土木工程测量测量误差的基本知识PPT.pptx

土木工程土木工程(tm gngchng)测量测量误测量测量误差的基本知识差的基本知识PPT课件课件第一页，共45页。对未知量进行测量的过程，称为观测。测量所获得的数值称为观测对未知量进行测量的过程，称为观测。测量所获得的数值称为观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现(bioxin)(bioxin)为观测值与其真实值为观测值与其真实值(简称为真值简称为真值)之间的差异，这种差异称为之间的差异，这种差异称为测量误差测量误差 或或 观测误差。观测误差。5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.1 5.1.1 观测及观测误差观测及观测误差观测观测(gunc)(gunc)观测观测(gunc)(gunc)值值真实值真实值测量误差测量误差观测误差观测误差用用L Li i代表观测值，代表观测值，X X代表真值，则有代表真值，则有i i=L=Li i-X-X(5-1)(5-1)式中式中i i就是就是观测误差观测误差，通常称为，通常称为 真误差真误差，简称误差。，简称误差。i i=L=Li i-X-X(5-1)(5-1)真误差真误差一般情况下，只要是观测值必然含有误差。一般情况下，只要是观测值必然含有误差。第1页/共45页第二页，共45页。观测误差来源于三个方面：观测误差来源于三个方面：观测者视觉鉴别能力和技术水平；观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器仪器(yq)(yq)、工具的精密程度；、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。观测时外界条件的好坏。三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。的各次观测，称为非等精度观测。5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.2 5.1.2 观测误差的来源观测误差的来源观测观测(gunc)(gunc)条件条件一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近于零。一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近于零。在实际生产中，据不同的测量目的在实际生产中，据不同的测量目的(md)(md)，允许含有一定程度的误差，允许含有一定程度的误差第2页/共45页第三页，共45页。根根据据(gnj)(gnj)性性质质不不同同，观观测测误误差差可可分分为为粗粗差差、系系统统误误差差和和偶偶然然误误差差三三种，即种，即=1+2+3=1+2+3 (5-(5-2)2)5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法粗粗差差是是一一种种大大级级量量的的观观测测误误差差，例例如如超超限限的的观观测测值值中中往往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。往往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。产产生生的的原原因因：疏疏忽忽大大意意、失失职职；仪仪器器自自身身或或受受外外界界干干扰扰发发生生故障等。故障等。含含有有粗粗差差的的观观测测值值都都不不能能使使用用。在在观观测测中中应应尽尽量量避避免免出出现现粗粗差差，发发现现(fxin)(fxin)粗粗差差的的有有效效方方法法是是，进进行行必必要要的的重重复复观观测测，通通过过多余观测条件，采用必要而又严密的检核、验算等。多余观测条件，采用必要而又严密的检核、验算等。=1 1+2 2+3 3 (5-2)(5-2)第3页/共45页第四页，共45页。系统误差系统误差在一定的观测条件下进行在一定的观测条件下进行(jnxng)(jnxng)一系列观测时，一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法在测量工作中，应尽量在测量工作中，应尽量(jnling)(jnling)设法消除和减小系统误差。设法消除和减小系统误差。方法有：方法有：在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前统误差的影响。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后视视距差等。后视视距差等。找出产生找出产生(chnshng)(chnshng)系统误差的原因和规律，对观测值进行系系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对统误差的改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖直角进行指标差改正等。竖直角进行指标差改正等。将系统误差限制在允许范围内将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改正，。有的系统误差既不便计算改正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管水准器水准器轴轴不垂直于不垂直于仪器竖轴仪器竖轴的误差对水平角的影响，对于这类系统误差，则只能按的误差对水平角的影响，对于这类系统误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细整平将其影响减小到允许范规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细整平将其影响减小到允许范围内。围内。第4页/共45页第五页，共45页。偶然误差偶然误差在一定的观测条件下，对某量进行在一定的观测条件下，对某量进行(jnxng)(jnxng)一系列观测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶一系列观测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。然误差。5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以(nny)(nny)控制的，如观控制的，如观测者的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也会测者的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。产生偶然误差。粗差可以发现并被剔除，系统误差能够加以粗差可以发现并被剔除，系统误差能够加以(jiy)(jiy)改正，改正，而偶然误差是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了粗差和而偶然误差是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了粗差和系统误差的观测值中占主导地位系统误差的观测值中占主导地位从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。性越明显。例如某一测区在相同观测条件下观测了例如某一测区在相同观测条件下观测了358358个三角形的全部内角。由于个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值180(180(表表5-1)5-1)第5页/共45页第六页，共45页。5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法第6页/共45页第七页，共45页。5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法从表从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差比大误中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差比大误差出现的频率差出现的频率(pnl)高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率(pnl)相近，最大误差不超过相近，最大误差不超过24。统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：特性特性1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。超过一定的限值。(范围范围)特性特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。的频率小。(绝对值大小绝对值大小)特性特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号符号)特性特性4 当观测次数当观测次数(csh)无限增多时，偶然误差平均值的极限无限增多时，偶然误差平均值的极限为为0，即，即(抵偿性抵偿性)(5-3)本章此处及以后本章此处及以后“”表示取括号中下标变量的代数和，即表示取括号中下标变量的代数和，即i=(5-3)第7页/共45页第八页，共45页。5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据，以误的数据，以误差大小为横坐标，以频率差大小为横坐标，以频率k/n与区间与区间(q jin)d的比值为纵坐标，如图的比值为纵坐标，如图5-1所所示。这种图称为频率直方图。示。这种图称为频率直方图。第8页/共45页第九页，共45页。5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法可以设想，当误差个数可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间，同时又无限缩小误差区间d，图，图5-1中各矩中各矩形的顶边折线就成为形的顶边折线就成为(chngwi)一条光滑的曲线，如图一条光滑的曲线，如图5-2所示。该曲线称为误所示。该曲线称为误差分布曲线。差分布曲线。其函数其函数(hnsh)式为：式为：(5-4)即正态分布曲线上任即正态分布曲线上任(shng rn)一点的纵坐标一点的纵坐标y均为均为横坐标横坐标的函数。标准差大小反的函数。标准差大小反映观测精度的高低，定义为：映观测精度的高低，定义为：(5-5)上式可知，上式可知，的大小决定的大小决定于一定条件下偶然误差出现于一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。的绝对值的大小。第9页/共45页第十页，共45页。5.1 观测误差概述观测误差概述观测误差概述观测误差概述5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法在图在图5-1中各矩形的中各矩形的面积是频率面积是频率k/n。由概率。由概率统计统计(tngj)可知，频可知，频率率k/n就是真误差出现在就是真误差出现在区间区间d上的概率上的概率p()(图图5-2)，记为：，记为：(5-6)式式(5-4)和式和式(5-6)中中f()是误差是误差(wch)分布的概率的概率密度函分布的概率的概率密度函数，简称密度函数。数，简称密度函数。第10页/共45页第十一页，共45页。5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一种误差在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都具有同样的精度。为了衡量观分布，因此，这一组中的每一个观测值，都具有同样的精度。为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法，绘出频率直方图或误差分布表测值的精度高低，显然可以用前一节方法，绘出频率直方图或误差分布表加以分析来衡量。但这样做实际应用十分不便，又缺乏一个简单的关于精加以分析来衡量。但这样做实际应用十分不便，又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个度的数值概念。这个(zh ge)数值应该能反映误差分布的密集或离散程度，数值应该能反映误差分布的密集或离散程度，即应反映其离散度的大小，作为衡量精度的指标。即应反映其离散度的大小，作为衡量精度的指标。下面介绍几种常用的衡量精度的指标。下面介绍几种常用的衡量精度的指标。第11页/共45页第十二页，共45页。5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.1 5.2.1 中中 误误 差差由式由式(5-5)定义的标准差是衡量精度的一种标准，但那是理论定义的标准差是衡量精度的一种标准，但那是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能上的表达式。在测量实践中观测次数不可能(knng)无限多，因此无限多，因此实际应用中定义中误差实际应用中定义中误差m作为衡量精度的一种标准：作为衡量精度的一种标准：(5-7)在式在式(5-4)中，当中，当=0时，以时，以中误差中误差(wch)m代替标准差代替标准差（图（图53）(5-4)第12页/共45页第十三页，共45页。5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.1 5.2.1 中中 误误 差差因此因此(ync)在一组观测值中，当小误差比较集中时，在一组观测值中，当小误差比较集中时，m1较小，较小，则曲线形状较陡峭，如图则曲线形状较陡峭，如图5-3中中f1()，表示该组观测精度较高；，表示该组观测精度较高；f2()的的曲线形状较平缓，其误差分布比较离散，曲线形状较平缓，其误差分布比较离散，m2较大，表明该组观测精度较大，表明该组观测精度低。低。如果令如果令f()的二阶导数等于的二阶导数等于(dngy)0，可求得曲线拐点的横坐标：，可求得曲线拐点的横坐标：=m也就是说，中误差的几何意义即为偶然误差分布(fnb)曲线两个拐点的横坐标。=m (5-8)第13页/共45页第十四页，共45页。5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.2 5.2.2 相相 对对 误误 差差中误差和真误差都是绝对误差。在衡量观测值精度时，单纯用绝对误中误差和真误差都是绝对误差。在衡量观测值精度时，单纯用绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为100m和和200m的的两段距离，中误差皆为两段距离，中误差皆为0.02m。显然不能认为两段距离测量精度相同。为。显然不能认为两段距离测量精度相同。为了客观了客观(kgun)地反映实际精度，必须引入相对误差的概念。相对误差地反映实际精度，必须引入相对误差的概念。相对误差K是误差是误差m的绝对值与观测值的绝对值与观测值D的比值：的比值：(5-9)上式中当上式中当m为中误差时，为中误差时，K称为相对中误差。称为相对中误差。在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检核在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检核(jin h)。相对较差定义为：。相对较差定义为：(5-10)相对相对(xingdu)较差是相对较差是相对(xingdu)真误差，它反映往返真误差，它反映往返测量的符合程度。测量的符合程度。第14页/共45页第十五页，共45页。5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.3 5.2.3 极限极限 误误 差和容许误差差和容许误差极限误差极限误差由偶然误差的特性由偶然误差的特性1可知，在一定的观测可知，在一定的观测(gunc)条件下，偶然条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。标准误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。标准差或中误差是衡量观测差或中误差是衡量观测(gunc)精度的指标，它不能代表个别观测精度的指标，它不能代表个别观测(gunc)值真误差的大小，但从统计意义来讲，它们却存在着一定值真误差的大小，但从统计意义来讲，它们却存在着一定的联系。根据式的联系。根据式(5-4)和式和式(5-6)有：有：表示真误差落在表示真误差落在(-，+)内的概率内的概率(gil)等于等于0.683。同理可得：同理可得：(5-11)(5-12)(5-13)(5-4)(5-6)第15页/共45页第十六页，共45页。5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.3 5.2.3 极限极限 误误 差和容许误差差和容许误差极限极限(jxin)误差误差上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差在上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差在范围以外范围以外(ywi)的个数约占误差总数的的个数约占误差总数的32%；在；在2范围以外范围以外(ywi)的个数约占的个数约占4.5%；在；在3范围以外范围以外(ywi)的个数只占的个数只占0.3%。绝对值大于绝对值大于3的真误差出现的概率很小，因此的真误差出现的概率很小，因此(ync)可以认为可以认为3是真误是真误差实际出现的极限，即差实际出现的极限，即3是极限误差：是极限误差：极限极限=3(5-14)极限极限=3(5-14)第16页/共45页第十七页，共45页。5.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准5.2.3 5.2.3 极限极限 误误 差和容许误差差和容许误差容许容许(rngx)误差误差测量实践中，是在极限测量实践中，是在极限(jxin)误差范围内利用容许误差对偶然误差误差范围内利用容许误差对偶然误差的大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以的大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以2倍或倍或3倍中误差倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即容容=22m(5-15)或或容容=33m(5-16)容容=22m(5-15)容容=33m(5-16)前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠然误差，则认为该观测值不可靠(kko)，应舍去不用，并重测。，应舍去不用，并重测。第17页/共45页第十八页，共45页。5.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律律律律前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于未知量不可能或不便于(biny)直接进行观测，而需要由另一些直直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪，并用经纬仪测量竖直角测量竖直角，以函数关系，以函数关系D=Scos来推算。显然，在此情况下，来推算。显然，在此情况下，函数函数D的中误差与观测值的中误差与观测值S及及的中误差之间，必定有一定的关系。的中误差之间，必定有一定的关系。阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。设有一般函数设有一般函数Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17)式中式中X1、X2、，Xn为可直接观测的未知量；为可直接观测的未知量；Z为不便于直接为不便于直接观测的未知量。观测的未知量。其中函数其中函数Z的中误差为的中误差为mZ，各独立，各独立(dl)变量变量X1、X2，Xn对对应的观测值中误差分别为应的观测值中误差分别为m1,m2,mn，如果知道了，如果知道了mz与与mi之间的关之间的关系，就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观系，就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观测值中误差与共函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律。测值中误差与共函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律。Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17)第18页/共45页第十九页，共45页。5.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律律律律设设xi(i=1、2、n)的独立观测值为的独立观测值为 li,其相应其相应(xingyng)的真的真误差为误差为xi。由于。由于xi的存在，使函数的存在，使函数Z亦产生相应亦产生相应(xingyng)的真误的真误差差Z。将。将(5-17)取全微分取全微分因误差因误差xi及及Z都很小，故在上式中，可近似用都很小，故在上式中，可近似用xi及及Z代替代替(dit)dx及及dz，于是有，于是有式中式中 为函数为函数f对各自变量对各自变量(binling)的偏导数。将的偏导数。将xi=li代入各偏导数中，即为确定的常数，设代入各偏导数中，即为确定的常数，设则上式可写成则上式可写成Z=f1x1+f2x2+fnxn为了求得函数和观测值之间的为了求得函数和观测值之间的中误差关系式中误差关系式，设想对各，设想对各xi进行了进行了k次观测，则可写出次观测，则可写出k个类似上式的关系式个类似上式的关系式Z=f1x1+f2x2+fnxn第19页/共45页第二十页，共45页。5.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律律律律将上式各式等号两边将上式各式等号两边(lingbin)平方后，再相加，得平方后，再相加，得上式两端上式两端(lin dun)各除以各除以k第20页/共45页第二十一页，共45页。5.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律律律律设对各设对各xi的观测的观测(gunc)值值li为彼此独立的观测为彼此独立的观测(gunc)，则，则xixj当当ij时，亦为偶然误差。根据偶然误差的特性时，亦为偶然误差。根据偶然误差的特性 4 可知，上式可知，上式末项当末项当k时趋近于零，即时趋近于零，即故故根据根据(gnj)中误差（标准差）的定义（中误差（标准差）的定义（5-5)，上式可写成，上式可写成当当k为有限为有限(yuxin)值时，值时，可写为：可写为：第21页/共45页第二十二页，共45页。5.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律律律律上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：各观测值是相互独立的变量各观测值是相互独立的变量(binling)，而当，而当li为未知量为未知量xi的直接的直接观测值时，可认为各观测值时，可认为各li之间满足相互独立的条件。之间满足相互独立的条件。利用它不难导出表利用它不难导出表5-2所列简单函数的误差传播定律。所列简单函数的误差传播定律。(5-26)第22页/共45页第二十三页，共45页。5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差等精度直接观测平差等精度直接观测平差除了标准实体，自然界中任何单个未知量除了标准实体，自然界中任何单个未知量(如某一角度，某一如某一角度，某一长度等长度等)的真值都是无法确知的，只有通过重复观测，才能对其作的真值都是无法确知的，只有通过重复观测，才能对其作出可靠的估计。在测量中，重复测量的目的还在于提高观测成果的出可靠的估计。在测量中，重复测量的目的还在于提高观测成果的精度，同时也为了发现精度，同时也为了发现(fxin)和消除粗差。和消除粗差。重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产生了重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准则，采用观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准则，采用(ciyng)适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的调整，适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的调整，给以适当的改正，从而求得观测值的最佳估值，同时对观测进行质量评估。给以适当的改正，从而求得观测值的最佳估值，同时对观测进行质量评估。人们把这一数据处理的过程称作测量平差。人们把这一数据处理的过程称作测量平差。对一个未知量的直接对一个未知量的直接(zhji)观测值进行平差，称为直接观测值进行平差，称为直接(zhji)观测平差。据观测条件，有等精度直接观测平差。据观测条件，有等精度直接(zhji)观测平差和观测平差和不等精度直接不等精度直接(zhji)观测平差。平差结果是得到未知量最可靠的估观测平差。平差结果是得到未知量最可靠的估值值(最可靠值最可靠值)，最接近其真值，称为，最接近其真值，称为“最或是值最或是值”。测量平差测量平差直接观测平差直接观测平差最或是值最或是值第23页/共45页第二十四页，共45页。5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差等精度直接观测平差等精度直接观测平差在等精度直接观测在等精度直接观测(gunc)平差中，观测平差中，观测(gunc)值的算术平均值是未值的算术平均值是未知量的最或是值。知量的最或是值。即即x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5-27)5.4.1 5.4.1 求求 最最 或或 是是 值值x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5-27)观测观测(gunc)值与最或是值之差，称为值与最或是值之差，称为“最或是误差最或是误差”，用符号，用符号vi(i=1,2,n)来表示。来表示。Vi=li-x (i=1,2,n)(5-28)将将n 个最或是误差个最或是误差vi相加，有：相加，有：v=l-nx=0(5-29)即最或是误差的总和为即最或是误差的总和为0。式。式(5-29)可以用作计算中的检核，若可以用作计算中的检核，若vi值值计算无误，其总和必然为计算无误，其总和必然为0。显然当观测。显然当观测(gunc)次数次数n时，时，vi=i（真（真误差）。误差）。Vi=li-x (i=1,2,n)(5-28)v=l-nx=0(5-29)第24页/共45页第二十五页，共45页。5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差等精度直接观测平差等精度直接观测平差观测观测(gunc)值中误差值中误差由于独立观测中单个未知量的真值由于独立观测中单个未知量的真值X是无法确知的，因此真是无法确知的，因此真误差误差i也是未知的，所以不能直接应用也是未知的，所以不能直接应用(yngyng)(5-7)求得中误求得中误差。但可用有限个等精度观测值差。但可用有限个等精度观测值li求出最或是值求出最或是值x后，再按公式后，再按公式(5-28)计算最或是误差，用最或是误差计算最或是误差，用最或是误差vi计算观测值的中误差。公式计算观测值的中误差。公式推导从略。推导从略。5.4.2 5.4.2 评评 定定 精精 度度(5-34)式式(5-34)是等精度观测中用最或是误差是等精度观测中用最或是误差(wch)计算中计算中误差误差(wch)的公式。的公式。第25页/共45页第二十六页，共45页。5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差等精度直接观测平差等精度直接观测平差最或是最或是(hu sh)值的中误差值的中误差设对某量进行设对某量进行n次等精度观测次等精度观测(gunc)，观测，观测(gunc)值为值为l1,l2,，ln,中误差为中误差为m。最或是值。最或是值x 的中误差的中误差M的计算公式推导如下：的计算公式推导如下：5.4.2 5.4.2 评评 定定 精精 度度根据根据(gnj)误差传播定律，有：误差传播定律，有：(5-35)(5-36)所所以以(5-37)顾及式顾及式(5-34)，算术平均值的中误差也可表达如下：，算术平均值的中误差也可表达如下：(5-38)第26页/共45页第二十七页，共45页。5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也各不相同，在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可靠估值时，就不能像等各观测值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可靠估值时，就不能像等精度观测那样精度观测那样(nyng)简单地取算术平均值，因为较可靠的观测值，应对最简单地取算术平均值，因为较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。后结果产生较大的影响。不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值“权权”的数值来表的数值来表示。示。“权权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例如，是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是等精度对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了的。设第一组观测了4次，其观测值为次，其观测值为l1、l2、l3、l4；第二组观测了；第二组观测了3次，观测值为次，观测值为l1、l2、l3。这些观测值的可靠程度都相同，每组分别。这些观测值的可靠程度都相同，每组分别取算术平均值作为取算术平均值作为(zuwi)最后观测结果，即最后观测结果，即(5-39)第27页/共45页第二十八页，共45页。5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差对于观测对于观测(gunc)值值L1、L2来说，彼此是不等精度观测来说，彼此是不等精度观测(gunc)，故最后结果应为：故最后结果应为：(5-40)权只有权只有(zhyu)相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比值，权通常用字母值，权通常用字母 p表示，且恒取正值。表示，且恒取正值。第28页/共45页第二十九页，共45页。5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此(ync)，也可根据中误差，也可根据中误差来定义观测值的权。来定义观测值的权。5.5.1 5.5.1 权与中误差的关系权与中误差的关系设设n个不等精度观测观测值的中误差个不等精度观测观测值的中误差(wch)分别为分别为m1，m2，mn，则权可以用下式来定义：，则权可以用下式来定义：其中其中可取为任意可取为任意(rny)正常数。正常数。(5-42)前面所举的例子，前面所举的例子，l1、l2、l3、l4和和l1、l2、l3是等精度观测，是等精度观测，观测观测值的中误差为值的中误差为m，则第，则第1组的组的算术平均值算术平均值L1的中误差的中误差m1可以根据式可以根据式(5-37)得：得：同理，可得第同理，可得第2组算术平均值组算术平均值L2的中误差为：的中误差为：第29页/共45页第三十页，共45页。5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差在式在式(5-42)中分别中分别(fnbi)代入代入m1和和m2，得：，得：5.5.1 5.5.1 权与中误差的关系权与中误差的关系式中式中为任意为任意(rny)常数。设常数。设=m2,则则L1、L2的权为的权为由上式可知，权与中误差的平方成反比。任意选择由上式可知，权与中误差的平方成反比。任意选择(xunz)值，可以使权变为便于计算的数值。值，可以使权变为便于计算的数值。L1：L2：=m2p1=4 ,p2=3第30页/共45页第三十一页，共45页。5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差5.5.1 5.5.1 权与中误差的关系权与中误差的关系例例59对某一角度进行了对某一角度进行了n次观测次观测(gunc)，求算术平均值的，求算术平均值的权。权。由例由例59可知，取一测回角度观测值之权为可知，取一测回角度观测值之权为1，则，则n个测回观测个测回观测值的算术平均值的权为值的算术平均值的权为n。故角度观测的权与其测回数成正比。在不等。故角度观测的权与其测回数成正比。在不等精度观测中引入精度观测中引入“权权”的概念，可以建立各观测值之间的精度比值，的概念，可以建立各观测值之间的精度比值，以便更合理以便更合理(hl)地处理观测数据。地处理观测数据。解设一测回角度观测解设一测回角度观测(gunc)值的中误差为值的中误差为m，由式（，由式（537），算术平均值的中误差为），算术平均值的中误差为Mm/n1/2。由权的定义并设由权的定义并设m2，则一测回观测值的权为：，则一测回观测值的权为：p=/m2=1p=/m2=1算术平均值的权为：算术平均值的权为：px=/(m2/n)=n例如，设每一测回的观测值的中误差为例如，设每一测回的观测值的中误差为m2，其权为，其权为p0，并设，并设m2，则有：，则有：p0=/m2=1（543）p0=/m2=1（543）第31页/共45页第三十二页，共45页。5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差5.5.1 5.5.1 权与中误差的关系权与中误差的关系相应相应(xingyng)的有中误差的另一表达式：的有中误差的另一表达式：等于等于1的权称的权称(qun chn)单位权，而使权等于单位权，而使权等于1的中误差称单位中的中误差称单位中误差，一般用误差，一般用m0(或或)表示。对于中误差为表示。对于中误差为mi的观测值，其权的观测值，其权pi为：为：(5-44)(5-45)第32页/共45页第三十三页，共45页。5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差设对同一未知量进行设对同一未知量进行(jnxng)了了n次非等精度观测，观测值为次非等精度观测，观测值为l1、l2、ln，其相应的权为，其相应的权为p1、p2、pn，则加权算术平均值，则加权算术平均值L0为非为非等精度观测值的最或是值等精度观测值的最或是值(最可靠值最可靠值)，其计算公式可写为，其计算公式可写为5.5.2 5.5.2 加加权平均值与中误差的关系权平均值与中误差的关系校核校核(xio h)计算式为：计算式为：式中式中vi=li-L0为最或是为最或是(hu sh)误差。误差。(5-46)或或(5-47)(5-48)由式由式(5-47)，根据误差传播定律，可得，根据误差传播定律，可得L0的中误差的中误差M0为：为：(5-49)式中式中:m1，m2,mn为为l1,l2ln的中误差。的中误差。第33页/共45页第三十四页，共45页。5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差根据根据(gnj)权的定义公式权的定义公式(5-42)和式和式(5-44)5.5.2 5.5.2 加加权平均值与中误差的关系权平均值与中误差的关系p1m12=p2m22=pnmn2=m02(5-50)有有(m0为单位为单位(dnwi)权中误差权中误差)(5-44)(5-42)所所以以(suy)(5-49)第34页/共45页第三十五页，共45页。5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差5.5.2 5.5.2 加加权平均值与中误差的关系权平均值与中误差的关系实际上常用实际上常用(chn yn)最或是误差最或是误差vi=L0-li来计算中误差来计算中误差M0，与式，与式(5-38)类似，有：类似，有：(5-51)(5-52)(5-50)第35页/共45页第三十六页，共45页。习题习题(xt)与思考题与思考题1、2、3、4、6、7、15、16、17第36页/共45页第三十七页，共45页。第37页/共45页第三十八页，共45页。7.1.1 7.1.1 地下水地下水图7-10地下水的