二几个初等函数的麦克劳林公式课件.ppt

特点(tdin):一、泰勒一、泰勒(ti l)公式公式的建立的建立以直代曲以直代曲在微分(wi fn)应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x 的一次多项式第1页/共26页第一页，共27页。1.求求 n 次近似次近似(jn s)多项式多项式要求要求(yoqi):故令则第2页/共26页第二页，共27页。2.余项估计余项估计(gj)令(称为(chn wi)余项),则有第3页/共26页第三页，共27页。第4页/共26页第四页，共27页。公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.公式(gngsh)称为n 阶泰勒公式(gngsh)的拉格朗日余项.泰勒泰勒(ti l)中值中值定理定理:阶的导数(do sh),时,有其中则当第5页/共26页第五页，共27页。公式(gngsh)称为n 阶泰勒公式(gngsh)的佩亚诺(Peano)余项.在不需要在不需要(xyo)余项的精确表达式时余项的精确表达式时,泰勒公泰勒公式可写为式可写为注意(zh y)到*可以证明:式成立第6页/共26页第六页，共27页。特例特例(tl):(1)当 n=0 时,泰勒(ti l)公式变为(2)当 n=1 时,泰勒(ti l)公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差第7页/共26页第七页，共27页。称为(chn wi)麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒在泰勒(ti l)公式中若取公式中若取则有误差(wch)估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式第8页/共26页第八页，共27页。二、几个二、几个(j)初等函数的麦克劳初等函数的麦克劳林公式林公式其中(qzhng)第9页/共26页第九页，共27页。其中(qzhng)第10页/共26页第十页，共27页。类似(li s)可得其中(qzhng)第11页/共26页第十一页，共27页。其中(qzhng)第12页/共26页第十二页，共27页。已知其中(qzhng)类似(li s)可得第13页/共26页第十三页，共27页。三、泰勒三、泰勒(ti l)公公式的应用式的应用1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用(yngyng)误差(wch)M 为在包含 0,x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差;3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.第14页/共26页第十四页，共27页。已知例例1.计算计算(j sun)无理数无理数 e 的近似值的近似值,使误差不超过使误差不超过解解:令 x=1,得由于(yuy)欲使由计算(j sun)可知当 n=9 时上式成立,因此的麦克劳林公式为第15页/共26页第十五页，共27页。例例2.用近似用近似(jn s)公式公式计算(j sun)cos x 的近似值,使其精确(jngqu)到 0.005,试确定 x 的适用范围.解解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005.第16页/共26页第十六页，共27页。2.利用泰勒利用泰勒(ti l)公式公式求极限求极限例例3.求解解:由于(yuy)用洛必塔法则(fz)不方便!用泰勒公式将分子展到项,第17页/共26页第十七页，共27页。3.利用利用(lyng)泰勒公式证明泰勒公式证明不等式不等式例例4.证明证明(zhngmng)证证:第18页/共26页第十八页，共27页。内容内容(nirng)小结小结1.泰勒泰勒(ti l)公式公式其中(qzhng)余项当时为麦克劳林公式麦克劳林公式.第19页/共26页第十九页，共27页。2.常用函数常用函数(hnsh)的麦克劳林公式的麦克劳林公式(P140 P142)3.泰勒公式泰勒公式(gngsh)的的应用应用(1)近似计算(3)其他(qt)应用求极限,证明不等式 等.(2)利用多项式逼近函数,第20页/共26页第二十页，共27页。思考思考(sko)与练习与练习 计算(j sun)解解:原式作业作业(zuy)P1434;5;7;8;10(2)第23页/共26页第二十三页，共27页。感谢您的观看(gunkn)！第26页/共26页第二十六页，共27页。内容(nirng)总结特点:。称为麦克劳林（Maclaurin）公式.。1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n。2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差。3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.。例1.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过(chogu)。由计算可知当 n=9 时上式成立,。计算 cos x 的近似值,。使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.。第25页/共26页第二十七页，共27页。