2022-2023学年山东省潍坊市安丘市高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

1 2022-2023 学年山东省潍坊市安丘市高二上学期期末数学试题（解析版）（满分：150分考试时间：120分钟）一单选题（每题 5 分，共 8 个小题，共 40 分）1.已知各项均为正数的等比数列na，123a a a=5，789a a a=10，则456a a a=A.5 2 B.7 C.6 D.4 2【答案】A【解析】【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以 a4a5a6 故答案为 考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想 2.直线1:32170la xay与直线2:21560laxay互相垂直，则a的值是（）A.13 B.17 C.12 D.15【答案】B【解析】【分析】根据两条直线垂直的条件列出方程即可求解.【详解】因为12ll，所以 3212150aaaa，解得17a 故选：B 3.已知 na中，11a，11nnnana，则数列 na的通项公式是()A.1nan B.21nna C.nan D.12nnan【答案】C【解析】2【分析】观察式子可变形为：1111nnnnannanaan（），再用叠乘法即可求解【详解】由 nan+1=（n+1）an，可得：11nnanan，又a1=1，321121nnnaaaaaaaa=231121nn=n an=n，故选 C【点睛】本题考查叠乘法求数列通向，属于基础题 4.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E 为1BB的中点，若 O 为底面1111DCBA的中心，则异面直线1C E与AO所成角的余弦值为（）A.3015 B.3030 C.815 D.2 3015【答案】D【解析】【分析】以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出1C E，AO，利用向量关系即可求出.【详解】以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，3 设2AB，则2,0,0A，1,1,2O，10,2,2C，2,2,1E.因为12,0,1C E，1,1,2AO ，所以11142 30cos,1556C E AOC E AOC EAO ，所以异面直线1C E与AO所成角的余弦值为2 3015.故选：D.5.在等比数列 na中，已知10a，则“23aa”是“36aa”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合等比数列的通项公式、充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】依题意210,0,0aqq，22231101aaa qa qqqq；253361111aaa qa qqq且0q；所以“23aa”是“36aa”的充分不必要条件.故选：A 6.已知点F，A分别为双曲线C：222210,0 xyabab的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足0FB AB，则双曲线的离心率为()A.2 B.3 C.132 D.152【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出 FBAB，利用勾股定理求得 a 和 c 关系，整理成关于 e 的方程求得双曲线的离心率【详解】FBAB 0，FBAB 4|FB|2+|AB|2|FA|2，即 c2+b2+a2+b2（a+c）2，整理得 c2a2ac0，等式除以 a2得 e2e10 求得 e152（舍负）e152 故选 D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质解题过程中关键是利用了勾股定理找到了 a和 c的关系，属于基础题.7.已知直线l过定点2,3,1A，且方向向量为0,1,1s，则点4,3,2P到l的距离为（）A.3 22 B.22 C.102 D.2【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据题意得出AP，然后求出AP与sAPs，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】因为2,3,1A，4,3,2P，所以2,0,1AP，则5AP，22sAPs，由点到直线的距离公式得223 22=sdAPAPs，故选：A.8.已知双曲线222210,0 xyabab两条渐近线与抛物线220ypx p的准线分别交于 A,B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为3，则 p=（）A.1 B.32 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程可得 A，B 两点的纵坐标，由双曲线 5 的离心率可得3ba，再根据面积即可求解.【详解】解：双曲线222210,0 xyabab，双曲线渐近线方程是byxa.又抛物线220ypx p的准线方程是2px ，故 A，B 两点的纵坐标分别是2pbya.双曲线的离心率为 2，2ca.22222213bcaeaa，则3ba.A，B 两点的纵坐标分别是322pbpya ，又AOB的面积为3，13322pp，得 p=2.故选：C.二多选题（每题 5 分，共 4 个小题，共 20 分）9.记nS为等差数列 na的前 n项和，公差为 d，若951210Saaa=，则以下结论一定正确的是（）A.0d B.25SS C.19aa D.nS取得最大值时，3n 【答案】AB【解析】【分析】对于 A BC，根据等差数列的通项公式及前 n 项和公式化简求解；对于 D，根据等差数列的通项公式及各项正负判断.【详解】由9512Saa，得111936411ad adad=，即13ad，又10a，所以1103da，选项 A 正确；由21111152233Sadaaa；51111105510533Sadaaa，得25SS，选项B正确；6 由9114185833aadaaa，得915|3aa，又10a，所以11915|3aaaa，选项 C错误；1111114(1)(1)()()333naandanana ，令0na，得14033n，解得4n，又*Nn，所以5n，即数列 na满足：当4n时，0na，当5n时，0na，所以nS取得最大值时，4n，选项 D 错误 故选：AB 10.已知定义在R上的函数 f x，其导函数 fx的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A.f af ef d B.函数 f x在,a b上递增，在,b d上递减 C.函数 f x的极值点为c，e D.函数 f x的极大值为f b【答案】ABD【解析】【分析】对 A，B 由导数与函数单调性的关系，即可判断()f a，()f b，()f c的大小以及 f x的单调性，对 C，D 由极值的定义即可判断.【详解】解：由题图知可，当,xc 时，0fx，当,xc e时，0fx，当,xe时，0fx，所以 f x在,c上递增，在,c e上递减，在,e 上递增，7 对 A，f df e，故 A 错误；对 B，函数 f x),a b上递增，在,b c上递增，在,c d上递减，故 B 错误；对 C，函数 f x的极值点为c，e，故 C 正确；对 D，函数 f x的极大值为 f c，故 D 错误.故选：ABD.11.已知斜率为3的直线 l 经过抛物线 C：22ypx（0p）的焦点 F，与抛物线 C 交于点 A，B 两点（点 A 在第一象限），与抛物线的准线交于点 D，若8AB，则以下结论正确的是（）A.111AFBF B.6AF C.2BDBF D.F 为 AD 中点【答案】BCD【解析】【分析】由条件，60 xFA,则130FDA，设BDx，所以11|,|4+22xxBFBBAA,由|4+822xxABAFBF,可解出x，可得出答案.【详解】根据题意作出其图像，过,A B分别作准线的垂线，垂直分别为11,A B如下 直线 l 的倾斜角为3，即60 xFA，则130FDA 设BDx,则1RtDBB,1RtDAA中，可得1|2xBB，1|42xAA 8 所以1|2xBBBF，1|42xAAAF|44822xxABAFBFx,解得4x 所以|2|,|6BFAF,所以 B 正确.所以1111162AFBF，所以 A 不正确.所以|4BD,满足|42|BDBF,所以 C 正确.而|426|DFBDBFAF,所以 D 正确.故选：BCD【点睛】本题考查抛物线的过焦点弦的基本性质，属于中档题.12.已知点P在圆225516xy上，点4,0A、0,2B，则（）A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当PBA最小时，3 2PB D.当PBA最大时，3 2PB 【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断 CD选项的正误.【详解】圆225516xy的圆心为5,5M，半径为4，直线AB的方程为142xy，即240 xy，圆心M到直线AB的距离为2252 541111 545512 ，所以，点P到直线AB的距离的最小值为11 5425，最大值为11 54105，A选项正确，B选项错误；如下图所示：9 当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PMPB，22052534BM，4MP，由勾股定理可得223 2BPBMMP，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取值范围是,dr dr.三填空题（每题 5 分，共 4 个小题，共 20 分）13.已知 2()21f xxfx，则 1f _.【答案】2【解析】【分析】将(1)f 作为常量对()f x求导，得到导函数，再将(1)f 作为未知量求解即可.【详解】由解析式知：()22(1)fxxf，(1)22(1)ff，解得(1)2f .故答案为：2 14.已知数列 na为等差数列，135102aaa，24699aaa，以nS表示 na的前n项和，则使得nS达到最小值的n是_.【答案】36或37【解析】【分析】求出等差数列 na的通项公式，解不等式0na 可得出结论.【详解】设等差数列 na的公差为d，由等差中项的性质可得13533102aaaa，可得334a ，10 2464399aaaa，则433a ，所以，431daa，所以，3334337naandnn ，由370nan可得37n，故当36n 或37时，nS取得最小值.故答案为：36或37.15.在三棱柱111ABCABC中，底面为棱长为 1 的正三角形，侧棱1AA 底面ABC，点D在棱1BB上，且1BD，则AD与平面11AAC C所成的角的正弦值为_.【答案】64【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】解：取AC中点O，连接OB，过点O作1/Oz AA，依题意可得BOAC，1AA 底面ABC，所以Oz 底面ABC，如图建立空间直角坐标系，则10,02A，3,0,12D，所以3 1,122AD，又平面11AAC C的法向量可以为1,0,0n，设AD与平面11AAC C所成的角为，所以362sin42AD nADn，AD与平面11AAC C所成的角的正弦值为64.故答案为：64 11 16.已知32()263f xxx，对任意的2 2x ，都有()f xa，则a的取值范围为_.【答案】3)，【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数 a 的取值范围.【详解】由2()6120fxxx得0 x 或2x，在区间-2,0)上 0fx,f x单调递增；在(0,2)内时 0,fxf x单调递减.又(2)37f ，(0)3f，(2)5f，max()3f x，又()f xa对于任意的 x-2,2恒成立，3a，即 a 的取值范围是3,故答案为：3,.【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值.四解答题（共 6 个小题，共 70 分）17.已知关于 x，y 的方程 C：22240.xyxym（1）当 m 为何值时，方程 C 表示圆；（2）在（1）的条件下，若圆 C 与直线 l：240 xy相交于 M、N 两点，且|MN|4 55，求 m 的值.【答案】（1）m5；（2）m4【解析】【分析】（1）求出圆的标准方程形式，即可求出 m 的值；（2）利用半径，弦长，弦心距的关系列方程求解即可【详解】解：（1）方程 C 可化为22125xym，显然只要 5m0，即 m5 时，方程 C 表示圆；（2）因为圆 C 的方程为22125xym，其中 m5，12 所以圆心 C（1，2），半径5rm，则圆心 C（1，2）到直线 l：x2y40 的距离为221 2 241512d ，因为|MN|4 55，所以12|MN|2 55，所以2212555m，解得 m4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键 18.已知数列 na各项均为正数，其前n项和为nS，且满足241nnSa.（1）求数列 na的通项公式.（2）设11nnnba a，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan；（2）21nnTn.【解析】【分析】（1）由=1n可得11a，再由2n时，21141nnSa与条件作差可得12nnaa，从而利用等差数列求通项公式即可；（2）由nb1(21)(21)nn利用裂项相消求和即可.【详解】（1）241nnSa，21141aa，解得11a，当2n时，由241nnSa可得，21141nnSa，：1120nnnnaaaa，0na，10nnaa，120nnaa，即12nnaa，na是以11a 为首项，以2d 为公差的等差数列，13 1(1)12(1)21naandnn 综上所述，结论是：21nan.（2）由（1）可得11nnnba a1(21)(21)nn1112 2121nn 2nanTbbb111111123352121nn 11122121nnn，综上所述，21nnTn.19.已知数列 na中，11a，*13nnnaanNa（1）证明：数列112na是等比数列（2）若数列 nb满足312nnnnnba，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析；（2）1242nnnT.【解析】【分析】（1）由*13nnnaanNa可得11111322nnaa，然后可得答案；（2）由（1）可算出231nna，12nnnb，然后用错位相减法可算出答案.【详解】（1）证明：由*13nnnaanNa，知11111322nnaa 又111322a，112na是以32为首项，3 为公比的等比数列（2）解：由（1）知111333222nnna，231nna，12nnnb 0122111111123(1)22222nnnTnn 211111112(1)22222nnnTnn 14 两式相减得012111111222222222nnnnTnn 1242nnnT 20.如图，边长为 2 的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，2 2BC，M为BC的中点.（1）证明：AMPM；（2）求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；（3）求点D到平面AMP的距离.【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2 63【解析】【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AMPM；（2）求出平面ABCD的法向量和平面APM的法向量，利用向量法能求出平面PAM与平面ABCD夹角的大小；（3）求出平面APM的法向量，利用向量法能求出点D到平面AMP的距离【详解】解：（1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则(2 2A，0，0)，(2M，2，0)，(0P，1，3)，(2AM ，2，0)，(2PM，1，3)，2200AMPM ，AMPM；（2）平面ABCD的法向量(0m，0，1)，(2AM ，2，0)，(2 2AP ，1，3)，设平面APM的法向量(nx，y，)z，15 则2202 230n AMxyn APxyz ，取2x，得(2n，1，3)，设平面PAM与平面ABCD夹角的大小为，则|32cos|26m nmn，4，平面PAM与平面ABCD夹角的大小为4；（3）(0D，0，0)，(2 2AD ，0，0)，平面APM的法向量(2n，1，3)，点D到平面AMP的距离为：|42 6|36n ADdn 21.已知 22lnf xxxa x.（1）若函数 f x在2x 处取得极值，求实数a的值；（2）若 g xf xax，求函数 g x的单调递增区间；【答案】（1）4a （2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据 20f，求出a的值，检验即可；（2）求出()g x的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调递增区间即可；【小问 1 详解】解：因为 22lnf xxxa x，所以 22afxxx，依题意 20f，即2 2202a，解得4a ，16 此时 224lnf xxxx，则 222221422xxxxfxxxxx，所以当2x 时0fx，当02x时 0fx，所以 f x在0,2上单调递减，在2,上单调递增，则 f x在2x 处取得极小值，符合题意，所以4a .小问 2 详解】解：因为 22lnf xxxa x，所以 22lng xf xaxxxa xax，0,x，则 2222122xa xaxaxagxxaxxx，令()0g x，则1x 或2ax，1当0a 时，令()0g x可得1x，函数()g x的单调递增区间为(1,)；2当02a时，令()0g x，可得02ax或1x，函数()g x的单调递增区间为0,2a，1,；3当2a 时，()0g x在,()0 x上恒成立，函数()g x的单调递增区间为(0,)；4当2a 时，令()0g x可得：01x或2ax，函数()g x的单调递增区间为0,1，,2a；综上可得：当0a 时单调递增区间为(1,)，当02a时单调递增区间为0,2a，1,，当2a 时单调递增区间为(0,)，当2a 时单调递增区间为0,1，,2a.22.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为12，以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60 xy相切.（1）求椭圆 C 的标准方程；17（2）若直线:l ykxm与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且22OAOBbkka.求证：AOB的面积为定值.【答案】（1）22143xy；（2）AOB的面积为定值3.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率等于12，原点O到直线60 xy的距离等于b及隐含条件222cab联立方程组求解2a，2b的值，则椭圆C的标准方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得|AB，由点到直线的距离公式求得O到AB的距离，代入三角形的面积公式证得答案【详解】（1）解：由题意得22221240062cacabab，23b 椭圆的方程为22143xy；（2）证明：设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则A，B的坐标满足22143xyykxm，消去y化简得222(34)84120kxkmxm 21212228412,3434kmmxxx xkk，由0，得22430km 2212121 212()()()y ykxm kxmk x xkm xxm 222222224128312()343434mkmmkkkmmkkk 2234OAOBbkka ，18 121234y yx x，即121234y yx x 222223123 412344 34mkmkk，即22243mk 2222212122248(43)|(1)()4(1)(34)kmABkxxx xkk 22222248(1)3424(1)(34)234kkkkk 又O点到直线ykxm的距离2|1mdk，22211|24(1)|22341AOBmkSd ABkk 222222124(1)13424321342234mkkkkk为定值【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.