数学规划模型学习教案.pptx

数学数学(shxu)规划模型规划模型第一页，共45页。4.2自来水输送自来水输送(shsn)与与货机装运货机装运生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求(xqi)点，点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输运输(ynsh)问题问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。第1页/共45页第二页，共45页。其他费用其他费用:450:450元元/千吨千吨(qin dn)(qin dn)应如何分配水库供水量，公司才能应如何分配水库供水量，公司才能(cinng)(cinng)获利最多？获利最多？若水库若水库(shuk)(shuk)供水量都提高一倍，公司利润可增加到多供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？少？元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费引水管理费例例例例1 1 自来水输送自来水输送自来水输送自来水输送收入：收入：900元元/千吨千吨支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；+50乙：乙：70；+70丙：丙：10；+20丁：丁：10；+40水水库库供供水水量量(千千吨吨)小小区区基基本本用用水水量量(千千吨吨)小小区区额额外外用用水水量量(千千吨吨)（以天计）（以天计）第2页/共45页第三页，共45页。总供水量：总供水量：160确定送水方案确定送水方案(fngn)使利使利润最大润最大问题问题(wnt)分分析析A：50B：60C：50甲：甲：30；+50乙：乙：70；+70丙：丙：10；+20丁：丁：10；+40总需求量总需求量(300)每个水库每个水库(shuk)(shuk)最大供水量都提高最大供水量都提高一倍一倍利润利润=收入收入(900)其它费用其它费用(fiyong)(450)引引水管理费水管理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/供应供应限制限制B,C类似处类似处理理问题讨论问题讨论 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变第6页/共45页第七页，共45页。求解求解(qi(qi ji)ji)这类问题这类问题(wnt)一一般称为般称为“运输问题运输问题(wnt)”(TransportationProblem)总总利利润润(lrn)(lrn)8870088700（元）（元）A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030 Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:88700.00Totalsolveriterations:7VariableValueReducedCostX110.00000020.00000X12100.00000.000000X130.00000040.00000X140.00000020.00000X2130.000000.000000X2240.000000.000000X230.00000010.00000X2450.000000.000000X3150.000000.000000X320.00000020.00000X3330.000000.000000第7页/共45页第八页，共45页。如何装运如何装运(zhungyn)，使本次，使本次飞行获利最飞行获利最大？大？三个货舱三个货舱(hucng)最大载重最大载重(吨吨),最大容积最大容积(米米3)例例例例22货机货机货机货机(hu(huj)j)装运装运装运装运重量（吨）重量（吨）空间空间(米米3/吨）吨）利润（元利润（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156503800货物货物3235803500货物货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大三个货舱中实际载重必须与其最大载载重成比例重成比例前仓：前仓：10；6800中仓：中仓：16；8700后仓：后仓：8；5300飞机平衡飞机平衡第8页/共45页第九页，共45页。决策决策(ju(juc)c)变量变量 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱个货舱(hucng)的重量的重量(吨）吨）i=1,2,3,4,j=1,2,3(分别代表前、中、后仓分别代表前、中、后仓)模型模型(mxng)(mxng)假设假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小；货机装运货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；多种货物可以混装，并保证不留空隙；模型建立模型建立 第9页/共45页第十页，共45页。货舱货舱(hucng)容积容积目标目标(mbi(mbio)o)函函数数(利利润润)约束约束条件条件货机货机(hu(hu j)j)装运装运模型建立模型建立 货舱货舱重量重量 10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量第10页/共45页第十一页，共45页。约束约束条件条件平衡平衡(pnghng)要要求求货物货物(huw)供应供应货机货机(hu j)(hu j)装运装运模型建立模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量第11页/共45页第十二页，共45页。Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:121515.8VariableValueReducedCostX110.000000400.000000X120.00000057.894737X130.000000400.000000X2110.0000000.000000X220.000000239.473679X235.0000000.000000X310.0000000.000000X3212.9473690.000000X333.0000000.000000X410.000000650.000000X423.0526320.000000X430.000000650.000000货物货物(huw)2(huw)2：前仓：前仓10,10,后仓后仓5 5；货物货物(huw)3:(huw)3:中仓中仓13,13,后仓后仓3 3；货物；货物(huw)4:(huw)4:中仓中仓3 3。货机货机(hu(hu j)j)装运装运模型模型(mxng)(mxng)求解求解 最大利润约最大利润约121516元元货物货物供应点供应点货舱货舱需求点需求点平衡要求平衡要求运输运输问题问题运输问题的扩展运输问题的扩展第12页/共45页第十三页，共45页。第13页/共45页第十四页，共45页。其他费用其他费用:450:450元元/千吨千吨(qin dn)(qin dn)应如何分配水库供水量，公司应如何分配水库供水量，公司(n s)(n s)才能获才能获利最多？利最多？若水库供水量都提高一倍，公司若水库供水量都提高一倍，公司(n s)(n s)利润可增加到利润可增加到多少？多少？元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费引水管理费例例例例1 1 自来水输送自来水输送自来水输送自来水输送收入：收入：900元元/千吨千吨支支出出A：50B：60C：50甲：甲：30；+50乙：乙：70；+70丙：丙：10；+20丁：丁：10；+40水水库库供供水水量量(千千吨吨)小小区区基基本本用用水水量量(千千吨吨)小小区区额额外外用用水水量量(千千吨吨)（以天计）（以天计）第14页/共45页第十五页，共45页。总供水量：总供水量：160确定确定(qudng)送水方案使送水方案使利润最大利润最大问题问题(wnt)分分析析A：50B：60C：50甲：甲：30；+50乙：乙：70；+70丙：丙：10；+20丁：丁：10；+40总需求量总需求量(300)每个水库每个水库(shuk)(shuk)最大供水量都提高最大供水量都提高一倍一倍利润利润=收入收入(900)其它费用其它费用(fiyong)(450)引水引水管理费管理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/供应供应限制限制B,C类似处理类似处理问题讨论问题讨论 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变第18页/共45页第十九页，共45页。求解求解(qi(qi ji)ji)这类问题一般这类问题一般(ybn)称为称为“运运输问题输问题”(TransportationProblem)总总利利润润(lrn)(lrn)8870088700（元）（元）A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030 Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:88700.00Totalsolveriterations:7VariableValueReducedCostX110.00000020.00000X12100.00000.000000X130.00000040.00000X140.00000020.00000X2130.000000.000000X2240.000000.000000X230.00000010.00000X2450.000000.000000X3150.000000.000000X320.00000020.00000X3330.000000.000000第19页/共45页第二十页，共45页。如何如何(rh)装运，使本装运，使本次飞行获利次飞行获利最大？最大？三个货舱最大载重三个货舱最大载重(zizhng)(吨吨),最大容积最大容积(米米3)例例例例22货机货机货机货机(hu(huj)j)装运装运装运装运重量（吨）重量（吨）空间空间(米米3/吨）吨）利润（元利润（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156503800货物货物3235803500货物货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大三个货舱中实际载重必须与其最大载载重成比例重成比例前仓：前仓：10；6800中仓：中仓：16；8700后仓：后仓：8；5300飞机平衡飞机平衡第20页/共45页第二十一页，共45页。决策决策(ju(juc)c)变量变量 xij-第第i 种货物种货物(huw)装入第装入第j 个货舱的重个货舱的重量量(吨）吨）i=1,2,3,4,j=1,2,3(分别代表前、中、后仓分别代表前、中、后仓)模型模型(mxng)(mxng)假设假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小；货机装运货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；多种货物可以混装，并保证不留空隙；模型建立模型建立 第21页/共45页第二十二页，共45页。货舱货舱(hucng)容积容积目标目标(mbi(mbio)o)函数函数(利润利润)约束约束条件条件货机货机(hu(hu j)j)装运装运模型建立模型建立 货舱货舱重量重量 10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量第22页/共45页第二十三页，共45页。约束约束条件条件平衡平衡(pnghng)要求要求货物货物(huw)供应供应货机货机(hu(hu j)j)装运装运模型建立模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量第23页/共45页第二十四页，共45页。Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:121515.8VariableValueReducedCostX110.000000400.000000X120.00000057.894737X130.000000400.000000X2110.0000000.000000X220.000000239.473679X235.0000000.000000X310.0000000.000000X3212.9473690.000000X333.0000000.000000X410.000000650.000000X423.0526320.000000X430.000000650.000000货物货物(huw)2(huw)2：前仓：前仓10,10,后后仓仓5 5；货物货物(huw)3:(huw)3:中仓中仓13,13,后仓后仓3 3；货物；货物(huw)4:(huw)4:中仓中仓3 3。货机货机(hu j)(hu j)装运装运模型模型(mxng)(mxng)求解求解 最大利润约最大利润约121516元元货物货物供应点供应点货舱货舱需求点需求点平衡要求平衡要求运输运输问题问题运输问题的扩展运输问题的扩展第24页/共45页第二十五页，共45页。4.3汽车生产与原油汽车生产与原油(yunyu)采购采购整数整数(zhngsh)规划规划第25页/共45页第二十六页，共45页。设每月生产设每月生产(shngchn)(shngchn)小、小、中、大型汽车的数量分别中、大型汽车的数量分别为为x1,x2,x3x1,x2,x3例例1 1 汽车厂生产汽车厂生产(shngchn)(shngchn)计划计划 模型模型(mxng)(mxng)建立建立 小型小型中型中型大型大型现有现有量量钢材钢材1.535600时间时间28025040060000利润利润234线性线性规划规划模型模型(LP)第26页/共45页第二十七页，共45页。模型模型(mx(mxng)ng)求求解解 3）模型中增加条件模型中增加条件(tiojin)：x1,x2,x3均为整数，重新求解。均为整数，重新求解。Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:632.2581VariableValueReducedCostX164.5161290.000000X2167.7419280.000000X30.0000000.946237RowSlackorSurplusDualPriceST10.0000000.731183ST20.0000000.003226结果结果(jigu)为小数，怎么为小数，怎么办？办？1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与LP最优值最优值632.2581相差不大。相差不大。2）试探：如取）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。，通过比较可能得到更优的解。可能找不到最优！可能找不到最优！但必须检验它们是否满足约束条件。但必须检验它们是否满足约束条件。可能不是可行解！可能不是可行解！第27页/共45页第二十八页，共45页。IP可用可用LINDO直接直接(zhji)求解求解整数规划整数规划(guhu)(Integer Programming,(guhu)(Integer Programming,简记简记IP)IP)“gin(x1);”表示表示(biosh)“x1为整数为整数”.IP的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值，最优值z=632max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3600;280*x1+250*x2+400*x360000;gin(x1);gin(x2);gin(x3);Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:632.0000VariableValueReducedCostX1 64.000000 -2.000000X2 168.000000 -3.000000X30.000000-4.000000模型求解模型求解 IP结果输出结果输出第28页/共45页第二十九页，共45页。其中其中3 3个子模型应去掉，然后逐一个子模型应去掉，然后逐一求解求解(qi ji)(qi ji)，比较目标函数值，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解：方法方法1：分解：分解(fnji)为为8个个LP子子模型模型汽车厂生产汽车厂生产(shngchn)(shngchn)计划计划 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1,x2,x3=0或或 80 x1=80，x2=150，x3=0，最优值，最优值z=610第29页/共45页第三十页，共45页。方法方法2：引入：引入0-1变量变量(binling)，化为整，化为整数规划数规划M为大的正数为大的正数(zhngsh)，可取，可取1000 若生产某类汽车，则至少若生产某类汽车，则至少(zhsho)(zhsho)生产生产8080辆，求生产辆，求生产计划。计划。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80第30页/共45页第三十一页，共45页。max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3=600;280*x1+250*x2+400*x3=60000;x1=80*y1;x2=80*y2;x3=80*y3;gin(x1);gin(x2);gin(x3);bin(y1);bin(y2);bin(y3);方法方法2：引入：引入0-1变量，化为整数变量，化为整数(zhngsh)规划规划 Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:610.0000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:10VariableValueReducedCostX180.00000-2.000000X2150.0000-3.000000X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000 若生产若生产(shngchn)(shngchn)某类汽车，则至少生产某类汽车，则至少生产(shngchn)80(shngchn)80辆，求生产辆，求生产(shngchn)(shngchn)计划。计划。最优解同前最优解同前第31页/共45页第三十二页，共45页。NLP虽虽然然(surn)可可用用现现成成的的数数学学软软件件求求解解(如如LINGO,MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。，但是其结果常依赖于初值的选择。方法方法(fngf)3：化为非线：化为非线性规划性规划非线性规划非线性规划(guhu)(guhu)（Non-Linear ProgrammingNon-Linear Programming，简记，简记NLPNLP）实实践践表表明明，本本例例仅仅当当初初值值非非常常接接近近上上面面方方法法算算出出的最优解时，才能得到正确的结果。的最优解时，才能得到正确的结果。若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80第32页/共45页第三十三页，共45页。max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3=600;280*x1+250*x2+400*x3=0;x2*(x2-80)=0;x3*(x3-80)=0;gin(x1);gin(x2);gin(x3);Global optimal solution found.Objective value:610.0000 Extended solver steps:2 Total solver iterations:171 Variable Value X1 80.00000 X2 150.0000 X3 0.000000第33页/共45页第三十四页，共45页。应如何安排原油应如何安排原油(yunyu)(yunyu)的采购和加工的采购和加工？例例例例22原油采购原油采购原油采购原油采购(cigu)(cigu)与加工与加工与加工与加工 市场上可买到不超过市场上可买到不超过15001500吨的原油吨的原油A A：购买量不超过购买量不超过500500吨时的单价吨时的单价(dnji)(dnji)为为1000010000元元/吨；吨；购买量超过购买量超过500500吨但不超过吨但不超过10001000吨时，超过吨时，超过500500吨的吨的 部部分分80008000元元/吨；吨；购买量超过购买量超过10001000吨时，超过吨时，超过10001000吨的部分吨的部分60006000元元/吨。吨。售价售价4800元元/吨吨售价售价5600元元/吨吨库存库存500吨吨库存库存1000吨吨汽油甲汽油甲(A 50%)原油原油A原油原油B汽油乙汽油乙(A 60%)第34页/共45页第三十五页，共45页。决策决策(juc(juc)变变量量 目标目标(mbi(mbio)o)函函数数问题问题(wn(wnt)t)分析分析 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油的收入 -购买原油购买原油A的支出的支出 难点：原油难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂甲甲(A 50%)AB乙乙(A 60%)购买购买xx11x12x21x224.8千元千元/吨吨5.6千元千元/吨吨原油原油A的购买量的购买量,原油原油A,B生产生产汽油汽油甲甲,乙的数量乙的数量c(x)购买原油购买原油A的支出的支出利润利润(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？第35页/共45页第三十六页，共45页。原油原油(yunyu)供应供应约束约束条件条件 x 500吨单价吨单价(dnji)为为10千元千元/吨；吨；500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千元千元/吨；吨；1000吨吨 x 1500吨，超过吨，超过1000吨的吨的6千元千元/吨。吨。目标目标(mbi(mbio)o)函函数数购买购买x ABx11x12x21x22库存库存500吨吨库存库存1000吨吨第36页/共45页第三十七页，共45页。目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；难以输入和求解；想办法将模型想办法将模型(mxng)化简，用现成的软件求解。化简，用现成的软件求解。汽油汽油(qyu)含含原油原油A的比例的比例限制限制约束约束条件条件甲甲(A 50%)AB乙乙(A 60%)x11x12x21x22第37页/共45页第三十八页，共45页。x1,x2,x3 以价格以价格(jig)10,8,6(千元千元/吨吨)采采购购A的吨数的吨数目标目标(mb(mbio)io)函数函数 只有当以只有当以1010千元千元/吨的价格购买吨的价格购买(gumi)x1=500(gumi)x1=500(吨吨)时，时，才能以才能以8 8千元千元/吨的价格购买吨的价格购买(gumi)x2(gumi)x2方法方法1 非线性规划模型非线性规划模型，可以用，可以用LINGO求解求解模型求模型求解解x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/吨吨增加约束增加约束x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3 第38页/共45页第三十九页，共45页。方法方法(fngf)1：LINGO求解求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x220;2*x12-3*x220;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1500;x2500;x30;x110;x120;x210;x220;x10;x20;x30;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到得到(ddo)的是局部最优解，还能得到的是局部最优解，还能得到(ddo)更好的解吗？更好的解吗？用库存的用库存的500500吨原油吨原油A A、500500吨原油吨原油B B生产汽油生产汽油(qyu)(qyu)甲，不购买新的原油甲，不购买新的原油 A A，利润为，利润为4,8004,800千元。千元。第39页/共45页第四十页，共45页。y1,y2,y3=1 以价格以价格(jig)10,8,6(千元千元/吨吨)采购采购A增加增加(zngji)约束约束方法方法(fng(fngf)2 f)2 0-1线性规划模型线性规划模型，可用，可用LINGO求解求解y1,y2,y3=0或或1Objectivevalue:5000.000VariableValueReducedCostY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X11 0.000000 0.800000X21 0.000000 0.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1 500.000000 0.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000购买购买1000吨原油吨原油A，与库存的，与库存的500吨原油吨原油A和和1000 吨原油吨原油B一起，生产汽油乙，利润为一起，生产汽油乙，利润为5,000 千元千元。x1,x2,x3以价格以价格10,8,6(千元千元/吨吨)采购采购A的吨数的吨数y=0 x=0 x0y=1优于方法优于方法1的结果的结果第40页/共45页第四十一页，共45页。b1b2b3b4方法方法(fng(fngf)3 f)3 b1 x b2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z2 0,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3 0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3 x b4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4 0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接处理直接处理(chl)处理处理(chl)分段分段线性函数线性函数c(x)第41页/共45页第四十二页，共45页。IP模型，模型，LINGO求解，得到的结果与方法求解，得到的结果与方法(fngf)2相同相同.处理分段线性函数处理分段线性函数(hnsh)，方法，方法3更具一般性更具一般性bkxbk+1yk=1,否否则则(fuz),yk=0方法方法3 bk x bk+1,x=zkbk+z k+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+1 0,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2b3b4对于对于k=1,2,3第42页/共45页第四十三页，共45页。示性函数(hnsh)的使用已知已知mmx x M,z=0 or 1,M,z=0 or 1,那么那么 若若x0,x0,则则z=1 z=1 若若z=0,z=0,则则x=0 x=0 x x MzMz若若x=0,x=0,则则z=0 z=0 若若z=1,z=1,则则x 0 x 0 x x mzmz条件约束条件约束 if,then if,then若若x1+x23,x1+x23,则则x3+x4 x3+x4 6 6 x3+x4 x3+x4 6z,x1+x2-3 6z,x1+x2-3MzMz若若x1+x2=3,x1+x2=3,则则x3+x4 x3+x4 6 6 x3+x4 x3+x4 6(1-z),x1+x2-3 6(1-z),x1+x2-3 mzmz逻辑运算逻辑运算 or,and or,andx1 x1 3 3或或x2 x2 3 3 x1 x1 3z1,x2 3z1,x2 3z2,z1+z2 3z2,z1+z2 1 1 分段线性目标函数分段线性目标函数如例如例2 2 原油原油(yunyu)(yunyu)采购与加工采购与加工 第43页/共45页第四十四页，共45页。第44页/共45页第四十五页，共45页。