数学建模灰色预测法学习教案.pptx

数学数学(shxu)建模灰色预测法建模灰色预测法第一页，共41页。1 灰灰 色色 预预 测测 理理 论论 一、灰色(hus)预测的概念 （1）灰色(hus)系统、白色系统和黑色系统 白色系统(xtng)是指一个系统(xtng)的内部特征是完全 已知的，即系统(xtng)的信息是完全明确的。回总目录回本章目录第1页/共41页第二页，共41页。黑色系统是指一个(y)系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。灰色(hus)系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。回总目录回本章(bn zhn)目录第2页/共41页第三页，共41页。灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是(jish)对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。（2）灰色(hus)预测法回总目录回本章(bn zhn)目录第3页/共41页第四页，共41页。灰色预测通过鉴别系统因素(yn s)之间发展趋 势的相异程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处理来寻找系统变动 的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预 测事物未来发展趋势的状况。回总目录回本章(bn zhn)目录第4页/共41页第五页，共41页。灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征(tzhng)的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征(tzhng)量，或达到某一 特征(tzhng)量的时间。回总目录回本章(bn zhn)目录第5页/共41页第六页，共41页。（3 3）灰色）灰色(hus)(hus)系统的应用范畴系统的应用范畴 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：（1 1）灰色关联）灰色关联(gunlin)(gunlin)分析。分析。（2 2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测.等等。等等。（3 3）灰色决策。）灰色决策。（4 4）灰色预测控制。）灰色预测控制。第6页/共41页第七页，共41页。（4）灰色(hus)预测的四种常见类型 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到(d do)某一特征量的时间。畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区内。回总目录回本章(bn zhn)目录第7页/共41页第八页，共41页。系统预测 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调(xitio)关系的变化。拓扑预测 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。回总目录回本章(bn zhn)目录第8页/共41页第九页，共41页。二、生成(shn chn)列 设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得到数据序列 为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型(mxng)之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。回总目录回本章(bn zhn)目录第9页/共41页第十页，共41页。累加累加是将原始序列通过(tnggu)累加得到生成列。灰色(hus)系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。（1）数据处理方式(fngsh)回总目录回本章目录第10页/共41页第十一页，共41页。累加的规则(guz):将原始序列的第一个数据作为生成(shn chn)列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成(shn chn)列的第二个数据，将原始序列的第三个数据加到生成(shn chn)列的第二个数据上，其和作为生成(shn chn)列的第三个数据，按此规则进行下去，便可得到生成(shn chn)列。回总目录回本章(bn zhn)目录第11页/共41页第十二页，共41页。记原始(yunsh)时间序列为：生成(shn chn)列为：上标(shn bio)1表示一次累加，同理，可作m次累加：回总目录回本章目录第12页/共41页第十三页，共41页。对非负数据，累加次数越多则随机性弱化(ru hu)越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。回总目录回本章(bn zhn)目录第13页/共41页第十四页，共41页。累减 将原始(yunsh)序列前后两个数据相减得到累减生成列 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原(hun yun)为非生成列，在建模中获得增量信息。一次累减的公式(gngsh)为：回总目录回本章目录第14页/共41页第十五页，共41页。三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素(yn s)关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。（1）关联系数设则关联系数定义(dngy)为：回总目录回本章(bn zhn)目录第15页/共41页第十六页，共41页。式中：为第k个点 称为(chn wi)分辨率，03t 3有有(t)0.5,(t)0.5,则其满足准光滑条件则其满足准光滑条件;然后检验数列然后检验数列X(1)X(1)是否是否(sh fu)(sh fu)具有准指数规律具有准指数规律,由由 (1)(t)=X(1)(t)/X(1)(t-1),(1)(t)=X(1)(t)/X(1)(t-1),若对若对t t 有有(1)(t)(1)(t)1,1+,1,1+,其中其中 常取常取0.5,0.5,则则准指数规律满足准指数规律满足,可对可对X(1)X(1)建立建立GM(1,1)GM(1,1)模型模型,否否则需继续累加。则需继续累加。第23页/共41页第二十四页，共41页。2 GM(1,1)模型模型(mxng)一、GM（1，1）模型(mxng)的建立 设时间(shjin)序列有n个观察值，通过累加生成新序列 则GM（1，1）模型相应的微分方程为：其中：称为发展灰数；称为内生控制灰数。回总目录回本章目录第24页/共41页第二十五页，共41页。构造矩阵构造矩阵(j zhn)B(j zhn)B与向量与向量Y YY=(X(0)(2),X(0)(3),，X(0)(n)第25页/共41页第二十六页，共41页。设为待估参数(cnsh)向量，利用(lyng)最小二乘法可得：求解(qi ji)微分方程，即可得预测模型：，则微分方程回总目录回本章目录可表示为第26页/共41页第二十七页，共41页。对其做累减还原对其做累减还原(hun yun)(hun yun)，即可得到原始数列，即可得到原始数列 的的灰色预测模型为灰色预测模型为:第27页/共41页第二十八页，共41页。由灰色预测方法由灰色预测方法(fngf)(fngf)原理原理,-a,-a 主要控制系统发主要控制系统发展态展态势的势的 大小大小,即反映预测的发展态势即反映预测的发展态势,被称为发展系数被称为发展系数;u u 的大小反映了数据变化的关系的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量被称为灰色作用量,其中其中:当当-a 0.3-a 0.3 时时,GM(1,1),GM(1,1)模型可用于中长期预测模型可用于中长期预测;当当0.3 -a 0.5 0.3 -a 0.5 时时,GM(1,1),GM(1,1)模型可用于短期预测模型可用于短期预测,中长期预测慎用中长期预测慎用;当当0.5 -a 1 0.5 -a 1-a 1 时时,不宜采用不宜采用GM(1,1)GM(1,1)模型模型,可考虑其他预可考虑其他预测方法测方法(fngf)(fngf)。第28页/共41页第二十九页，共41页。灰色(hus)预测检验一般有残差检验、关联度检二、模型(mxng)检验（1）残差检验(jinyn)按预测模型计算并将累减生成然后计算原始序列与的绝对误差序列及相对误差序列。验和后验差检验。回总目录回本章目录第29页/共41页第三十页，共41页。在建立模型在建立模型(mxng)(mxng)后后,还必须对模型还必须对模型(mxng)(mxng)进行精度检验进行精度检验,其其检验标准见表检验标准见表1 1。表表1 1 精度检验等级参照表精度检验等级参照表精度等级相对误差 一级(优)0.01二级(良)0.05三级(合格)0.1四级(不适用)0.2第30页/共41页第三十一页，共41页。（2）关联度检验(jinyn)根据(gnj)前面所述关联度的计算方法算出与原始(yunsh)序列的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6便满意了。回总目录回本章目录第31页/共41页第三十二页，共41页。（3）后验差检验(jinyn)a.计算(j sun)原始序列标准差:回总目录回本章(bn zhn)目录第32页/共41页第三十三页，共41页。b.计算绝对误差(ju du w ch)序列的标准差：c.计算(j sun)后验差比值：回总目录回本章(bn zhn)目录第33页/共41页第三十四页，共41页。d.计算小误差(wch)概率：令:，则：P0.950.800.700.70 C0.350.500.650.65 好 合格(hg)勉强合格(hg)不合格(hg)回总目录回本章(bn zhn)目录第34页/共41页第三十五页，共41页。3基于基于(jy)灰色预测的等维灰数递补模型灰色预测的等维灰数递补模型 从灰色预测模型公式中可以看出，它是从灰色预测模型公式中可以看出，它是一个指数增长的模型，在进行预测时，最近一一个指数增长的模型，在进行预测时，最近一年的预测结果应该是很精确的，但对后续几年的预测结果应该是很精确的，但对后续几年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模型的广泛适用性，我们型的广泛适用性，我们(w men)(w men)做出了如下的改进：对做出了如下的改进：对原灰色模型等维灰数递补，即构造等维灰数递原灰色模型等维灰数递补，即构造等维灰数递补模型。补模型。第35页/共41页第三十六页，共41页。GM(1,1)GM(1,1)模型中具有预测意义的数据仅模型中具有预测意义的数据仅仅是数据仅是数据X(n)X(n)以后的前几个数据，随着时间以后的前几个数据，随着时间的推移，老的数据越来越不适应新的情况，所的推移，老的数据越来越不适应新的情况，所以，要在原数据的基础上每次增加一个新信以，要在原数据的基础上每次增加一个新信息时，就去掉息时，就去掉(q dio)(q dio)一个老信息。这种新数据补一个老信息。这种新数据补充、充、老数据去除的数据列，由于其维数不变，因而老数据去除的数据列，由于其维数不变，因而叫等维信息数据列，相应的模型叫等维灰数叫等维信息数据列，相应的模型叫等维灰数递补模型，或叫新陈代谢模型。递补模型，或叫新陈代谢模型。第36页/共41页第三十七页，共41页。设原始数列为设原始数列为:置入新信息置入新信息X(0)(n+1),X(0)(n+1),去掉老信息去掉老信息X(0)(1),X(0)(1),可构成可构成(guchng)(guchng)新数列新数列:利用这一新数列建立的利用这一新数列建立的GM(1,1)GM(1,1)模型模型,即为等即为等维信息维信息GM(1,1)GM(1,1)模型。模型。第37页/共41页第三十八页，共41页。由于在实际中，信息处于不断的变化之中由于在实际中，信息处于不断的变化之中,具有具有很大的随机性很大的随机性,虽然历史信息对预测时刻的具体值有虽然历史信息对预测时刻的具体值有一定的相关性和影响一定的相关性和影响,但与预测时刻更接近的信息对但与预测时刻更接近的信息对于该时刻的预测结果更有价值。鉴于这种情况于该时刻的预测结果更有价值。鉴于这种情况(qngkung),(qngkung),可先可先用已知数列建立的用已知数列建立的GM(1,1)GM(1,1)模型预测一个值模型预测一个值,然后补然后补充一个新信息数据到已知数列中充一个新信息数据到已知数列中,同时去掉最老的一同时去掉最老的一个数据个数据,使序列等维使序列等维,接着再建立接着再建立GM(1,1)GM(1,1)模型模型,这样这样逐个滚动预测逐个滚动预测,依次递补依次递补,直到完成预测目标为止，这直到完成预测目标为止，这样我们再对具体问题进行预测样我们再对具体问题进行预测,就可以得到更为精确就可以得到更为精确的结果。的结果。第38页/共41页第三十九页，共41页。10.3 GM(1,1)残差模型残差模型(mxng)及及GM(n,h)模型模型(mxng)一、残差模型(mxng)若用原始经济(jngj)时间序列模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM（1，1）模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM（1，1）的残差模型。建立的GM(1,1)回总目录回本章目录第39页/共41页第四十页，共41页。二、GM（n，h）模型(mxng)GM（n，h）模型是微分方程模型，可用于对描述对象做长期、连续、动态的反映。从原则上讲，某一灰色系统无论内部机制如何，只要(zhyo)能将该系统原始表征量表示为时间，并有（N表示(biosh)自然数集），即可用GM模型对系统进行描述。，序列回总目录回本章目录第40页/共41页第四十一页，共41页。