人教高中数学选修数学归纳法及其应用举例.pptx

会计学1人教高中数学选修人教高中数学选修 数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用(yngyng)举例举例第一页，共35页。问题问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌唱歌(chn)，第二个节目是唱歌，第二个节目是唱歌(chn)、第三个节目也是唱歌、第三个节目也是唱歌(chn)，能否断定整，能否断定整台晚会都是唱歌台晚会都是唱歌(chn)？问题问题(wnt)2：有一台晚会，若知道唱歌的节目：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题问题3：有一台晚会，若知道第一个节目：有一台晚会，若知道第一个节目(jim)是唱歌，如果一个节目是唱歌，如果一个节目(jim)是唱歌是唱歌则它后面的节目则它后面的节目(jim)也是唱歌，能否断定也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？整台晚会都是唱歌？一、设置情景，导学探究：一、设置情景，导学探究：第1页/共35页第二页，共35页。多米诺骨牌课件演示多米诺骨牌课件演示(ynsh)如何保证骨牌一一倒下？需要哪些如何保证骨牌一一倒下？需要哪些(nxi)(nxi)条件？条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证必须保证(bozhng)下一块要相继倒下。下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下-递推关系；递推关系；即第即第k块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第k+1块也倒下块也倒下-奠基；奠基；第2页/共35页第三页，共35页。所以所以n=k+1时结论也成立时结论也成立那么那么求求证证(qizhng)(一定一定(ydng)要用上假设要用上假设)第3页/共35页第四页，共35页。二、挖掘二、挖掘(wju)(wju)内涵、形成概念：内涵、形成概念：证明证明(zhngmng)(zhngmng)某些与自然数有关的数学题某些与自然数有关的数学题,可用下列可用下列方法来证明方法来证明(zhngmng)(zhngmng)它们的正确性它们的正确性:(1)(1)验证当验证当n n取第一个值取第一个值n0(n0(例如例如n0=1)n0=1)时命题成立时命题成立,(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(kN*N*，k kn0)n0)时命题成立时命题成立,证明证明(zhngmng)(zhngmng)当当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n0n0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做(jiozu)(jiozu)数学归纳法。数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。【归纳奠基归纳奠基】【归纳递推归纳递推】第4页/共35页第五页，共35页。数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论其格式主要有两个步骤、一个结论(jiln):(jiln):（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n0n0（如（如 n0=1 n0=1或或2 2等）时结论等）时结论(jiln)(jiln)正确；正确；验证初始条件验证初始条件-游戏开始游戏开始（2 2）假设）假设n=kn=k时结论时结论(jiln)(jiln)正确，证明正确，证明n=k+1n=k+1时结论时结论(jiln)(jiln)也正确；也正确；假设推理假设推理-游戏规则游戏规则（3 3）由（）由（1 1）、（）、（2 2）得出结论）得出结论(jiln).(jiln).点题点题找准起点找准起点(qdin)(qdin)奠基要稳奠基要稳用上假设用上假设(jish)(jish)递推才真递推才真写明结论写明结论才算完整才算完整特别提醒：特别提醒：第5页/共35页第六页，共35页。证明证明:(1)当当n=1时时左左1，右，右121n=1时，等式成立时，等式成立(chngl)(2)假设假设n=k时，等式成立时，等式成立(chngl)，即，即1+3+5+(2k 1)=k2那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时等式成立时等式成立(chngl)由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立(chngl)递推基础递推基础(jch)递推依据递推依据(yj)例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+3+5+(2n 1)=n2证明证明:(1)当当n=1时时左左1，右右121n=1时，时，等式成立等式成立(2)假设假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1+3+5+(2k 1)=k2那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时等式成立时等式成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立第6页/共35页第七页，共35页。证明：证明：1、当、当n=1时时,左左=12=1，右，右=n=1时，等式时，等式(dngsh)成立成立2、假设、假设n=k时，等式时，等式(dngsh)成立，即成立，即那么，当那么，当n=k+1时时左左=12+22+k2+(k+1)2=右右n=k+1时，原不等式时，原不等式(dngsh)成立成立由由1、2知当知当nN*时，原不等式时，原不等式(dngsh)都成立都成立练练1、用数学、用数学(shxu)归纳法证明：归纳法证明：第7页/共35页第八页，共35页。例例:如下如下(rxi)证明证明对吗？对吗？证明证明(zhngmng)：当当n=1时，左边时，左边右边(yu bian)等式成立。等式成立。设设n=k时，有时，有那么，当那么，当n=k+1时，有时，有即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据问可知，对问可知，对n N，等式成立，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。第8页/共35页第九页，共35页。(1)在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到n=k命命题成立这一归纳假设题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系逻辑严密关系,造成推理造成推理(tul)无效无效.证明证明(zhngmng)中的几个注意问题：中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1取起，证明取起，证明(zhngmng)时应根据具体情况而定时应根据具体情况而定.例例:欲用数学归纳法证明欲用数学归纳法证明2nn2,试问试问n的第一个取的第一个取值应是多少值应是多少?答答:对对n=1,2,3,逐一尝试逐一尝试,可知初始值为可知初始值为n=5.第9页/共35页第十页，共35页。例例:用数学用数学(shxu)归纳法证明归纳法证明:(3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立时命题成立时,要分析命要分析命题的结构题的结构(jigu)特点特点,分析分析“n=k+1时时”命题是什么，并命题是什么，并找出与找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清应增加的项弄清应增加的项.第10页/共35页第十一页，共35页。(1)在第二步中在第二步中,证明证明(zhngmng)n=k+1命题成立时命题成立时,必必须用到须用到n=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无造成推理无效效.证明证明(zhngmng)中的几个注意问题：中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1取起，证明取起，证明(zhngmng)时时应根据具体情况而定应根据具体情况而定.(3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立时命题成立时,要要分析命题的结构特点分析命题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是什命题是什么，并找出与么，并找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清弄清应增加的项应增加的项.第11页/共35页第十二页，共35页。练习练习(linx)巩巩固固1、证明：证明：在验证在验证n=1n=1成立时，左边计算所得的结果是（成立时，左边计算所得的结果是（）A A 1 1 B.B.C C D.D.2 2.已知已知:则则 等于等于()()A:B:A:B:C:D:C:D:第12页/共35页第十三页，共35页。这就是说当这就是说当 时等式成立，时等式成立，所以所以 时等式成立时等式成立.思考思考1：下列推证是否正确，并指出原因下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：证明：假设证明：假设 时，等式成立，时，等式成立，就是就是那么那么第13页/共35页第十四页，共35页。思考思考2：下面是某同学用数学归纳法证明命题下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程的过程.你认为他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么?(1)当当n=1时时,左边左边=,右边右边=(2)假设假设n=k(kN*)时命题成立时命题成立，那么那么n=k+1时时,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确.=右边右边,左边左边第14页/共35页第十五页，共35页。思考思考3：下列证法对吗？下列证法对吗？用数学归纳法证（用数学归纳法证（nNnN+):):1+2+3+1+2+3+2n=n(2n+1)+2n=n(2n+1)证明：证明：1)左边左边=1=2)2)假设假设n=kn=k时等式成立时等式成立,即即:1+2+3+1+2+3+2k=k(2k+1).+2k=k(2k+1).1+2+3+1+2+3+2k+2(k+1)+2k+2(k+1)=k(2k+1)+2(k+1)=k(2k+1)+2(k+1)=那么那么，n=k+1 n=k+1 时时，1+2+3+1+2+3+2k=k(2k+1).+2k=k(2k+1).1+2+3+1+2+3+2k+2k+(2k+1)+2(k+1)(2k+1)+2(k+1)=k(2k+1)+=k(2k+1)+(2k+1)+2(k+1)(2k+1)+2(k+1)=那么那么，n=k+1 n=k+1 时时，证明：证明：1)左边左边=1+2=3=右边右边 2)2)假设假设n=kn=k时等式成立时等式成立,即即:第15页/共35页第十六页，共35页。例例、用数学归纳法证明用数学归纳法证明：121223233434n(nn(n1)1)从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)则当则当n=k+1时，时，+=n=k+1时命题正确。时命题正确。由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。=1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边=2.命题成立命题成立第16页/共35页第十七页，共35页。1）明确首先取值）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；并验证命题真假（必不可少）；2）“假设假设n=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式；并写出命题形式；3）分析）分析“n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；的差别，弄清左端应增加的项；4）明确等式）明确等式(dngsh)左端变形目标，掌握恒等式左端变形目标，掌握恒等式(dngsh)变变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明用数学归纳法证明(zhngmng)恒等式的步骤及注意事项：恒等式的步骤及注意事项：第17页/共35页第十八页，共35页。例例1、是否存在常数、是否存在常数a、b,使得等式使得等式:对一切正整数对一切正整数n都成立都成立,并证明你的结论并证明你的结论.解解:令令n=1,2,并整理得并整理得以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明:(1)当当n=1时时,由上面解法知结论由上面解法知结论(jiln)正确正确.(1)数学归纳法证明等式数学归纳法证明等式(dngsh)问题：问题：二、数学二、数学(shxu)归纳法应用举例：归纳法应用举例：第18页/共35页第十九页，共35页。(2)假设当假设当n=k时结论正确时结论正确,即即:则当则当n=k+1时时,故当故当n=k+1时时,结论结论(jiln)也正确也正确.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论结论(jiln)正正确确.第19页/共35页第二十页，共35页。例例2、已知正数数列、已知正数数列an中中,前前n项和为项和为sn,且且 用数学归纳法证明用数学归纳法证明:证证:(1)当当n=1时时,=1,结论成立结论成立.(2)假设当假设当n=k时时,结论成立结论成立,即即则当则当n=k+1时时,故当故当n=k+1时时,结论结论(jiln)也成立也成立.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论结论(jiln)都都成立成立.第20页/共35页第二十一页，共35页。(2)数学数学(shxu)归纳法证明整归纳法证明整除问题：除问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:当当n为正偶数为正偶数(u sh)时时,xn-yn能被能被x+y整除整除.证证:(1)当当n=2时时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除(zhngch),故命故命 题成立题成立.(2)假设当假设当n=2k时时,命题成立命题成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.则当则当n=2k+2时时,有有 都能被都能被x+y整除整除.故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即当即当n=2k+2时命题成立时命题成立.由由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立知原命题对一切正偶数均成立.第21页/共35页第二十二页，共35页。例例2、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:能被能被8 整除整除.证证:(1)当当n=1时时,A1=5+2+1=8,命题命题(mng t)显然显然成立成立.(2)假设当假设当n=k时时,Ak能被能被8整除整除,即即 是是8的倍数的倍数.那么那么:因为因为(yn wi)Ak是是8的倍数的倍数,3k-1+1是偶数即是偶数即4(3k-1+1)也是也是8的倍数的倍数,所以所以Ak+1也是也是8的倍数的倍数,即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)知对一切知对一切(yqi)正整数正整数n,An能被能被8整除整除.第22页/共35页第二十三页，共35页。例例3、求证、求证(qizhng):x3n-1+x3n-2+1能被能被x2+x+1整除整除.证证:(1)当当n=1时时,x3n-1+x3n-2+1=x2+x+1,从而命题从而命题(mng t)成立成立.(2)假设假设(jish)当当n=k时命题成立时命题成立,即即x3k-1+x3k-2+1能能被被 x2+x+1整除整除则当则当n=k+1时时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1)因为因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被都能被x2+x+1整除整除,所以所以上式右边能被上式右边能被x2+x+1整除整除.即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,命题成立命题成立.第23页/共35页第二十四页，共35页。例例6、平面内有、平面内有n(n 2)条直线，任何两条都不平行，任条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数何三条不过同一点，问交点的个数为多少为多少?并证明并证明.当当n=k+1n=k+1时：第时：第k+1k+1条直线条直线(zhxin)(zhxin)分别与前分别与前k k条直线条直线(zhxin)(zhxin)各交于各交于一点，共增加一点，共增加k k个点，个点，由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN原命题原命题(mng t)(mng t)均成立。均成立。证明：证明：1 1）n=2n=2时：两条直线交点个数为时：两条直线交点个数为1,1,而而f(2)=f(2)=2 2(2-1)=1,(2-1)=1,命题成立。命题成立。k+1 k+1条直线交点个数条直线交点个数=f(k)+k=k(k-1)+k=f(k)+k=k(k-1)+k =k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1=f(k+1),=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1=f(k+1),即当即当n=k+1n=k+1时命题仍成立。时命题仍成立。2 2）假设）假设n=k(kNn=k(kN,k2,k2)时，时，k k条直线交点个数为条直线交点个数为 f(k)=k(k-1),f(k)=k(k-1),(3)数学归纳法证明几何数学归纳法证明几何(j h)问题：问题：第24页/共35页第二十五页，共35页。练习练习(linx)1:凸凸n边形有边形有f(n)条对角线条对角线,则凸则凸n+1边形的对边形的对角线角线 的条数的条数f(n+1)=f(n)+_.n-1练习练习2:设有通过一点的设有通过一点的k个平面个平面,其中任何三个平面或其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条三个以上的平面不共有一条(y tio)直线直线,这这k个平面个平面将将 空间分成空间分成f(k)个区域个区域,则则k+1个平面将空间分成个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+_个区域个区域.2k第25页/共35页第二十六页，共35页。(4)数学数学(shxu)归纳法证明不等式问题：归纳法证明不等式问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:证证:(1)当当n=2时时,左边左边=不等式不等式 成立成立.(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即有即有:则当则当n=k+1时时,我们我们(w men)有有:第26页/共35页第二十七页，共35页。即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立(chngl).由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立.例例2、证明不等式、证明不等式:证证:(1)当当n=1时时,左边左边(zu bian)=1,右边右边=2,不等式显不等式显然成立然成立.(2)假设当假设当n=k时不等式成立时不等式成立,即有即有:则当则当n=k+1时时,我们我们(w men)有有:第27页/共35页第二十八页，共35页。即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立(chngl).根据根据(1)、(2)可知可知(k zh),原不等式对一切正整数都原不等式对一切正整数都 成立成立.第28页/共35页第二十九页，共35页。例例3、求证、求证:证证:(1)当当n=1时时,左边左边=,右边右边=,由于由于 故不等式成立故不等式成立.(2)假设假设n=k()时命题成立时命题成立,即即 则当则当n=k+1时时,第29页/共35页第三十页，共35页。即当即当n=k+1时时,命题命题(mng t)成成立立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立.第30页/共35页第三十一页，共35页。例例4、已知、已知x1，且，且x0，nN，n2求证求证(qizhng)：(1+x)n1+nx.（2）假设）假设n=k时，不等式成立，即时，不等式成立，即(1+x)k1+kx当当n=k+1时，因为时，因为x1，所以，所以1+x0，于是，于是左边左边(zubian)=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边右边=1+(k+1)x因为因为kx20，所以左边，所以左边(zubian)右边，即右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当这就是说，原不等式当n=k+1时也成立时也成立根据根据(1)和和(2)，原不等式对任何不小于，原不等式对任何不小于2的自然数的自然数n都成立都成立.证明证明(zhngmng)：（1）当）当n=2时，左时，左(1x)2=1+2x+x2x0，1+2x+x21+2x=右右n=1时不等式成立时不等式成立第31页/共35页第三十二页，共35页。例例5、已知、已知 求证求证:.证证:(1)当当n=2时时,不等式成立不等式成立.(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即即则当则当n=k+1时时,有有:即当即当n=k+1时时,不等式成立不等式成立(chngl).由由(1),(2)所证不等式对一切所证不等式对一切 都成立都成立.第32页/共35页第三十三页，共35页。五、小结五、小结(xioji):1.与正整数有关的数学命题可以与正整数有关的数学命题可以(ky)考虑用数学归考虑用数学归纳法证纳法证 明明,但注意不要滥用但注意不要滥用.要掌握数学归纳法的实质与步要掌握数学归纳法的实质与步 步步.2.归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的 辨证辨证(binzhng)思想思想,是数学的基本思想是数学的基本思想,数学归纳数学归纳法体现了有法体现了有 限辨证限辨证(binzhng)关系与转化的思想关系与转化的思想.3.数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一 起的起的,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法 等等.第33页/共35页第三十四页，共35页。数学数学(shxu)归纳法的第一步是递推的基础归纳法的第一步是递推的基础,有了此基础有了此基础,在在第二步中的假设才能成立第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯粹假设才不是真正意义上的纯粹假设.第二步是递推的依据第二步是递推的依据,当假设中的某些情况当假设中的某些情况(nn0)时时n取值较小的情况取值较小的情况)成为事实后成为事实后,依据第二步就可知当依据第二步就可知当n取下取下一个值时命题也成立一个值时命题也成立,如此又增加了假设中变为命题成立的如此又增加了假设中变为命题成立的n的取值的取值,经不断地循环递推便得到经不断地循环递推便得到(d do)对满足对满足nn0的所有的所有正整数命题都成立正整数命题都成立.(1)重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设设(jish)要用到，结论写明莫忘掉。要用到，结论写明莫忘掉。第34页/共35页第三十五页，共35页。