动手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，脑又动手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，脑又动手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，脑又动手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，用心体会用心体会用心体会用心体会(thu)(thu)(thu)(thu)，让学生体验到数学活动的，让学生体验到数学活动的，让学生体验到数学活动的，让学生体验到数学活动的乐趣、欣赏到几何图形的美乐趣、欣赏到几何图形的美乐趣、欣赏到几何图形的美乐趣、欣赏到几何图形的美.第53页/共60页第五十三页，共60页。相信经历过这样的数学活动的学生相信经历过这样的数学活动的学生相信经历过这样的数学活动的学生相信经历过这样的数学活动的学生(xu(xu(xu(xu sheng)sheng)sheng)sheng)，等到他将来长大以后购买地板砖准备家，等到他将来长大以后购买地板砖准备家，等到他将来长大以后购买地板砖准备家，等到他将来长大以后购买地板砖准备家庭装修时仍然能够清楚的回忆起当年他在这堂课庭装修时仍然能够清楚的回忆起当年他在这堂课庭装修时仍然能够清楚的回忆起当年他在这堂课庭装修时仍然能够清楚的回忆起当年他在这堂课中所设计的美丽图案中所设计的美丽图案中所设计的美丽图案中所设计的美丽图案.如果是这样的话，作为一如果是这样的话，作为一如果是这样的话，作为一如果是这样的话，作为一个数学教育工作者，应该开心微笑了个数学教育工作者，应该开心微笑了个数学教育工作者，应该开心微笑了个数学教育工作者，应该开心微笑了.第54页/共60页第五十四页，共60页。以下是一些以下是一些以下是一些以下是一些(yxi)(yxi)(yxi)(yxi)学生自己画出的并且是他们最喜欢学生自己画出的并且是他们最喜欢学生自己画出的并且是他们最喜欢学生自己画出的并且是他们最喜欢的图案的图案的图案的图案:第55页/共60页第五十五页，共60页。笔者也曾在初二的数学课外活动中运用过该题，笔者也曾在初二的数学课外活动中运用过该题，并试图把排列组合的知识以及化归思想渗透给他们并试图把排列组合的知识以及化归思想渗透给他们.事实证明，如果处理得当，教学中深入浅出，给事实证明，如果处理得当，教学中深入浅出，给学生充裕的时间思考领会，初二的学生在一定程度学生充裕的时间思考领会，初二的学生在一定程度上也是可以接受这些知识的上也是可以接受这些知识的.当然，这道开放题如果给高中生来解答，尤其是当然，这道开放题如果给高中生来解答，尤其是刚刚学完排列组合知识的学生，不论他们能够刚刚学完排列组合知识的学生，不论他们能够(nnggu)(nnggu)得到什么样的结果，最起码，对于他们对得到什么样的结果，最起码，对于他们对排列组合知识的理解是大有益处的排列组合知识的理解是大有益处的.第56页/共60页第五十六页，共60页。同时，这道题目还可以扩展为：同时，这道题目还可以扩展为：(1)如果用如果用9块块 拼成拼成33的大的大正方形情形正方形情形(qng xing)又是怎又是怎样的？样的？(2)如果用如果用6块块 作为正方体的作为正方体的6个侧面，那么围成的正方体的个侧面，那么围成的正方体的侧面展开图有多少种不同的图侧面展开图有多少种不同的图案？案？(3)用正多边形地板砖铺满房间，用正多边形地板砖铺满房间，有哪些不同的铺设方案？有哪些不同的铺设方案？第57页/共60页第五十七页，共60页。An Interesting Open-end ProblemAn Interesting Open-end ProblemAn Interesting Open-end ProblemAn Interesting Open-end ProblemYANG Xiao-binYANG Xiao-binYANG Xiao-binYANG Xiao-bin（Department of Mathematics and Information ScienceDepartment of Mathematics and Information ScienceDepartment of Mathematics and Information ScienceDepartment of Mathematics and Information Science，China West Normal UniversityChina West Normal UniversityChina West Normal UniversityChina West Normal University，NanchongNanchongNanchongNanchong，Sichuan Sichuan Sichuan Sichuan，China China China China，637002637002637002637002）Abstract:Abstract:Abstract:Abstract:Through an open-end problem,we find that Through an open-end problem,we find that mathematics open-end problem studyingmathematics open-end problem studyingand mathematics activities teaching beneficial to students and mathematics activities teaching beneficial to students mathematics studying.mathematics studying.Key words:Key words:Key words:Key words:mathematics;open-end problem;mathematics mathematics;open-end problem;mathematics activitiesactivities第58页/共60页第五十八页，共60页。谢谢大家谢谢大家(dji)！请多！请多指教！指教！第59页/共60页第五十九页，共60页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第60页/共60页第六十页，共60页。