小波分析入门学习教案.pptx

小波分析小波分析(fnx)入门入门第一页，共47页。傅里叶分析(fnx)-Fourier Analysis傅里叶分析是目前信号傅里叶分析是目前信号傅里叶分析是目前信号傅里叶分析是目前信号(xnho)(xnho)分析的基石分析的基石分析的基石分析的基石傅里叶分析将信号傅里叶分析将信号傅里叶分析将信号傅里叶分析将信号(xnho)(xnho)分解为不同频率的正弦分量分解为不同频率的正弦分量分解为不同频率的正弦分量分解为不同频率的正弦分量从从从从 变换变换变换变换 的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的桥梁桥梁桥梁桥梁第1页/共47页第二页，共47页。由于了解信号的频率成分非常由于了解信号的频率成分非常重要，傅里叶分析是非常有用重要，傅里叶分析是非常有用的工具的工具.为什么我们还需要如小波分析为什么我们还需要如小波分析等的其它等的其它(qt)技术？技术？第2页/共47页第三页，共47页。傅里叶分析(fnx)的缺点在变换到频域后，信号的时在变换到频域后，信号的时间信息丢失；间信息丢失；从傅里叶频谱中无法得到信从傅里叶频谱中无法得到信号在某一时刻发生的情况；号在某一时刻发生的情况；若信号在整个时间历程上属于若信号在整个时间历程上属于平稳信号平稳信号(其统计参数变化其统计参数变化(binhu)不大不大),傅里叶分析的傅里叶分析的这些缺点并不显注这些缺点并不显注.但在我们所但在我们所处的世界中却经常会遇到繁多处的世界中却经常会遇到繁多的非平稳信号的非平稳信号:漂移漂移,趋势趋势,突变突变,事件的开始和结束等事件的开始和结束等.该类信该类信号往往是信号最主要的特征号往往是信号最主要的特征,而而显然不满足傅立叶分析的平稳显然不满足傅立叶分析的平稳性要求性要求.第3页/共47页第四页，共47页。短时傅里叶分析(fnx)(Short-Time Fourier Analysis)为解决傅里叶分析的缺点为解决傅里叶分析的缺点为解决傅里叶分析的缺点为解决傅里叶分析的缺点,Dennis Gabor(1946),Dennis Gabor(1946)提出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观提出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观提出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观提出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观点点点点,即所谓即所谓即所谓即所谓(suwi)(suwi)的的的的Short-Time Fourier Short-Time Fourier Analysis-STFT,Analysis-STFT,将信号映射为时间和频率的函数将信号映射为时间和频率的函数将信号映射为时间和频率的函数将信号映射为时间和频率的函数.第4页/共47页第五页，共47页。短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频率表示的折中率表示的折中率表示的折中率表示的折中,可反映信号在何时和什么频率发可反映信号在何时和什么频率发可反映信号在何时和什么频率发可反映信号在何时和什么频率发生。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。生。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。生。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。生。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。STFTSTFTSTFTSTFT在信号的时间和频率表示上的折中是有在信号的时间和频率表示上的折中是有在信号的时间和频率表示上的折中是有在信号的时间和频率表示上的折中是有用的，用的，用的，用的，其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，它将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能它将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能它将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能它将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能有比较柔性有比较柔性有比较柔性有比较柔性(ru xn)(ru xn)(ru xn)(ru xn)的窗的窗的窗的窗-我们可以调整窗我们可以调整窗我们可以调整窗我们可以调整窗长以取得比较精确的时间和频率。长以取得比较精确的时间和频率。长以取得比较精确的时间和频率。长以取得比较精确的时间和频率。第5页/共47页第六页，共47页。小波分析(fnx)(Wavelet Analysis)小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域的加窗技小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域的加窗技小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域的加窗技小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域的加窗技术。术。术。术。小波分析允许使用长时间间隔小波分析允许使用长时间间隔小波分析允许使用长时间间隔小波分析允许使用长时间间隔在需要获得比较精确在需要获得比较精确在需要获得比较精确在需要获得比较精确(jngqu)(jngqu)的低频信息时；和使用短的区域的低频信息时；和使用短的区域的低频信息时；和使用短的区域的低频信息时；和使用短的区域在需要获得高频信息在需要获得高频信息在需要获得高频信息在需要获得高频信息时。时。时。时。第6页/共47页第七页，共47页。下图为从时域，频域，下图为从时域，频域，下图为从时域，频域，下图为从时域，频域，STFT,STFT,和小波分析观察和小波分析观察和小波分析观察和小波分析观察(gunch)(gunch)信号的示意。信号的示意。信号的示意。信号的示意。n n注意：小波分析没有使用时间注意：小波分析没有使用时间-频率频率(pnl)(pnl)坐标，坐标，而是使用时间而是使用时间-尺度坐标。尺度坐标。第7页/共47页第八页，共47页。小波分析(fnx)可以做什么？小波分析的一个主要小波分析的一个主要(zhyo)优点是其可以做信号的局部分优点是其可以做信号的局部分析。析。第8页/共47页第九页，共47页。小波分析能反映其它一些信号小波分析能反映其它一些信号分析手段不能很好反映的信号分析手段不能很好反映的信号信息，例如趋势、断点、不连信息，例如趋势、断点、不连续性等。续性等。进一步进一步,小波分析提供小波分析提供(tgng)了与传统方法不同的视角，目了与传统方法不同的视角，目前小波分析在压缩或降噪方面前小波分析在压缩或降噪方面有广泛的应用。有广泛的应用。第9页/共47页第十页，共47页。什么(shn me)是小波分析一个小波是在有限区间一个小波是在有限区间一个小波是在有限区间一个小波是在有限区间(q jin)(q jin)内存在内存在内存在内存在,且均值为零的且均值为零的且均值为零的且均值为零的波形波形波形波形.n n相比之下相比之下,傅里叶分析的基函数为正弦信号傅里叶分析的基函数为正弦信号(xnho)(xnho)，且在无限区间内存在。，且在无限区间内存在。n n正弦信号正弦信号(xnho)(xnho)为光滑且可预测，而小波通常为为光滑且可预测，而小波通常为不规则波形，且非对称。不规则波形，且非对称。第10页/共47页第十一页，共47页。傅里叶分析将信号分解为不同傅里叶分析将信号分解为不同频率频率(pnl)的正弦波。的正弦波。与此类似与此类似,小波分析将信号分解小波分析将信号分解为不同尺度、平移的小波。为不同尺度、平移的小波。第11页/共47页第十二页，共47页。连续(linx)小波变换-CWT从数学从数学(shxu)的观点看傅里的观点看傅里叶变换叶变换第12页/共47页第十三页，共47页。与此类似，小波分析与此类似，小波分析(fnx)变变换公式为换公式为n n 为母小波，为母小波，C C为小波系数为小波系数(xsh)(xsh)，为尺度，为尺度与位置的函数。与位置的函数。n n小波系数小波系数C C乘以与位移乘以与位移(wiy)(wiy)和尺度化后的和尺度化后的小波，得到原信号的小波分量。小波，得到原信号的小波分量。第13页/共47页第十四页，共47页。尺度(chd)化（比例缩放）-Scaling前面谈到了小波将信号映射到时间前面谈到了小波将信号映射到时间前面谈到了小波将信号映射到时间前面谈到了小波将信号映射到时间-尺度域，下面尺度域，下面尺度域，下面尺度域，下面对尺度化和时移进行对尺度化和时移进行对尺度化和时移进行对尺度化和时移进行(jnxng)(jnxng)解释。解释。解释。解释。小波的尺度化意味着将小波进行小波的尺度化意味着将小波进行小波的尺度化意味着将小波进行小波的尺度化意味着将小波进行(jnxng)(jnxng)拉伸和拉伸和拉伸和拉伸和压缩。压缩。压缩。压缩。a a 为尺度为尺度(chd)(chd)因子因子下面是正弦波的尺度变化示例下面是正弦波的尺度变化示例第14页/共47页第十五页，共47页。小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子越小，小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子越小，小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子越小，小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子越小，信号信号信号信号(xnho)(xnho)越被压缩。越被压缩。越被压缩。越被压缩。注意注意(zh y)(zh y)：频率与尺度有密切联系：频率与尺度有密切联系第15页/共47页第十六页，共47页。平移(pn y)-Shifting小波的平移意味着小波起始位置的变化。小波的平移意味着小波起始位置的变化。小波的平移意味着小波起始位置的变化。小波的平移意味着小波起始位置的变化。在数学在数学在数学在数学(shxu)(shxu)上若原信号为上若原信号为上若原信号为上若原信号为f(t)f(t)，则其时移表示，则其时移表示，则其时移表示，则其时移表示为为为为f(t-k)f(t-k)。第16页/共47页第十七页，共47页。连续(linx)小波变换的5个基本步骤1 1、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比较。、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比较。、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比较。、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比较。2 2、计算小波系数、计算小波系数、计算小波系数、计算小波系数C C，其值的大小取决于小波与选取信号其值的大小取决于小波与选取信号其值的大小取决于小波与选取信号其值的大小取决于小波与选取信号段的相似程度，越相似其值越大。更精确段的相似程度，越相似其值越大。更精确段的相似程度，越相似其值越大。更精确段的相似程度，越相似其值越大。更精确(jngqu)(jngqu)的的的的是若信号与小波能量都等于是若信号与小波能量都等于是若信号与小波能量都等于是若信号与小波能量都等于1 1，则，则，则，则C C可解释为互相关系可解释为互相关系可解释为互相关系可解释为互相关系数。数。数。数。注意：系数的大小与注意：系数的大小与注意：系数的大小与注意：系数的大小与所选择小波的形状有关。所选择小波的形状有关。所选择小波的形状有关。所选择小波的形状有关。第17页/共47页第十八页，共47页。3、从左到右平移小波逐段重复步、从左到右平移小波逐段重复步骤骤1、2的比较，直到的比较，直到(zhdo)完成整个信号的比较。完成整个信号的比较。第18页/共47页第十九页，共47页。4、小波伸缩（尺度、小波伸缩（尺度(chd)化），化），重复步骤重复步骤13。第19页/共47页第二十页，共47页。5、重复、重复(chngf)14步得到所步得到所有尺度下的小波系数有尺度下的小波系数第20页/共47页第二十一页，共47页。三维显示(xinsh)第21页/共47页第二十二页，共47页。小波分析得到的时间小波分析得到的时间-尺度图谱，尺度图谱，不同于时间不同于时间-频率频率(pnl)图谱。图谱。尺度与频率尺度与频率(pnl)不同，但并不同，但并非没有联系。非没有联系。尺度(chd)与频率小尺度(chd)a 压缩小波 变化剧烈 高频 大尺度(chd)a 扩展小波 变化平缓 低频 第22页/共47页第二十三页，共47页。自然界中的尺度(chd)提供尺度而非频率信息提供尺度而非频率信息(xnx)并非小波的缺点并非小波的缺点第23页/共47页第二十四页，共47页。连续(linx)小波变换的连续(linx)含义区别于离散小波变换，其尺度区别于离散小波变换，其尺度区别于离散小波变换，其尺度区别于离散小波变换，其尺度(chd)(chd)和平移可以和平移可以和平移可以和平移可以比较自由比较自由比较自由比较自由第24页/共47页第二十五页，共47页。离散(lsn)小波变换连续小波变换的计算量非常大，连续小波变换的计算量非常大，费时费时1988 年年 Mallat提出提出(t ch)二二进离散小波变换的快速算法进离散小波变换的快速算法-滤波算法。滤波算法。第25页/共47页第二十六页，共47页。第一部滤波(lb)：逼近和细节对大多数信号，其低频分量比对大多数信号，其低频分量比较重要；较重要；高频包含大多数的冲击和噪声；高频包含大多数的冲击和噪声；在小波分析中称为逼近和细节；在小波分析中称为逼近和细节；逼近成分对应逼近成分对应(duyng)大尺度大尺度低频分量，细节成分对应低频分量，细节成分对应(duyng)小尺度高频分量。小尺度高频分量。第26页/共47页第二十七页，共47页。下图为小波分析下图为小波分析(fnx)滤波示滤波示意意 原始信号原始信号(xnho)S(xnho)S通过两个互补的滤波器得到两个信号通过两个互补的滤波器得到两个信号(xnho)A(xnho)A和和D.D.第27页/共47页第二十八页，共47页。在数字信号处理中在数字信号处理中在数字信号处理中在数字信号处理中S S将被使用将被使用将被使用将被使用(shyng)(shyng)两次两次两次两次;设设设设S S具有具有具有具有10001000个采样点个采样点个采样点个采样点,则则则则D D和和和和A A也将分别具有也将分别具有也将分别具有也将分别具有10001000采样点采样点采样点采样点;在离散小波分析中采用二取一的在离散小波分析中采用二取一的在离散小波分析中采用二取一的在离散小波分析中采用二取一的”降采样技术降采样技术降采样技术降采样技术”得到分别具有得到分别具有得到分别具有得到分别具有500500点的小波系数点的小波系数点的小波系数点的小波系数cDcD和和和和cA;cA;第28页/共47页第二十九页，共47页。下面以一单级离散小波分解举下面以一单级离散小波分解举例说明以上过程例说明以上过程.使用使用(shyng)的原信号为一叠的原信号为一叠加有高频噪声的实正弦信号加有高频噪声的实正弦信号,其其分解原理图如下分解原理图如下第29页/共47页第三十页，共47页。MatlabMatlab语句语句语句语句(yj)(yj)如下如下如下如下s=sin(20.*linspace(0,pi,1000)+0.5.*rand(1,1000);s=sin(20.*linspace(0,pi,1000)+0.5.*rand(1,1000);cA,cD=dwt(s,db2);cA,cD=dwt(s,db2);db2db2为选用为选用(xunyng)(xunyng)小波名小波名n n不难发现不难发现,细节信号细节信号(xnho)(xnho)系数系数cDcD包含有主要的包含有主要的噪声成分噪声成分;逼近信号逼近信号(xnho)cA(xnho)cA比原信号比原信号(xnho)(xnho)包包含较少的噪声含较少的噪声.n nlength(cA)length(cD)length(cA)length(cD)n nans=ans=n n 501 501501 501n n 小波系数小波系数cDcD和和cAcA的长度比原始信号的长度比原始信号(xnho)(xnho)长度长度的一半多一的一半多一.第30页/共47页第三十一页，共47页。离散(lsn)小波多级分解(Multiple-Level Decomposition)小波分解小波分解(fnji)树树(wavelet decomposition tree)分解时对逼近系分解时对逼近系数数(xsh)(xsh)进行进行反复分解反复分解.分解多少级分解多少级?第31页/共47页第三十二页，共47页。信号信号(xnho)的小波分解的小波分解第32页/共47页第三十三页，共47页。小波重构小波分解是小波分析的一半小波分解是小波分析的一半小波分解是小波分析的一半小波分解是小波分析的一半,与此相对的另一半是与此相对的另一半是与此相对的另一半是与此相对的另一半是信号的小波重构信号的小波重构信号的小波重构信号的小波重构(reconstruction),(reconstruction),或或或或 综合综合综合综合(synthesis)(synthesis)(无信息无信息无信息无信息(xnx)(xnx)丢失丢失丢失丢失).).在数学上称为小波逆变换在数学上称为小波逆变换在数学上称为小波逆变换在数学上称为小波逆变换(IDWT).(IDWT).第33页/共47页第三十四页，共47页。下图为信号下图为信号(xnho)的小波重的小波重构示意图构示意图n n由小波分解得由小波分解得到的小波系数到的小波系数(xsh)(xsh)重构信重构信号号第34页/共47页第三十五页，共47页。信号的小波重构涉及滤波信号的小波重构涉及滤波(lb)和上采样和上采样上采样上采样(ci yn)(ci yn)小波重构中的上采样小波重构中的上采样(ci yn)(ci yn)是在两原数据点间插入零值是在两原数据点间插入零值第35页/共47页第三十六页，共47页。重构滤波器重构滤波器的选择是非常苛刻的重构滤波器的选择是非常苛刻的重构滤波器的选择是非常苛刻的重构滤波器的选择是非常苛刻的,出来需要满足出来需要满足出来需要满足出来需要满足(mnz)(mnz)很好的重构很好的重构很好的重构很好的重构原信号外原信号外原信号外原信号外,还要解决滤波产生的还要解决滤波产生的还要解决滤波产生的还要解决滤波产生的”混叠混叠混叠混叠”引起的相位失真引起的相位失真引起的相位失真引起的相位失真.分解滤波器与重构滤波器有密切联系分解滤波器与重构滤波器有密切联系分解滤波器与重构滤波器有密切联系分解滤波器与重构滤波器有密切联系(但不相同但不相同但不相同但不相同),),在小波分析中很在小波分析中很在小波分析中很在小波分析中很好的选择滤波器可有效消除好的选择滤波器可有效消除好的选择滤波器可有效消除好的选择滤波器可有效消除”混叠混叠混叠混叠”的影响的影响的影响的影响.第36页/共47页第三十七页，共47页。逼近(bjn)信号和细节信号的重构前面所述的是由小波分解系数前面所述的是由小波分解系数重构原始信号重构原始信号,与此类似与此类似(li s),我们也可由小波分解系数重我们也可由小波分解系数重构某一级的逼近和细节信号构某一级的逼近和细节信号.第37页/共47页第三十八页，共47页。单级重构单级重构多级重构多级重构第38页/共47页第三十九页，共47页。滤波器与小波形状(xngzhun)的联系重构滤波器与小波的选择有密重构滤波器与小波的选择有密切联系切联系;在实际使用小波中在实际使用小波中,很少直接从很少直接从构造一个构造一个(y)小波开始小波开始,而是而是设计适合的镜像滤波器设计适合的镜像滤波器,进而设进而设计出波形计出波形.下面以一个下面以一个(y)例子来说明例子来说明.构造(guzo)适合db2小波的低通重构滤波器L第39页/共47页第四十页，共47页。滤波器系数可由滤波器系数可由滤波器系数可由滤波器系数可由MatlabMatlab中的中的中的中的dbauxdbaux命令得到命令得到命令得到命令得到;若反转该滤波器系数向量若反转该滤波器系数向量若反转该滤波器系数向量若反转该滤波器系数向量,并且每一偶数样本并且每一偶数样本并且每一偶数样本并且每一偶数样本(yngbn)(yngbn)乘以乘以乘以乘以-1,-1,则可得到高通重构滤波器则可得到高通重构滤波器则可得到高通重构滤波器则可得到高通重构滤波器HH的的的的系数系数系数系数.HH上采样上采样上采样上采样(H(H系数间隔插零系数间隔插零系数间隔插零系数间隔插零)第40页/共47页第四十一页，共47页。上采样上采样(ci yn)向量与原始低向量与原始低通滤波器卷乘通滤波器卷乘第41页/共47页第四十二页，共47页。若重复该过程几次若重复该过程几次,即上采样并即上采样并将结果滤波器向量将结果滤波器向量(xingling)与原始低通滤波与原始低通滤波器系数卷乘器系数卷乘,则可得到以下图案则可得到以下图案.不难看出滤波器形状越来越接近不难看出滤波器形状越来越接近(jijn)db2(jijn)db2小波小波,这表明小波的形状完全由这表明小波的形状完全由重构滤波器决定重构滤波器决定.第42页/共47页第四十三页，共47页。二者的重要二者的重要二者的重要二者的重要(zhngyo)(zhngyo)联系说明联系说明联系说明联系说明:我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小波分我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小波分我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小波分我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小波分析析析析.至少当需要对信号进行精确重构时至少当需要对信号进行精确重构时至少当需要对信号进行精确重构时至少当需要对信号进行精确重构时,我们不能选择我们不能选择我们不能选择我们不能选择任意的小波形状任意的小波形状任意的小波形状任意的小波形状.我们必须选取由积分镜像分解滤波我们必须选取由积分镜像分解滤波我们必须选取由积分镜像分解滤波我们必须选取由积分镜像分解滤波器所决定的形状作为小波器所决定的形状作为小波器所决定的形状作为小波器所决定的形状作为小波.第43页/共47页第四十四页，共47页。尺度(chd)函数-Scaling Function上面我们看到了小波与镜像积上面我们看到了小波与镜像积分滤波器的内部联系分滤波器的内部联系.小波函数小波函数由高通滤波器决定由高通滤波器决定(judng),高通滤波器也产生高通滤波器也产生小波分解的细节信号小波分解的细节信号.n n另一与小波函数有一些联系的函数就是所另一与小波函数有一些联系的函数就是所谓的尺度函数谓的尺度函数,尺度函数相似于小波函尺度函数相似于小波函数数,决定于低通镜像积分滤波器决定于低通镜像积分滤波器,该滤波器该滤波器与小波分解与小波分解(fnji)(fnji)的逼近信号相关的逼近信号相关.n n同样同样,通过重复上采样并与高通滤波器进通过重复上采样并与高通滤波器进行卷积可得到小波函数行卷积可得到小波函数;重复上采样并与重复上采样并与低通滤波器进行卷积可得到尺度函数的近低通滤波器进行卷积可得到尺度函数的近似形状似形状.第44页/共47页第四十五页，共47页。多级分解(fnji)和重构小波的多级分解小波的多级分解(fnji)和重和重构可表示为构可表示为 这一过程包括两个方面这一过程包括两个方面(fngmin):(fngmin):信号分解信号分解得到小波系数得到小波系数,由小波系数重构原信号由小波系数重构原信号.第45页/共47页第四十六页，共47页。前面我们已讨论过信号的小波前面我们已讨论过信号的小波分解和重构分解和重构.在应用中当然无需将一个信号在应用中当然无需将一个信号分解后又重构其本身分解后又重构其本身.在进行重构前通常我们要改变在进行重构前通常我们要改变小波系数小波系数,获得获得(hud)我们所我们所需要的重构信号需要的重构信号,进行小波分析进行小波分析的目的在于获得的目的在于获得(hud)信号的信号的小波系数小波系数,然后进行信号去噪和然后进行信号去噪和压缩等应用压缩等应用.许多应用仍等待我们去发现许多应用仍等待我们去发现.第46页/共47页第四十七页，共47页。