数理统计大数定律学习教案.pptx
会计学1数理统计大数数理统计大数(d sh)定律定律第一页，共28页。例例2 2 测量一个长度测量一个长度a,a,一次测量的结果一次测量的结果(ji gu)(ji gu)不见得就等于不见得就等于a,a,量了若干次量了若干次,其算术平均值仍不见得等于其算术平均值仍不见得等于a,a,但当测但当测量的次数很多时量的次数很多时,算术平均值接近于算术平均值接近于a a几乎是必然的几乎是必然的.例例1 1 掷一颗均匀的正六面体的骰子掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现一点的概率出现一点的概率是是1/6,1/6,在掷的次数比较少时在掷的次数比较少时,出现一点的频率可能出现一点的频率可能(knng)(knng)与与1/61/6相差得很大相差得很大.但是在掷的次数很多时但是在掷的次数很多时,出现一点的频率接近出现一点的频率接近1/61/6几乎是必然的几乎是必然的.一、问题一、问题(wnt)的引入的引入第1页/共28页第二页，共28页。这两个这两个(lin)例子例子说明：说明：在大量随机现象在大量随机现象在大量随机现象在大量随机现象(xinxing)(xinxing)(xinxing)(xinxing)中中中中,不仅看到了随不仅看到了随不仅看到了随不仅看到了随机事件的频率具有稳定性机事件的频率具有稳定性机事件的频率具有稳定性机事件的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值的而且还看到大量测量值的而且还看到大量测量值的而且还看到大量测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。论的大数定律的客观背景。论的大数定律的客观背景。论的大数定律的客观背景。大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并论证了它成立的并论证了它成立的条件条件,即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复(chngf)的随机现象呈现的规律性即稳定性的随机现象呈现的规律性即稳定性.第2页/共28页第三页，共28页。定理定理(dngl)5.1 契比雪契比雪夫不等式夫不等式证明证明(zhngmng)取连续型随机变量的情况取连续型随机变量的情况(qngkung)来证明来证明.切比雪夫不等式切比雪夫不等式第3页/共28页第四页，共28页。得得第4页/共28页第五页，共28页。切比雪夫不等式只利用切比雪夫不等式只利用(lyng)随机变量的数学期望及方随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。差就可对的概率分布进行估计。从切比雪夫不等式还可以看出从切比雪夫不等式还可以看出,对于给定的对于给定的 0,当方差当方差越小时，事件越小时，事件|X-E(X)|发生的概率也越小，即发生的概率也越小，即X的取值的取值越集中在越集中在E(X)附近这进一步说明方差确实是一个描述随附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量机变量与其期望值离散程度的一个变量 当当D(X)已知时，切比雪夫不等式给出了已知时，切比雪夫不等式给出了X与与E(X)的偏差的偏差小于小于 的概率的估计值的概率的估计值 切比雪夫不等式的用途：切比雪夫不等式的用途：（1 1）证明）证明(zhngmng)(zhngmng)大数定律；大数定律；（2 2）估计事件的概率或区间内取值的下界。）估计事件的概率或区间内取值的下界。第5页/共28页第六页，共28页。例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平，每一毫升白细胞数平均是均是7300，均方差，均方差(fn ch)是是700.利用切比雪夫不利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意依题意(t y)，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400)做题时如何做题时如何(rh)(rh)选选取取？第6页/共28页第七页，共28页。由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|2100即估计即估计(gj)每毫升白细胞数在每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率不小于不小于8/9.P(5200 X 9400)=P(-2100 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|2100第7页/共28页第八页，共28页。【例【例5-2】已知】已知n重伯努利试验中参重伯努利试验中参数数p，问至少应做多少次试验，才，问至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在和之间的能使试验成功的频率在和之间的概率概率(gil)不低于？不低于？解：解：设需做设需做n次试验，其中成功次试验，其中成功的次数为的次数为X，则则XB(n，p)，E(X)=np，D(X)=np(1 p)。因为因为根据契比谢夫不等式应有根据契比谢夫不等式应有第8页/共28页第九页，共28页。令令 解得解得所以至少所以至少(zhsho)应做应做18750次试次试验验第9页/共28页第十页，共28页。例例3:在供暖的季节在供暖的季节,住房的平均温度为住房的平均温度为20度度,标准标准差为差为2度度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于值小于4度的概率度的概率(gil)的下界的下界.解解第10页/共28页第十一页，共28页。n n【练习】若某班某次考试的平均【练习】若某班某次考试的平均分为分为80分，标准差为分，标准差为10，试估计及，试估计及格率至少为多少？格率至少为多少？n n 解：用随机变量解：用随机变量X表示学生成绩，表示学生成绩，则数学则数学(shxu)期望期望E(X)=80，方差方差D(X)=100，所以，所以n nP60 X 100 P60 X 100n n =P|X 80|1k 1）,则则则则 证：因为证：因为证：因为证：因为X1X1，X2X2，XnXn独立同分布独立同分布独立同分布独立同分布(fnb)(fnb)，所以所以所以所以 独立同分布独立同分布独立同分布独立同分布(fnb)(fnb)。又又又又 =k k存在，由辛钦大数定律：存在，由辛钦大数定律：存在，由辛钦大数定律：存在，由辛钦大数定律：第27页/共28页第二十八页，共28页。
