数学概念及其逻辑结构学习教案.pptx

会计学1数学概念数学概念(ginin)及其逻辑结构及其逻辑结构第一页，共46页。n n“初等数学，即常数的数学，是指形式逻辑的范围内初等数学，即常数的数学，是指形式逻辑的范围内初等数学，即常数的数学，是指形式逻辑的范围内初等数学，即常数的数学，是指形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样。活动的，至少总的说来是这样。活动的，至少总的说来是这样。活动的，至少总的说来是这样。”（恩格斯）（恩格斯）（恩格斯）（恩格斯）n n中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，部分地涉及中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，部分地涉及中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，部分地涉及中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，部分地涉及(shj)(shj)辩证逻辑。辩证逻辑。辩证逻辑。辩证逻辑。n n形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念、判形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念、判形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念、判形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念、判断、推理是思维的三种基本形式。断、推理是思维的三种基本形式。断、推理是思维的三种基本形式。断、推理是思维的三种基本形式。n n辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是唯物辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是唯物辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是唯物辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是唯物辩证法在思维领域中的应用。辩证法在思维领域中的应用。辩证法在思维领域中的应用。辩证法在思维领域中的应用。第1页/共46页第二页，共46页。n n 目标：目标：n n理解概念的内涵和外延、概念间理解概念的内涵和外延、概念间的关系的关系;n n掌握概念定义的方法以及掌握概念定义的方法以及(yj)概念划分的方法。概念划分的方法。课题课题1 数学概念数学概念(ginin)及其逻及其逻辑结构辑结构第2页/共46页第三页，共46页。一、概念与数学概念的含义与发展途径一、概念与数学概念的含义与发展途径一、概念与数学概念的含义与发展途径一、概念与数学概念的含义与发展途径（一）含义（一）含义（一）含义（一）含义 概念是反映事物本质属性的思维形式。概念是反映事物本质属性的思维形式。概念是反映事物本质属性的思维形式。概念是反映事物本质属性的思维形式。所谓所谓所谓所谓“本质属性本质属性本质属性本质属性”,”,就是指可以用来从其他事物中区分这个事物的就是指可以用来从其他事物中区分这个事物的就是指可以用来从其他事物中区分这个事物的就是指可以用来从其他事物中区分这个事物的特征性质。它构成某种事物的基本特征特征性质。它构成某种事物的基本特征特征性质。它构成某种事物的基本特征特征性质。它构成某种事物的基本特征,只为这类事物所具只为这类事物所具只为这类事物所具只为这类事物所具有有有有(jy(jy u),u),是一种事物区别于另一种事物的根本依据。是一种事物区别于另一种事物的根本依据。是一种事物区别于另一种事物的根本依据。是一种事物区别于另一种事物的根本依据。数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本质属性的思维形式。本质属性的思维形式。本质属性的思维形式。本质属性的思维形式。（二）产生与发展途径（二）产生与发展途径（二）产生与发展途径（二）产生与发展途径 概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。数学概念的产生和发展有各种不同的途径：数学概念的产生和发展有各种不同的途径：数学概念的产生和发展有各种不同的途径：数学概念的产生和发展有各种不同的途径：1 1）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、自然数等；自然数等；自然数等；自然数等；2 2）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近代数学中的群、环、域、空间等；代数学中的群、环、域、空间等；代数学中的群、环、域、空间等；代数学中的群、环、域、空间等；第3页/共46页第四页，共46页。3 3）从数学内部的需要产生出来，例如为了把正整数幂的运算法则扩充到有理数）从数学内部的需要产生出来，例如为了把正整数幂的运算法则扩充到有理数）从数学内部的需要产生出来，例如为了把正整数幂的运算法则扩充到有理数）从数学内部的需要产生出来，例如为了把正整数幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂、实数幂，产生了零指数、负整数指数、分数指数、无理幂、无理数幂、实数幂，产生了零指数、负整数指数、分数指数、无理幂、无理数幂、实数幂，产生了零指数、负整数指数、分数指数、无理幂、无理数幂、实数幂，产生了零指数、负整数指数、分数指数、无理数指数等概念；为了使所有的代数方程都有解，产生了虚数、复数的概数指数等概念；为了使所有的代数方程都有解，产生了虚数、复数的概数指数等概念；为了使所有的代数方程都有解，产生了虚数、复数的概数指数等概念；为了使所有的代数方程都有解，产生了虚数、复数的概念；念；念；念；4 4）根据理论上有存在的可能而提出来，例如自然数集、无穷远点、无穷小、圆）根据理论上有存在的可能而提出来，例如自然数集、无穷远点、无穷小、圆）根据理论上有存在的可能而提出来，例如自然数集、无穷远点、无穷小、圆）根据理论上有存在的可能而提出来，例如自然数集、无穷远点、无穷小、圆周率周率周率周率 等；等；等；等；5 5）从一定的数学对象结构中产生出来的，例如多边形的顶点、对角线、内角、）从一定的数学对象结构中产生出来的，例如多边形的顶点、对角线、内角、）从一定的数学对象结构中产生出来的，例如多边形的顶点、对角线、内角、）从一定的数学对象结构中产生出来的，例如多边形的顶点、对角线、内角、外角等。外角等。外角等。外角等。注意：注意：注意：注意：1.1.数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是：理想化、多级抽象；数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是：理想化、多级抽象；数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是：理想化、多级抽象；数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是：理想化、多级抽象；2.2.在人的意识中形成概念，同表达在人的意识中形成概念，同表达在人的意识中形成概念，同表达在人的意识中形成概念，同表达(bi(bi od)od)它的语言、书写和符号分不开，称它的语言、书写和符号分不开，称它的语言、书写和符号分不开，称它的语言、书写和符号分不开，称表达表达表达表达(bi(bi od)od)数学概念的语词为数学概念的名称或术语。数学概念的语词为数学概念的名称或术语。数学概念的语词为数学概念的名称或术语。数学概念的语词为数学概念的名称或术语。第4页/共46页第五页，共46页。概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体上的细胞这个有机体上的细胞这个有机体上的细胞这个有机体上的细胞(xbo)(xbo)(xbo)(xbo)。每个概念都是以下两者的统一：每个概念都是以下两者的统一：每个概念都是以下两者的统一：每个概念都是以下两者的统一：1 1 1 1）对象或关系的集合）对象或关系的集合）对象或关系的集合）对象或关系的集合这个概念的外延。这个概念的外延。这个概念的外延。这个概念的外延。2 2 2 2）这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征性质）这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征性质）这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征性质）这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征性质这这这这个概念的内涵。个概念的内涵。个概念的内涵。个概念的内涵。逻辑思维对概念的要求是：概念必须明确，即弄清一个概念的内涵逻辑思维对概念的要求是：概念必须明确，即弄清一个概念的内涵逻辑思维对概念的要求是：概念必须明确，即弄清一个概念的内涵逻辑思维对概念的要求是：概念必须明确，即弄清一个概念的内涵是什么，外延有哪些。从质和量两个方面明确概念所反映的对是什么，外延有哪些。从质和量两个方面明确概念所反映的对是什么，外延有哪些。从质和量两个方面明确概念所反映的对是什么，外延有哪些。从质和量两个方面明确概念所反映的对象。象。象。象。第5页/共46页第六页，共46页。二、概念的内涵与外延二、概念的内涵与外延(wiyn)(wiyn)（一）（一）内涵与外延内涵与外延(wiyn)(wiyn)的含义的含义概念的内涵就是概念所反映的事物的概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和本质属性的总和,概念的外延概念的外延(wiyn)(wiyn)就是概念所反映的事物就是概念所反映的事物的总和的总和(或范围或范围).).第6页/共46页第七页，共46页。二、概念的内涵二、概念的内涵二、概念的内涵二、概念的内涵(nihn)(nihn)(nihn)(nihn)与外延与外延与外延与外延第7页/共46页第八页，共46页。（二）内涵与外延之间的关系（二）内涵与外延之间的关系（二）内涵与外延之间的关系（二）内涵与外延之间的关系概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全确概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全确概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全确概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全确定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定导致定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定导致定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定导致定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定导致概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联系、互概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联系、互概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联系、互概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联系、互相制约的相制约的相制约的相制约的:当概念的内涵扩大时当概念的内涵扩大时当概念的内涵扩大时当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小则概念的外延就缩小则概念的外延就缩小则概念的外延就缩小;当概当概当概当概念的内涵缩小时念的内涵缩小时念的内涵缩小时念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也一样则概念的外延就扩大。反过来也一样则概念的外延就扩大。反过来也一样则概念的外延就扩大。反过来也一样(yyng)(yyng)。内涵和外延之间的这种关系。内涵和外延之间的这种关系。内涵和外延之间的这种关系。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。称为反变关系。称为反变关系。称为反变关系。例例例例如如如如,在四边形的内涵中在四边形的内涵中,增加增加“两组对边分别平行两组对边分别平行”这个性质这个性质,那就得那就得到平行四边形的概念到平行四边形的概念,而平行四边形的外延而平行四边形的外延(wiyn)(wiyn)比四边形的比四边形的外延外延(wiyn)(wiyn)小。小。在等腰三角形的内涵中减少在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等有两边相等”这个性质这个性质,就得到三就得到三角形的概念角形的概念,而三角形的外延而三角形的外延(wiyn)(wiyn)比等腰三角形的外延比等腰三角形的外延(wiyn)(wiyn)大。大。注意注意,只有在改变内涵的过程中一个概念的外延只有在改变内涵的过程中一个概念的外延(wiyn)(wiyn)是另一是另一个概念外延个概念外延(wiyn)(wiyn)的子集的情况下，概念的内涵和外延的子集的情况下，概念的内涵和外延(wiyn)(wiyn)间才会出现反变关系。间才会出现反变关系。第8页/共46页第九页，共46页。（三）内涵（三）内涵（三）内涵（三）内涵(nihn)(nihn)和外延的发展变化和外延的发展变化和外延的发展变化和外延的发展变化 概念不是一成不变的，随着事物的发展变化和人类实践概念不是一成不变的，随着事物的发展变化和人类实践概念不是一成不变的，随着事物的发展变化和人类实践概念不是一成不变的，随着事物的发展变化和人类实践的不断深入的不断深入的不断深入的不断深入,概念的内涵概念的内涵概念的内涵概念的内涵(nihn)(nihn)和外延也会不断地和外延也会不断地和外延也会不断地和外延也会不断地发展变化。发展变化。发展变化。发展变化。例如：角的概念、三角函数的概念、数的概念等。例如：角的概念、三角函数的概念、数的概念等。例如：角的概念、三角函数的概念、数的概念等。例如：角的概念、三角函数的概念、数的概念等。在数学教学中，认识概念的内涵与外延必须放在教材和一定在数学教学中，认识概念的内涵与外延必须放在教材和一定(ydng)(ydng)的数学学科体系中。的数学学科体系中。例如，角（平面几何例如，角（平面几何/平面三角）平面三角）第9页/共46页第十页，共46页。三、概念间的关系三、概念间的关系 我们只研究可比较概念间的关系我们只研究可比较概念间的关系.所谓可比较概念所谓可比较概念,就是指的在外就是指的在外延上具有延上具有(jyu)(jyu)某种可比较关系某种可比较关系的概念的概念.例如，例如，“正数正数”和和“整数整数”就是可比就是可比较的概念，较的概念，而而“正数正数”和和“多边形多边形”就是就是不可比较的概念不可比较的概念.在可比较的概念间，有相容关系和不在可比较的概念间，有相容关系和不相容关系相容关系.第10页/共46页第十一页，共46页。（一）相容关系（一）相容关系（一）相容关系（一）相容关系 （Compatible relation Compatible relation Compatible relation Compatible relation）外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系,这两这两这两这两个概念称为相容概念。个概念称为相容概念。个概念称为相容概念。个概念称为相容概念。在相容关系里在相容关系里在相容关系里在相容关系里,又分为又分为又分为又分为(fn wi)(fn wi)(fn wi)(fn wi)同一关系、交叉关系和从属同一关系、交叉关系和从属同一关系、交叉关系和从属同一关系、交叉关系和从属关系。关系。关系。关系。1.1.1.1.同一关系（同一关系（同一关系（同一关系（IdentityIdentityIdentityIdentity）外延完全重合的两个概念外延完全重合的两个概念外延完全重合的两个概念外延完全重合的两个概念A A A A和和和和B B B B之间的关系称为同一关系之间的关系称为同一关系之间的关系称为同一关系之间的关系称为同一关系.第11页/共46页第十二页，共46页。例如，例如，例如，例如，“直线直线直线直线”与与与与“一次函数的图像一次函数的图像一次函数的图像一次函数的图像”这两个概念，虽然它们这两个概念，虽然它们这两个概念，虽然它们这两个概念，虽然它们是从不同的角度来说明问题的是从不同的角度来说明问题的是从不同的角度来说明问题的是从不同的角度来说明问题的,但是但是但是但是,它们的外延完全重合它们的外延完全重合它们的外延完全重合它们的外延完全重合(chngh),(chngh),是指同一类对象。是指同一类对象。是指同一类对象。是指同一类对象。又比如又比如又比如又比如,“,“等腰三角形底边上的中线等腰三角形底边上的中线等腰三角形底边上的中线等腰三角形底边上的中线”与与与与“等腰三角形底边上等腰三角形底边上等腰三角形底边上等腰三角形底边上的高的高的高的高”；“等边的矩形等边的矩形等边的矩形等边的矩形”与与与与“直角的菱形直角的菱形直角的菱形直角的菱形”；在同一个圆中；在同一个圆中；在同一个圆中；在同一个圆中“直径直径直径直径”与与与与“最大的弦最大的弦最大的弦最大的弦”等等等等,它们之间的关系都是同一关系。它们之间的关系都是同一关系。它们之间的关系都是同一关系。它们之间的关系都是同一关系。在同一个思维过程中在同一个思维过程中在同一个思维过程中在同一个思维过程中,具有同一关系的两个概念可以相互代替使具有同一关系的两个概念可以相互代替使具有同一关系的两个概念可以相互代替使具有同一关系的两个概念可以相互代替使用用用用.第12页/共46页第十三页，共46页。2.2.2.2.交叉关系（交叉关系（交叉关系（交叉关系（IntersectionIntersectionIntersectionIntersection）外延只有一部分重合外延只有一部分重合外延只有一部分重合外延只有一部分重合(chngh)(chngh)(chngh)(chngh)的两个概念的两个概念的两个概念的两个概念A A A A和和和和B B B B之间的关系，称为交叉关系之间的关系，称为交叉关系之间的关系，称为交叉关系之间的关系，称为交叉关系.这两个概念这两个概念这两个概念这两个概念称为交叉概念。称为交叉概念。称为交叉概念。称为交叉概念。例如例如例如例如,“,“,“,“等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形”与与与与“直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形”、“负数负数负数负数”与与与与“整数整数整数整数”、“菱形菱形菱形菱形”与与与与“矩形矩形矩形矩形”等概念等概念等概念等概念之间的关系都是交叉关系。具有交叉关系的之间的关系都是交叉关系。具有交叉关系的之间的关系都是交叉关系。具有交叉关系的之间的关系都是交叉关系。具有交叉关系的两个概念是可以互相说明的两个概念是可以互相说明的两个概念是可以互相说明的两个概念是可以互相说明的,但是但是但是但是,必须用必须用必须用必须用“有些有些有些有些”两字来限制两字来限制两字来限制两字来限制,否则就错了。例如否则就错了。例如否则就错了。例如否则就错了。例如,我们我们我们我们可以说可以说可以说可以说“有些整数是负数有些整数是负数有些整数是负数有些整数是负数”，也可以说，也可以说，也可以说，也可以说“有有有有些负数是整数些负数是整数些负数是整数些负数是整数”；却不能说；却不能说；却不能说；却不能说“整数是负数整数是负数整数是负数整数是负数”,”,”,”,也不能说也不能说也不能说也不能说“负数是整数负数是整数负数是整数负数是整数”。第13页/共46页第十四页，共46页。3.3.从属关系（从属关系（InclusionInclusion）如果如果A A概念的外延包含概念的外延包含B B概念的外概念的外延延,那么这两个概念间的关系称为那么这两个概念间的关系称为从属关系从属关系.其中其中(qzhng)(qzhng)，A A概念叫做概念叫做B B概念的概念的属概念属概念(或上位概念或上位概念).).B B概念叫做概念叫做A A概念的种概念概念的种概念(或下位概念或下位概念).).第14页/共46页第十五页，共46页。例如例如例如例如,“,“复数复数复数复数”、“实数实数实数实数”、“有理数有理数有理数有理数”、“整数整数整数整数”它们之间的关它们之间的关它们之间的关它们之间的关系是从属关系。系是从属关系。系是从属关系。系是从属关系。“复数复数复数复数”、“实数实数实数实数”、“有理数有理数有理数有理数”都是都是都是都是“整数整数整数整数”的属概念的属概念的属概念的属概念.“整数整数整数整数”的三个属概念中，其内涵与整数概念之差最小的是的三个属概念中，其内涵与整数概念之差最小的是的三个属概念中，其内涵与整数概念之差最小的是的三个属概念中，其内涵与整数概念之差最小的是“有有有有理数理数理数理数”，我们称，我们称，我们称，我们称“有理数有理数有理数有理数”为为为为“整数整数整数整数”的最邻近的属概念。的最邻近的属概念。的最邻近的属概念。的最邻近的属概念。注意一：属、种概念具有相对性。注意一：属、种概念具有相对性。注意一：属、种概念具有相对性。注意一：属、种概念具有相对性。例如例如例如例如,对对对对“整数整数整数整数”来说，来说，来说，来说，“有理数有理数有理数有理数”是属概念是属概念是属概念是属概念,对对对对“实数实数实数实数”来说，来说，来说，来说，“有理数有理数有理数有理数”是种概念是种概念是种概念是种概念;注意二：要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有注意二：要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有注意二：要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有注意二：要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然(brn)(brn)。例如例如例如例如,“,“对数对数对数对数”与它的与它的与它的与它的“首数首数首数首数”、“尾数尾数尾数尾数”之间的关系是全体与部之间的关系是全体与部之间的关系是全体与部之间的关系是全体与部分的关系，但不是从属关系。分的关系，但不是从属关系。分的关系，但不是从属关系。分的关系，但不是从属关系。第15页/共46页第十六页，共46页。（二）不相容关系（二）不相容关系（二）不相容关系（二）不相容关系（Exclusive relationExclusive relationExclusive relationExclusive relation）外延互相排斥外延互相排斥外延互相排斥外延互相排斥(没有公共部分没有公共部分没有公共部分没有公共部分(b fen)(b fen)(b fen)(b fen)的两个概念之间的两个概念之间的两个概念之间的两个概念之间的关系称为不相容关系的关系称为不相容关系的关系称为不相容关系的关系称为不相容关系,这两个概念称为不相容概念。这两个概念称为不相容概念。这两个概念称为不相容概念。这两个概念称为不相容概念。不相容关系分为对立、矛盾关系两种。不相容关系分为对立、矛盾关系两种。不相容关系分为对立、矛盾关系两种。不相容关系分为对立、矛盾关系两种。1.1.1.1.对立关系对立关系对立关系对立关系(反对关系反对关系反对关系反对关系Contrariety)Contrariety)Contrariety)Contrariety)如果某一概念的两个种概念如果某一概念的两个种概念如果某一概念的两个种概念如果某一概念的两个种概念A A A A和和和和B,B,B,B,其外延是互相排斥的其外延是互相排斥的其外延是互相排斥的其外延是互相排斥的,且这两个种概念外延之和小于它们最邻近的属概念的外延且这两个种概念外延之和小于它们最邻近的属概念的外延且这两个种概念外延之和小于它们最邻近的属概念的外延且这两个种概念外延之和小于它们最邻近的属概念的外延,那么这两个种概念那么这两个种概念那么这两个种概念那么这两个种概念A A A A和和和和B B B B之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系称为对立关系，称为对立关系，称为对立关系，称为对立关系，这两个种概念称为对立概念。这两个种概念称为对立概念。这两个种概念称为对立概念。这两个种概念称为对立概念。第16页/共46页第十七页，共46页。例如例如例如例如,“,“正数正数正数正数”与与与与“负数负数负数负数”是对立关系的两个概念是对立关系的两个概念是对立关系的两个概念是对立关系的两个概念,因为它们的因为它们的因为它们的因为它们的外延互相排斥外延互相排斥外延互相排斥外延互相排斥(pich),(pich),其外延之和小于它们最邻近的属其外延之和小于它们最邻近的属其外延之和小于它们最邻近的属其外延之和小于它们最邻近的属概念概念概念概念“实数实数实数实数”的外延。的外延。的外延。的外延。又如又如又如又如,“,“大于大于大于大于”与与与与“小于小于小于小于”、“锐角三角形锐角三角形锐角三角形锐角三角形”与与与与“钝角三角形钝角三角形钝角三角形钝角三角形”、“质数质数质数质数”与与与与“合数合数合数合数”、“等腰梯形等腰梯形等腰梯形等腰梯形”与与与与“直角梯形直角梯形直角梯形直角梯形”等概念的关系都是对立关系等概念的关系都是对立关系等概念的关系都是对立关系等概念的关系都是对立关系.第17页/共46页第十八页，共46页。2.2.矛盾关系矛盾关系(gun(gun x)x)（ContradictionContradiction）如果某一概念的两个种概念如果某一概念的两个种概念A A和和B,B,其其外延是相互排斥的外延是相互排斥的,且这两个种概且这两个种概念外延之和等于它们最邻近的属念外延之和等于它们最邻近的属概念的外延概念的外延,那么这两个种概念那么这两个种概念A A和和B B之间的关系之间的关系(gun x)(gun x)称为矛称为矛盾关系盾关系(gun x).(gun x).这两个种概念这两个种概念称为矛盾概念。称为矛盾概念。例如例如,“,“负数负数”与与“非负数非负数”、“实实数数”与与“虚数虚数”、“有理数有理数”与与“无理数无理数”、“直角三角形直角三角形”与与“非直角三角形非直角三角形”、“相等相等”与与“不相等不相等”等概念之间的关系等概念之间的关系(gun x)(gun x)都是矛盾关系都是矛盾关系(gun(gun x)x)。第18页/共46页第十九页，共46页。掌握了概念间的关系掌握了概念间的关系,有助于加深有助于加深理解概念理解概念,正确地使用概念正确地使用概念,避免避免出现概念或判断上的逻辑错误。出现概念或判断上的逻辑错误。例如例如,“因为数因为数a不是正数不是正数,所以所以(suy)数数a一定是负数一定是负数”,这一论这一论断是错误的。因为断是错误的。因为“正数正数”与与“负数负数”是对立的概念是对立的概念,不是矛盾的不是矛盾的概念概念,在实数的外延中除了正负数在实数的外延中除了正负数外外,还有数零。又如还有数零。又如,“a不大于不大于b,即即ab”这是错误的。因为这是错误的。因为“不大不大于于”与与“小于小于”不是矛盾关系不是矛盾关系.第19页/共46页第二十页，共46页。四、概念的定义四、概念的定义（一）什么是定义（一）什么是定义定义是揭示概念内涵的逻辑方法定义是揭示概念内涵的逻辑方法,即即列举概念的充分和必要的属性，列举概念的充分和必要的属性，并把它们总结成一个连贯的句子并把它们总结成一个连贯的句子(j zi)（语句或用符号表示的句子（语句或用符号表示的句子(j zi)）。）。定义中的每一个属性对于确定的概念定义中的每一个属性对于确定的概念来说，都应当是必要的，而所有来说，都应当是必要的，而所有属性加到一起应当是充分的。属性加到一起应当是充分的。定义应当揭示概念的基本内涵，它不定义应当揭示概念的基本内涵，它不应当有多余的词，也不应当有遗应当有多余的词，也不应当有遗漏。例如漏。例如“正方形是正方形是”“四个角都是直角四个角都是直角的平行四边形的平行四边形”/“有一个角是有一个角是直角的菱形直角的菱形”/“各边相等而且各边相等而且四个都是直角的平行四边形四个都是直角的平行四边形”在定义某概念的过程中得到的一串概在定义某概念的过程中得到的一串概念，从第二个起，每一个都是前念，从第二个起，每一个都是前一个的种概念，这样追到了初始一个的种概念，这样追到了初始概念：不定义概念。概念：不定义概念。第20页/共46页第二十一页，共46页。（二）定义的构成与形式（二）定义的构成与形式（二）定义的构成与形式（二）定义的构成与形式 1.1.1.1.定义的构成定义的构成定义的构成定义的构成被定义的概念被定义的概念被定义的概念被定义的概念+下定义的概念下定义的概念下定义的概念下定义的概念+联系词联系词联系词联系词 被定义的概念是其内涵被定义的概念是其内涵被定义的概念是其内涵被定义的概念是其内涵(nihn)(nihn)(nihn)(nihn)被揭示的概念被揭示的概念被揭示的概念被揭示的概念,而下定义的概而下定义的概而下定义的概而下定义的概念念念念是用以揭示被定义概念内涵是用以揭示被定义概念内涵是用以揭示被定义概念内涵是用以揭示被定义概念内涵(nihn)(nihn)(nihn)(nihn)的概念的概念的概念的概念,联系词一般使用联系词一般使用联系词一般使用联系词一般使用是是是是、叫做叫做叫做叫做,表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系,其其其其作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。例如例如例如例如,“,“,“,“邻边相等的矩形是正方形邻边相等的矩形是正方形邻边相等的矩形是正方形邻边相等的矩形是正方形”是正方形的一种定义是正方形的一种定义是正方形的一种定义是正方形的一种定义,在这个定义中在这个定义中在这个定义中在这个定义中,“,“,“,“正方形正方形正方形正方形”是被定义概念是被定义概念是被定义概念是被定义概念,“,“,“,“邻边相等的矩形邻边相等的矩形邻边相等的矩形邻边相等的矩形”是下定义的概念是下定义的概念是下定义的概念是下定义的概念,“,“,“,“是是是是”是联系词。是联系词。是联系词。是联系词。第21页/共46页第二十二页，共46页。2.2.定义的形式定义的形式定义的形式定义的形式注：定义的表达形式也有多种情况注：定义的表达形式也有多种情况注：定义的表达形式也有多种情况注：定义的表达形式也有多种情况(qngkung)(qngkung)，除了上述：，除了上述：，除了上述：，除了上述：“DP“DP叫做叫做叫做叫做DS”DS”，其他如：，其他如：，其他如：，其他如：“DS“DS就是就是就是就是DP”DP”，“DS“DS等于等于等于等于DP”DP”，“DS“DS当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当DP”DP”，“DP“DP叫做叫做叫做叫做DS”DS”，“DP“DP称为称为称为称为DS”DS”等等等等等。例如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。等。例如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。等。例如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。等。例如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。定义项（Dp）被定义项（Ds）定义联项，叫做，叫做第22页/共46页第二十三页，共46页。（二）（二）给数学概念下定义的方法给数学概念下定义的方法1.“属属+种差种差(zhn ch)”式定义式定义给数学概念下定义常用给数学概念下定义常用“属（类）属（类）+种差种差(zhn ch)”的方式，即实质的方式，即实质定义。其公式为：定义。其公式为：属（类）属（类）+种差种差(zhn ch)=被定义项被定义项例如：例如：“邻边相等邻边相等”的的“平行四边平行四边形形”叫做叫做“菱形菱形”；“按一定顺序排列按一定顺序排列”的的“一列一列数数”叫做叫做“数列数列”；“无限不循环无限不循环”的的“小数小数”叫叫做做“无理数无理数”；由此可见，用属加种差由此可见，用属加种差(zhn ch)下下定义，需要做好两方面的工作：定义，需要做好两方面的工作：一是找出被定义概念的最邻近的属；一是找出被定义概念的最邻近的属；二是确定种差二是确定种差(zhn ch)，即找出被，即找出被定义概念与同一属中其他种概念定义概念与同一属中其他种概念之间的差别。之间的差别。第23页/共46页第二十四页，共46页。以事物的发生和形成过程作为种差以事物的发生和形成过程作为种差以事物的发生和形成过程作为种差以事物的发生和形成过程作为种差2.2.发生式定义发生式定义发生式定义发生式定义“平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆”；“我们在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，我们在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，我们在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，我们在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。组成平面直角坐标系。组成平面直角坐标系。组成平面直角坐标系。”发生式定义通过描述被定义概念所反映对象的产生或发生式定义通过描述被定义概念所反映对象的产生或发生式定义通过描述被定义概念所反映对象的产生或发生式定义通过描述被定义概念所反映对象的产生或形成过程的特征来揭示被定义概念本质属性的定义形成过程的特征来揭示被定义概念本质属性的定义形成过程的特征来揭示被定义概念本质属性的定义形成过程的特征来揭示被定义概念本质属性的定义方法方法方法方法.以事物间的关系作为种差以事物间的关系作为种差以事物间的关系作为种差以事物间的关系作为种差3.3.关系式定义关系式定义关系式定义关系式定义”能被能被能被能被2 2整除的数叫做偶数整除的数叫做偶数整除的数叫做偶数整除的数叫做偶数“；”经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆“。以事物的本质结构作为种差以事物的本质结构作为种差以事物的本质结构作为种差以事物的本质结构作为种差4.4.形式式定义形式式定义形式式定义形式式定义“形如形如形如形如y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c（其中（其中（其中（其中(qzhng)a(qzhng)a、b b、c c是常是常是常是常数，数，数，数，a a不等于不等于不等于不等于0 0）的函数叫做二次函数。）的函数叫做二次函数。）的函数叫做二次函数。）的函数叫做二次函数。”第24页/共46页第二十五页，共46页。5.5.5.5.外延式定义外延式定义外延式定义外延式定义”有理数和无理数统称实数有理数和无理数统称实数有理数和无理数统称实数有理数和无理数统称实数“；”圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线“。6.6.6.6.约定式定义约定式定义约定式定义约定式定义”对于非零实数对于非零实数对于非零实数对于非零实数a a a a及正整数及正整数及正整数及正整数n n n n，规定，规定，规定，规定a0=1a0=1a0=1a0=1，a-n=1an a-n=1an a-n=1an a-n=1an，a0 a0 a0 a0，a-na-na-na-n分分分分别叫做零次幂和负整数指数幂别叫做零次幂和负整数指数幂别叫做零次幂和负整数指数幂别叫做零次幂和负整数指数幂“。7.7.7.7.递归式定义递归式定义递归式定义递归式定义”对一切自然数对一切自然数对一切自然数对一切自然数n n n n，均有，均有，均有，均有an=an-1+dan=an-1+dan=an-1+dan=an-1+d（d d d d是常数）成立是常数）成立是常数）成立是常数）成立(chngl)(chngl)(chngl)(chngl)，这个，这个，这个，这个数列称为等差数列数列称为等差数列数列称为等差数列数列称为等差数列“。8.8.8.8.公理式定义公理式定义公理式定义公理式定义9.9.9.9.通过抽象（或称描述式定义）通过抽象（或称描述式定义）通过抽象（或称描述式定义）通过抽象（或称描述式定义）