2021-2022学年江苏省连云港市东海县高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年江苏省连云港市东海县高二下学期期中数学试题 一、单选题 1从 6 名同学中选出正、副组长各 1 名，不同的选法种数为（）A6 B7 C15 D30【答案】D【分析】根据题意，从 6 名同学中选出正、副组长各 1 名是个排列问题，可得答案.【详解】从 6 名同学中选出正、副组长各 1 名，不同的选法有26A6 530种，故选：D 2已知随机变量21,XN，且10.8P X ，则13PX 的值为（）A0.3 B0.4 C0.6 D0.8【答案】C【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】解：1321120.80.50.6PXPX ，故选：C.320222023被22022除的余数是（）A1 B0 C2023 D2022【答案】A【分析】利用二项式定理展开20222022220221023，可得出20222023被22022除的余数.【详解】因为20222022120212020220212022202220202222202212022C2022+C2022C202212023 202212021202022202220222022C2022+C202220221 220201201920202022202220222022C2022C11，因此，20222023被22022除的余数是1.故选：A.4甲和乙两个箱子中各装有 10 个球，其中甲箱中有 5 个红球、5 个白球，乙箱中有 8个红球、2 个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为 1 或 2，从甲箱子随机摸出 1 个球；如果点数为 3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出 1 个球.则摸到红球的概率为（）A12 B35 C710 D1320 第 2 页 共 15 页【答案】C【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为 1 或 2 的概率为2163，再从甲箱中摸到红球的概率为51102，故从甲箱中摸到红球的概率为1111326P；从乙箱中摸红球：掷到点数为 3，4，5，6 的概率为4263，再从乙箱中摸到红球的概率为84105，故从乙箱中摸到红球的概率为22483515P；综上所述：摸到红球的概率为710 故选：C 5同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为1X，2X，记12min,XX X，则24PX（）A512 B712 C13 D12【答案】B【分析】分别求出随机变量2X、3X、4X 时的概率，再利用互斥事件的加法公式计算作答.【详解】依题意，随机变量X满足24X的事件是2X、3X、4X 的 3 个互斥事件的和，而21222C4C(2)6P X，21222C3C(3)6P X，21222C2C(4)6P X，所以212121222222222C4CC3CC2C9757666361224PX.故选：B 6在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，1CACBCC，若D，E分别是AB，AC的中点，则1B D与1AE所成角的余弦值为（）A1510 B3010 C1515 D3015【答案】B【分析】作11BC中点F，连接1EFAFEDC E、，证1FEA为1B D与1AE所成角，再根据余弦定理去求1FEA的余弦值即可【详解】如图，作11BC中点F，连接1EFAFEDC E、，在直三棱柱111ABCABC中，第 3 页 共 15 页 由D，E分别是AB，AC的中点，得1111111CC22DEBCBDEBCBB F、，所以四边形1B FED为平行四边形，所以1B DFE，所以1FEA为1B D与1AE所成角，由ACBC，设1CACBCCa，易得222211155622222,aaaaaECAEAFaFE=，由余弦定理得221230cos1056522262522aaaaaFEA，故选：B 7在三棱锥PABC中，PAa，PBb，PCc，点M在棱PA上，且2PMMA，N为BC中点，则MN等于（）A121232abc B211322abc C111222abc D221332abc【答案】B【分析】根据向量加法、减法和数乘向量的运算法则即可求解.【详解】解：连接 PN，因为2PMMA，N为BC中点，所以2233PMPAa，1122PNPBPCbc，所以MNPNPM112223bca，第 4 页 共 15 页 故选：B.8设72345670123456721xaa xa xa xa xa xa xa x，则1234567234567aaaaaaa（）A10206 B5103 C729 D728【答案】A【分析】首先两边同时取导数，再写出621x 展开式的通项，最后利用赋值法计算可得；【详解】解：因为72345670123456721xaa xa xa xa xa xa xa x，两边同时取导数得262361654543714 21234567xaa xa xa xa xa xa x，其中621x 展开式的通项为 666166C21C21rrrrrrrrTxx，所以当r为奇数时系数为负数，r为偶数时系数为正数，即10a，30a，50a，70a，20a，40a，60a，令1x，则12345676234567142 110206aaaaaaa ，所以123456723456710206aaaaaaa；故选：A 二、多选题 9根据变量x与y的n对观测数据，求得相关系数0.93r ，线性回归方程9.50.6yx，则下列说法正确的是（）Ax与y正相关且相关性较弱 Bx与y负相关且相关性很强 Cx每增加 1 个单位时y平均减少 0.6 第 5 页 共 15 页 D若4.5x，则7.8y 【答案】BC【分析】根据相关系数的意义可判断 AB，由线性回归方程的斜率可判断 C，因为回归方程过中心点,x y，故将4.5x 代入回归方程即可判断 D【详解】因为相关系数0.93r ，线性回归方程9.50.6yx，则x与y负相关且相关性很强；因为线性回归方程的斜率为0.6，则x每增加 1 个单位时y平均减少 0.6；故 A 错，BC正确；因为回归方程过中心点,x y，若4.5x，则9.50.64.56.8y，故 D 错 故选：BC 10设随机变量X的可能取值为1,2,n，并且取1,2,n是等可能的.若30.4P X，则下列结论正确的是（）A5n B10.1P X C 3E X D 3D X 【答案】AC【分析】由等可能得出1(),1,2,P Xkknn，结合(3)(1)(2)P XP XP X求出n值，再由期望公式和方差公式计算后判断.【详解】由题意1(),1,2,P Xkknn，2(3)(1)(2)0.4P XP XP Xn，5n，1(1)0.25P X，1()(12345)35E X ，222221()(1 3)(23)(33)(43)(53)25D X.故选：AC.11下列等式成立的有（）A11AAmmnnn B11AAAmmmnnnm C1CCkknnkn D11111CCCCkkkknnnn【答案】ABD 第 6 页 共 15 页【分析】利用排列数公式推理、计算判断 A，B；利用组合数公式、组合数性质推理、计算判断 C，D 作答.【详解】对于 A，11!(1)!()!(1)(A1!A)mmnnnnnnmnmn，A 正确；对于 B，11!(1)!(1)!()!(1)!(1)!(A1)!AAmmmnnnnnnmnm nnmnmnmnmnmm，B 正确；对于 C，11!(1)!()!(1)!(1)(1)!CCkknnnnknk nkkknkn，C 不正确；对于 D，由组合数性质：11CCCkkknnn知，111111CCCCCCkkkkkknnnnnn，D 正确.故选：ABD 12在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点E，F分别是上底面1111DCBA和侧面11CDD C的中心，则（）A2EF B5cos6EAF C点D到平面AEF的距离为1111 D直线AF与平面11BDD B所成的角为 60【答案】BCD【分析】建立图所示的直角坐标系,利用向量法逐一求解.【详解】解：建立图所示的直角坐标系，由题意得1 111(0,0,0),(,1),(,1,),(0,1,0),(1,1,0)2 222AEFDC,所以111 111(0,)(,1),(,1,),(0,1,0),(1,1,0)222 222EFAEAFADAC，,所以22112222EF,故 A 错，554cos362AE AFEAFAEAF,故 B 对，设平面AEF的法向量为,nx y z，则00n AEn AF,即1102211022xyzxyz,令3x，得 3,1,1n ，故点D到平面AEF的距离111cos,1111AD nADAD nn，第 7 页 共 15 页 故 C 对，根据正方体的可知，AC 平面11BDD B,故直线AF与平面11BDD B所成的角的正弦值为：332sin2322AC AFACAF,又02，故60，故 D 正确.故选：BCD.三、填空题 13已知4,1,2a，2,1,3b，则2abab_.【答案】6【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.【详解】由4,1,2a，2,1,3b，得 42,1 1,232,2,1ab，24,2,6b，244,12,268,1,8ab.22 821186abab .故答案为：6.14在13579xxxxx的展开式中，含4x的项的系数是_.【答案】25【分析】根据多项式乘法法则得结论.【详解】4x是由题中五个一次式中 4 个取x，一个取常数项相乘得出，所以其系数为1 3 57925 .故答案为：25.15在n件产品中，有3n件合格品，3 件不合格品.若从中任意抽出 2 件，至少有一件不合格品的概率为511，则n _.【答案】12 第 8 页 共 15 页【分析】根据题意可求其对立事件的概率，再解方程求解.【详解】依题意得，至少有一件不合格品的概率为511 所有都合格的概率为5611111，即23234C6C111nnnnn n，化简得25711320nn 解得：12n 或2.2n（舍去）故答案为：12.164 张卡片的正、反面分别写有数字 1，2；3，4；5，6；7，1.将这 4 张卡片排成一排，可构成_个不同的四位数.（用数字作答）【答案】336【分析】根据给定条件，按出现 1 的个数分类，求出每一类中四位数个数即可计算作答.【详解】依题意，4 张卡片应全部取出，含数字 1 的卡片用数字只有 1 种方法，不用 1也只有 1 种方法，当四位数中没有数字 1 时，排卡片有44A种方法，含有数字 1 的卡片只能用 2 和 7，不含数字 1 的卡片上数字各有两种取法，从而得四位数有424A296个，当四位数中有一个数字 1 时，选一张含有数字 1 的卡片有12C种方法，排卡片有44A种方法，不含数字 1 的卡片上 数字各有两种取法，从而得四位数有14224C A2192个，当四位数中有两个数字 1 时，取两个数位排含数字 1 的卡片，有24C种方法，另两个数位排不含数字 1 的卡片，有22A种方法，不含数字1的卡片上数字各有两种取法，从而得四位数有22242C A248个，由分类加法计数原理得：不同四位数有9619248336个.所以可以构成不同四位数个数是 336.故答案为：336【点睛】思路点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步 四、解答题 17随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联第 9 页 共 15 页 网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.学校从全体学生中随机抽取了 200 人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示：男 女 合计 了解 70 125 不了解 45 合计 (1)根据所提供数据，完成22列联表；(2)判断是否有 95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.参考公式：22n adbcabcdacbd，其中nabcd .参考数据：20Px 0.10 0.05 0.010 0.005 0 x 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)表格见解析(2)有 95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.【分析】（1）根据题意，即可得到22 列联表；（2）根据列联表中数据，求得24.8，结合附表，即可得到结论.【详解】(1)解：根据题意，得到22 列联表为：男 女 合计 了解 70 55 125 不了解 30 45 75 合计 100 100 200 (2)解：提出假设0H：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，第 10 页 共 15 页 根据列联表中数据，可以求得2220070 4555 30244.8100 100 125 755，因为当0H成立时，23.8410.05P，这里的24.83.841，所以我们有 95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.18如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为棱AB的中点.(1)求证：1BC 平面1A EC；(2)求二面角1AECB的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)66【分析】（1）连接1AC，交1AC交于点O，得到1/OEBC，结合线面平行的判定定理，即可证得1/BC平面1A EC；（2）以1,DA DC DD为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，分别求得平面1A EC和平面EBC的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)证明：在正方体1111ABCDABC D中，连接1AC，交1AC交于点O，则O为1AC中点，因为E为AB中点，所以1/OEBC，又因为OE 平面1A EC，1BC 平面1A EC，所以1/BC平面1A EC.(2)解：在正方体1111ABCDABC D中，以1,DA DC DD为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 设正方体的棱长为 2，则12,0,2A，2,1,0E，0,2,0C，2,2,0B，所以2,1,0EC ，10,1,2EA，第 11 页 共 15 页 设平面1A EC的一个法向量,nx y z，则12020EC nxyEA nyz ，取1x，可得2,1yz，所以平面1A EC的一个法向量为1,2,1n，又平面EBC的一个法向量为10,0,2DD，所以126cos,6212 1DD n，又由二面角1AECB为钝二面角，所以二面角1AECB的余弦值为66.19已知某型号汽车的平均油耗y（单位：L/100km）与使用年数x之间有如下数据：x 1 2 3 4 5 y 5.6 6.1 6.4 7.0 7.4 (1)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程；(2)试估计该型号汽车使用第 8 年时的平均油耗.（附：1221niiiniix ynxybxn x，aybx）【答案】(1)5.150.45yx(2)8.75L/100km【分析】（1）根据表格所给数据运用最小二乘法求其线性回归方程即可；（2）利用（1）的线性回归方程，将第8年代入方程即可估计平均油耗.【详解】(1)由表中数据可得：511112345355iixx，第 12 页 共 15 页 51115.66.16.47.07.46.555iiyy 522222211234555iix 511 5.62 6.13 6.44 7.05 7.4102iiix y 代入公式，求得回归系数 515222151025 3 6.50.45555 35iiiiix yxybxx ，6.50.4535.15aybx 因此，线性回归方程为：5.150.45yx(2)由（1）知，5.150.45yx 当8x 时，5.150.4588.75y，所以，该型号汽车使用第 8 年时的平均油耗约为8.75L/100km.20甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13.如果比赛采用“五局三胜（即有一方先胜 3 局即获胜，比赛结束）”比赛规则.(1)求甲3:1获胜的概率；(2)记甲、乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望.【答案】(1)827(2)分布列见解析，10727【分析】（1）甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，即可求解.(2)列出X的所有取值，求出对应概率，再列出分布列，即可求出期望.【详解】(1)记甲3:1获胜为事件A，说明甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，所以 2232128C33327P A 答：甲3:1获胜的概率为827(2)X可能取值是 3、4、5，所以332113333P X 222233212121104CC33333327P X 第 13 页 共 15 页 22242185C3327P X X 3 4 5 P 13 1027 827 则 11081073453272727E X 21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，2PDAD，ADPC，点E在线段PC上（不与端点重合），30PCD.(1)求证：AD 平面PCD；(2)是否存在点E使得直线PB与平面ADE所成角为 30？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，52 6PEEC【分析】（1）在正方形ABCD中，可得ADCD，又由ADPC，根据线面垂直的判定定理，即可证得AD 平面PCD；（2）以,DA DC DF为正交基底建立空间直角坐标系，设PEEC，求得平面ADE的一个法向量，结合直线PB与平面ADE所成角为30，列出方程求得的值，即可得到结论.【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，可得ADCD，又由ADPC，且CDPCC，CD 平面PCD，PC 平面PCD，根据线面垂直的判定定理，可得AD 平面PCD.(2)解：在平面PCD中，过点D作DFCD交PC于点F.由（1）知AD 平面PCD，所以ADDF，又由ADDC，第 14 页 共 15 页 以,DA DC DF为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则(0,0,0),2,0,0DA，2,2,0B，0,2,0C，0,1,3P，设PEEC，则PEEC，所以2132,11AEAPPE，2,0,0AD ，2,3,3PB 设平面ADE的一个法向量为,nx y z，则213201120AE nxyzAD nx ，取3y，可得0,12xz，所以平面ADE的一个法向量0,3,12n，因为直线PB与平面ADE所成角为30，所以23 33 1 21sin30cos,231 2493PB n，解得52 6 综上可得，存在点E使得直线PB与平面ADE所成角为30，且52 6PEEC.222022 年 4 月 23 日是第 27 个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得 2 分，答错得 1 分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为12，且每次回答问题是相互独立的，记小明得n分的概率为 p n，nN.(1)求 2p，3p的值；(2)求 p n.【答案】(1)324p，538p 第 15 页 共 15 页(2)211332np n【分析】（1）由得 2 分即回答 1 题正确或者回答 2 题都错误，得 3 分即回答 2 题 1 题正确，1 题错误或者回答 3 题都错误，根据互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解；（2）由小明得1n分有两种情况，一种是小明在得n分的情况下又答 1 题错误；另一种是小明在得1n 分的情况下又答 1 题正确，可得 111122p np np n，进而利用配凑法，根据等比数列的定义可得 1p np n是以14为首项，12为公比的等比数列，则有 1112np np n，从而利用累加法可求 p n.【详解】(1)解：得 2 分即回答 1 题正确或者回答 2 题都错误，所以 111322224p，得 3 分即回答 2 题 1 题正确，1 题错误或者回答 3 题都错误，所以 121111153222228pC；(2)解：因为小明得1n分有两种情况，一种是小明在得n分的情况下又答 1 题错误；另一种是小明在得1n 分的情况下又答 1 题正确.所以 111122p np np n，即 1112p np np np n，因为 311210424pp，所以 1112p np np np n，因此 1p np n是以14为首项，12为公比的等比数列，所以 1112np np n，当2n时，112211p np np np np nppp，12111112212222332nnn ，又 112p符合上式，所以 1221211332332nnp n.