数学物理方程与特征函数14学习教案.pptx
会计学1数学物理数学物理(wl)方程与特征函数方程与特征函数14第一页，共26页。拉普拉斯方程(fngchng)：热传导方程(fngchng)：波动(bdng)方程：三类偏微分方程 两种特殊函数 贝赛尔 勒让德 第2页/共26页第二页，共26页。拉普拉斯方程(fngchng)：热传导方程(fngchng)：波动(bdng)方程：空间的静电场分布 热传导中的温度分布 琴弦的振动 静磁场分布、稳定温度场分布 流体的扩散、粘性液体的流动 杆、膜、液体、气体等的振动电磁场的振荡 第3页/共26页第三页，共26页。线性方程(xin xn fn chn)、非线性方程(xin xn fn chn)，齐次方程、非齐次方程 线性方程具有(jyu)叠加特性 第4页/共26页第四页，共26页。定解条件(tiojin)初始条件：边界条件：初始(ch sh)位置、初始(ch sh)温度 初始(ch sh)速度 第一类边界条件，固定端、恒温端、恒压端 第二类边界条件，自由端、绝热端 第三类边界条件，弹性支承端、热交换端 第5页/共26页第五页，共26页。方程(fngchng)边界条件初始条件齐次非齐次齐次齐次非齐次波动(bdng)方程、热传导方程、拉普拉斯方程 一维的、二维的、三维的 直角坐标(zh jio zu bio)系、极坐标系、球坐标系 标准形式、非标准形式 第一类、第二类、第三类 对拉普拉斯方程来说指另一个边界条件分离变量法解法齐次特征函数法驻波法非齐次齐次非齐次特征函数法u=V(x,t)+W(x,t)非齐次非齐次非齐次u=V(x,t)+W(x,t)u=V(x,t)+W(x)齐次初始条件齐次边界条件非齐次方程非齐次初始条件齐次边界条件齐次方程非齐次初始条件齐次边界条件非齐次方程非齐次边界条件非齐次初始条件齐次边界条件齐次方程非齐次边界条件非齐次方程如果方程和边界条件的非齐次项和t无关第6页/共26页第六页，共26页。用分离变量法主要求解(qi ji)一下四个方程 对这四个方程进行分离变量均可以化成两个(lin)常微分方程 第7页/共26页第七页，共26页。求特征值和特征函数 第8页/共26页第八页，共26页。另一个方程(fngchng)的求解 第9页/共26页第九页，共26页。写出方程(fngchng)的通解 第10页/共26页第十页，共26页。求解(qi ji)常数 第11页/共26页第十一页，共26页。特征函数法 要求(yoqi)会对下面三个方程使用特征函数法 首先(shuxin)根据齐次方程和齐次边界条件求出特征函数，比如 然后(rnhu)将方程的解写成 将非齐次项也写成特征函数的级数形式 求解关于 的常微分方程，带到方程里面去 第12页/共26页第十二页，共26页。齐次化 只需要掌握(zhngw)通过一次变换将方程和边界条件都变成齐次的 第13页/共26页第十三页，共26页。行波法可以用来(yn li)求解无界域内的双曲型方程 双曲型方程可以写成如下(rxi)形式：因式分解(yn sh fn ji)的过程是：令，方程的通解可以写成：最后在根据定解条件来确定两个任意函数。方程变为：第14页/共26页第十四页，共26页。行波法的特例是一维波动(bdng)方程的达朗贝尔公式 它的物理意义是，第一项表示初始(ch sh)位移的效果，第二项表示初始(ch sh)速度的效果。一个波动问题在x处t时的位移和 xat处的初始(ch sh)位置有关、和这两点之间的初始(ch sh)速度有关。第15页/共26页第十五页，共26页。积分变化法的基本(jbn)思想是降维 先通过积分变化对时空域(kngy)内的方程进行降维变成频域 解题(ji t)的步骤：然后求解频域方程 最后通过积分反变换将方程的解变成时空域 第16页/共26页第十六页，共26页。该选择(xunz)哪个变换？1 傅立叶变换(binhun)的区间是，拉普拉斯变换(binhun)的区间是；2 拉普拉斯变换需要阶数个的初始条件；3 如果两个变换都可以，哪个容易选哪个。第17页/共26页第十七页，共26页。格林函数(hnsh)法求解拉普拉斯方程的思路是：先求解具有相同(xin tn)区域齐次边界条件下点源的拉普拉斯方程的解，即格林函数；然后将原问题的解表示成格林函数与源的积分(jfn)、以及格林函数的方向导数与边界条件的积分(jfn)用数学语言表示：如果 是方程 的解，则方程 的解可以表示为：自由空间的格林函数为 第18页/共26页第十八页，共26页。求解某一区域内的格林函数，我们介绍了两种方法，物理(wl)法、即镜像法，数学法、即直接求解非齐次的偏微分方程。镜像法是利用(lyng)了拉普拉斯方程解的唯一性。用镜像法可以(ky)求出上半空间点 的镜像点为 格林函数为：球内的格林函数为 镜像点 处于 的延长线上，并且，电荷量是原来的 倍。第19页/共26页第十九页，共26页。贝塞尔函数(hnsh)是贝塞尔方程的解。贝塞尔方程是在用分离(fnl)变量法来求解圆域内波动方程或热传导方程时所遇到的。性质(xngzh)1 有界性 性质2 奇偶性 性质3 递推性 第20页/共26页第二十页，共26页。性质(xngzh)4 初值 性质(xngzh)5 零点 有无穷多个对称(duchn)分布的零点 和 的零点相间分布 的零点趋于周期分布，性质8 正交性 第21页/共26页第二十一页，共26页。能够利用这些性质做一些简单(jindn)的证明计算题。能够(nnggu)把定义在 上的函数(hnsh)展成贝塞尔函数 的级数形式。第22页/共26页第二十二页，共26页。勒让德多项式是勒让德方程(fngchng)的解。勒让德方程是在用分离变量(binling)法来求解球域内拉普拉斯方程时所遇到的。n次的勒让德方程(fngchng)，定义在-1,1第23页/共26页第二十三页，共26页。性质(xngzh)1 正交性 性质(xngzh)2 奇偶性 将定义在-1,1内的函数展成勒让德多项式的级数(j sh)形式。将定义在a,b内的函数展成勒让德多项式的级数形式。能够利用这些性质做一些简单的证明计算题。第24页/共26页第二十四页，共26页。思考题 1.谈一下对特征方程、特征值、特征函数的理解。2.请解释行波法所得出结果的物理意义。3.用积分(jfn)变换法解方程的优点是什么？该方法都能解什么方程？4.请描述一下用格林函数法求解拉普拉斯方程的思路。5.什么时候会用到贝塞尔函数和勒让德多项式？第25页/共26页第二十五页，共26页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第26页/共26页第二十六页，共26页。
