数学问题学习教案.pptx
数学数学(shxu)问题问题第一页，共26页。课程课程(kchng)安排安排l l6.1 有趣的整数l l6.2 素数l l6.3 阶乘l l6.4 求的近似值l l6.5 方程求解l l6.6 矩阵(j zhn)的运算l l6.7 一元多项式的运算第1页/共26页第二页，共26页。6.1 有趣(yuq)的整数如果(rgu)一个数恰好等于其因子之和，这个数就称为完数。6.1.1 完数6=12328=124714 求10000以内的所有完数的过程：（1）则用n去除以1n之间的所有整数，将能整除的被除数保存到一个数组中，作为n的一个因子。（2）用数n减去该因子，以方便计算各因子之和是否正好等于n。（3）继续重复步骤1和步骤2，直至将所有整数除完为止。（4）最后(zuhu)判断各因子之和是否等于数n，若相等，则数n为完数，输出该数和各因子。第2页/共26页第三页，共26页。6.1 有趣(yuq)的整数 假设有a、b两个数，若a的所有因子之和等于b的所有因子之和，并且a不等于b，则称a和b是一对亲密数。如284和220就是一对亲密数。若要找出10000以内的亲密数，可使用以下算法：（1）对每一个数a，将其因子分解出来，并将因子保存到一个数组中，再将因子之和保存到变量b1。（2）将因子之和b1再进行因子分解，并将因子保存到一个数组中，将因子之和保存到变量b2中。（3）若b2等于a，并且b1不等于b2，则找到一对亲密数为a和b1，可将其输出。（4）重复步骤(bzhu)（1）（3），即可找出指定范围的亲密数。6.1.2 亲密(qnm)数第3页/共26页第四页，共26页。6.1 有趣(yuq)的整数 一个三位数，若数值等于(dngy)各位数字的三次幂之和，就称为“水仙花数”。6.1.3 水仙花数第4页/共26页第五页，共26页。6.1 有趣(yuq)的整数 所谓自守数，是指一个数的平方的尾数等于该数自身的自然数。例如(lr)：6的平方等于36，尾数是6，所以6是自守数；25的平方等于625，尾数是25，所以25是自守数。6.1.4 自守数2第5页/共26页第六页，共26页。6.1 有趣(yuq)的整数l l欧几里德算法欧几里德算法l l 欧几里德算法采用欧几里德算法采用(ciyng)(ciyng)辗辗转相除的方法来求最大公约数，这是计转相除的方法来求最大公约数，这是计算两个数最大公约数的传统算法算两个数最大公约数的传统算法l l其算法思路为：其算法思路为：l l（1 1）对于已知两数）对于已知两数mm、n n，使，使mnmn；l l（2 2）mm除以除以n n得余数得余数r r；l l（3 3）若）若r=0r=0，则，则n n为求得的最大公约数，为求得的最大公约数，跳至第（跳至第（5 5）求最小公倍数；否则执行第）求最小公倍数；否则执行第4 4步；步；l l（4 4）将）将n n的值保存到的值保存到mm中，将中，将r r的值保存的值保存到到n n中，重复执行步骤（中，重复执行步骤（2 2）和（）和（3 3）。）。l l（5 5）有了两数的最大公约数，则最小公）有了两数的最大公约数，则最小公倍数就很简单了，将两数相乘的积除以倍数就很简单了，将两数相乘的积除以最大公约数即可。最大公约数即可。6.1.5 最大公约数最小公倍数第6页/共26页第七页，共26页。6.1 有趣(yuq)的整数l lSteinStein算法算法l l Stein Stein算法只有整数的移位和加减法，算法只有整数的移位和加减法，而不需要进行而不需要进行(jnxng)(jnxng)除法和取模运算，这将提除法和取模运算，这将提高算法的执行效率。高算法的执行效率。l lSteinStein算法如下（求算法如下（求a a、b b两数的最大公约数）：两数的最大公约数）：l l（1 1）首先判断）首先判断a a或或b b是否为是否为0 0，若，若a=0a=0，b b就是最就是最大公约数；若大公约数；若b=0b=0，a a就是最大公约数，完成计就是最大公约数，完成计算操作。算操作。l l（2 2）设）设a1=aa1=a、b1=bb1=b和和c1=1c1=1。l l（3 3）判断）判断anan和和bnbn是否为偶数，若都是偶数，则是否为偶数，若都是偶数，则使使an+1=an/2an+1=an/2，bn+1=bn/2bn+1=bn/2，cn+1=cn*2cn+1=cn*2。l l（4 4）若）若anan是偶数，是偶数，bnbn是奇数，则使是奇数，则使an+1=an/2an+1=an/2，bn+1=bnbn+1=bn，cn+1=cncn+1=cn。l l（5 5）若）若bnbn是偶数，是偶数，anan是奇数，则使是奇数，则使bn+1=bn/2bn+1=bn/2，an+1=anan+1=an，cn+1=cncn+1=cn。l l（6 6）若）若anan和和bnbn都是奇数，则使都是奇数，则使an+1=|an-bn|an+1=|an-bn|，bn+1=min(an,bn)bn+1=min(an,bn)，cn+1=cncn+1=cn。l l（7 7）n n累加累加1 1，跳转到第，跳转到第3 3步进行步进行(jnxng)(jnxng)下一轮下一轮运算。运算。6.1.5 最大公约数最小公倍数第7页/共26页第八页，共26页。6.2 素数(s sh)所谓素数，是指除了所谓素数，是指除了1 1和自身和自身(zshn)(zshn)之外，没有别的因之外，没有别的因数的数。除了数的数。除了1 1和自身和自身(zshn)(zshn)外，还有别的因数的数是合数。外，还有别的因数的数是合数。1 1既不是素数也不是合数。素数的分布是没有规律的。如：既不是素数也不是合数。素数的分布是没有规律的。如：101101、401401、601601、701701都是素数，但上下面的都是素数，但上下面的301301和和901901却是合却是合数。数。要求要求N N是不是素数，可用是不是素数，可用N N逐个除以逐个除以2N-12N-1之间的数，若某之间的数，若某个数能被整除，则表示该数不是素数个数能被整除，则表示该数不是素数 6.2.1 求素数(s sh)第8页/共26页第九页，共26页。6.2 素数(s sh)所谓回文数，是指一个多位数在按位读时，无论从左向右还是所谓回文数，是指一个多位数在按位读时，无论从左向右还是从右向左倒序读取，其结果都是一样的特征。例如从右向左倒序读取，其结果都是一样的特征。例如(lr)(lr)：1111、2222、101101、111111、818818、1232112321等。等。回文数素数回文数素数平方回文数平方回文数6.2.2 回文(hu wn)素数第9页/共26页第十页，共26页。6.2 素数(s sh)所谓哥德巴赫猜想，是指哥德巴赫在教学中发现，所谓哥德巴赫猜想，是指哥德巴赫在教学中发现，每个不小于每个不小于6 6的偶数都是两个素数之和。大家都相信这个的偶数都是两个素数之和。大家都相信这个(zh ge)(zh ge)猜想是正确的，但不能证明。猜想是正确的，但不能证明。对于哥德巴赫猜想的验证，算法很简单，其基本思路对于哥德巴赫猜想的验证，算法很简单，其基本思路是：设是：设n n为大于等于为大于等于6 6的一个偶数，可将其分解为的一个偶数，可将其分解为n1n1和和n2n2两个数，分别检查两个数，分别检查n1n1和和n2n2是否为素数，如都是，则在该是否为素数，如都是，则在该数得到验证。若数得到验证。若n1n1不是素数，就不必再检查不是素数，就不必再检查n2n2是否素数。是否素数。先从先从n1=2n1=2开始，检验开始，检验n1n1和和n2n2（n2=n-n1n2=n-n1）是否素数。然）是否素数。然后使后使n1+2n1+2再检验再检验n1n1、n2n2是否素数是否素数，直到，直到n1=n/2n1=n/2为止。为止。6.2.3 哥德巴赫猜想第10页/共26页第十一页，共26页。6.3 阶乘(ji chn)l l6.3.1 6.3.1 用递归计算阶乘用递归计算阶乘(ji chn)(ji chn)l l6.3.2 6.3.2 大数阶乘大数阶乘(ji chn)(ji chn)第11页/共26页第十二页，共26页。6.4 求的近似值6.4.1 概率法第12页/共26页第十三页，共26页。6.4 求的近似值6.4.2 割圆法第13页/共26页第十四页，共26页。6.4 求的近似值6.4.3 公式(gngsh)法第14页/共26页第十五页，共26页。6.4 求的近似值6.4.4 计算(j sun)任意位数的第15页/共26页第十六页，共26页。6.5 方程(fngchng)求解6.5.1 高斯消元法解线性方程组第16页/共26页第十七页，共26页。6.5 方程(fngchng)求解6.5.2 二分法解非线性方程(fngchng)二分法又称对分法，是最简单的求解一元非线性方程根的算法之一。其基本思想是：将含根区间I逐次分半缩小，得到(d do)一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列I1、I2，在给定根的误差界时，利用Ik的长度趋于0的特点，可得到(d do)在某个区间I中求得满足要求的近似根。第17页/共26页第十八页，共26页。6.5 方程(fngchng)求解6.5.3 牛顿(ni dn)迭代法解非线性方程 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似(jn s)求解方程的方法。迭代法的基本思想就是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似(jn s)解来计算新的近似(jn s)解的迭代式，然后选取方程的某个初始近似(jn s)值x0代入迭代式，反复这个过程使得到的根逐渐逼近于真实根，直到满足精度为止。导函数：导函数：第18页/共26页第十九页，共26页。6.6 矩阵(j zhn)运算6.6.1 矩阵加法和乘法(chngf)运算1.矩阵(j zhn)加法运算2.矩阵乘法运算第19页/共26页第二十页，共26页。6.6 矩阵(j zhn)运算6.6.2 多维矩阵(j zhn)转一维矩阵(j zhn)二维矩阵(j zhn)转一维矩阵(j zhn)下标公式（以行为主）：loc=row*每行元素数量+column二维矩阵(j zhn)转一维矩阵(j zhn)下标公式（以列为主）：loc=column*每列元素数量+row第20页/共26页第二十一页，共26页。6.6 矩阵(j zhn)运算6.6.3 逆矩阵(j zhn)对于n阶方阵(fn zhn)A，如果存在一个n阶方阵(fn zhn)B，使得AB=BA=C（C为n阶单位矩阵），则把方阵(fn zhn)B称为A的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1，即B=A-1 第21页/共26页第二十二页，共26页。6.6 矩阵(j zhn)运算6.6.4 稀疏(xsh)矩阵 将表示稀疏矩阵的非0元素的三元组按行优先(yuxin)（或列优先(yuxin)）的顺序排列，并依次存放在数组中，这种稀疏矩阵的顺序存储结构称为三元组表。第22页/共26页第二十三页，共26页。6.7 一元(y yun)多项式的运算6.7.1 多项式加法(jif)一元多项式加法(jif)运算的规则非常简单，就是将具有相等幂项的系数相加即可得到合并后的多项式。若某个幂只存在于一个多项式中，则直接合并到结果中。结果：结果：第23页/共26页第二十四页，共26页。6.7 一元(y yun)多项式的运算6.7.2 多项式减法(jinf)与多项式加法类似，两个一元(y yun)多项式相减也只是将具有相等幂项的系数相减即可，若某个幂只存在于被减项，则直接合并到结果中，若某个幂只存在于减项，则将其系数符号取反（乘以-1），再合并到结果中。第24页/共26页第二十五页，共26页。性格决定命运,专注(zhunzh)成就人生第25页/共26页第二十六页，共26页。
