数学数乘向量北师大必修学习教案.pptx
会计学1数学数学(shxu)数乘向量北师大必修数乘向量北师大必修第一页，共19页。实际(shj)背景第2页/共19页第二页，共19页。探索探索(tn su)1:a aC Ca aA AB Ba aOO-a aQQ-a-aMMN N-a-aP P已知非零向量已知非零向量已知非零向量已知非零向量 a （如图）（如图）（如图）（如图）a a试作出：试作出：试作出：试作出：a+a+a 和和和和 (-(-a)+(-)+(-a)+(-)+(-a)根据向量根据向量(xingling)加法的法则可加法的法则可得得 思考思考思考思考:相同向量相加以后相同向量相加以后相同向量相加以后相同向量相加以后(yhu)(yhu)，和的长度与方向有什么变化？和的长度与方向有什么变化？和的长度与方向有什么变化？和的长度与方向有什么变化？第3页/共19页第三页，共19页。OABC 由图可知，向量由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把我们把a+a+a记记作作3 a，即，即OC=3a.显然，显然，3a的方向与的方向与a的方向相同，的方向相同，3a 的长度是的长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|3a|=3|a|.第4页/共19页第四页，共19页。PQMN由图可知，由图可知，PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把，把(-a)+(-a)+(-a)记作记作-3 a，即，即PN=-3a显然，显然，-3a的方向与的方向与a的方向相反，的方向相反，-3a的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|-3a|=3|a|。第5页/共19页第五页，共19页。（1 1）一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做个向量，这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：（2 2）当）当 时，时，的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同；当当 时，时，的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。特别的，当特别的，当 时，时，思考思考:向量向量(xingling)数乘和实数乘法有那些数乘和实数乘法有那些相同点相同点?那些不同点那些不同点?a 是一个向量；是一个向量；a 的长度等于的长度等于 的的绝对值与向量绝对值与向量a的长度的长度的乘积。的乘积。第6页/共19页第六页，共19页。=探索探索(tn su)2:(1)(1)根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(23(2a a)和和和和(6(6a a)(a a为非零向量为非零向量为非零向量为非零向量)，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。(2)(2)已知向量已知向量已知向量已知向量 a,ba,b，求作向量，求作向量，求作向量，求作向量2(2(a+ba+b)和和和和2 2a+a+2 2b b，并进，并进，并进，并进行比较。行比较。行比较。行比较。第7页/共19页第七页，共19页。设设 为实数，那么为实数，那么特别特别(tbi)的，我们有的，我们有 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算.对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有恒有第一第一(dy)分配律分配律第二第二(d r)分配律分配律第8页/共19页第八页，共19页。例例1.计算计算(j sun)：第9页/共19页第九页，共19页。第10页/共19页第十页，共19页。例例2第11页/共19页第十一页，共19页。第12页/共19页第十二页，共19页。探索探索3 3如图：已知如图：已知 ，试判断试判断 与与 是否共线是否共线 ABDEC 与与 共线共线 解：解：第13页/共19页第十三页，共19页。思考思考(sko):问题问题问题问题2 2：如果：如果：如果：如果 向量向量向量向量a a与与与与b b共线共线共线共线 那么，那么，那么，那么，b=b=a a？问题问题问题问题1 1：如果：如果：如果：如果 b=b=a,a,那么，向量那么，向量那么，向量那么，向量a a与与与与b b是否共线？是否共线？是否共线？是否共线？对于向量对于向量对于向量对于向量 a(a0),b a(a0),b，以及实数，以及实数，以及实数，以及实数,第14页/共19页第十四页，共19页。向量向量(xingling)共共线定理线定理 对于向量对于向量a（a 0）、）、b，如果有一个实数，如果有一个实数，使，使 b=a，那么由实数与向量的积的定义知，那么由实数与向量的积的定义知，a与与b共线共线.反过来，已知向量反过来，已知向量a与与b共线，共线，a 0，且向量，且向量b的长度是向量的长度是向量a的的倍，即倍，即|b|a|=，那么当，那么当向量向量a与与b同方向时，有同方向时，有b=a，当向量，当向量a与与b反方反方向时，有向时，有b=-a.也就是说：如果也就是说：如果a与与b共线，那么有且只有一共线，那么有且只有一个实数个实数 ，使，使b=a.第15页/共19页第十五页，共19页。例例3:如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，M是是AB的的中点，点中点，点N是是BD上的一点，上的一点，求证求证M、N、C三点共线三点共线.AMBCDN提示：设提示：设提示：设提示：设AB =AB =a a BC =BC =b b则则则则MN=MN=a+a+b b MC=MC=a+a+b b 所以M.N.C三点(sn din)共线第16页/共19页第十六页，共19页。一、一、一、一、a a 的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理向量共线定理向量共线定理 (a0)(a0)b=b=a a 向量向量向量向量a a与与与与b b共线共线共线共线 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：1.1.证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2.2.证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:AB=:AB=BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 3.3.证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行:AB=AB=CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD第17页/共19页第十七页，共19页。第18页/共19页第十八页，共19页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第19页/共19页第十九页，共19页。
