2022-2023学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题 一、单选题 1已知集合302xAxx，ln1Bx yx，则AB（）A13xx B3xx C1x x D13xx 【答案】A【分析】化简集合,A B，然后根据交集的定义运算即可【详解】30320232xAxx xxxxx，ln11Bx yxx x；|13ABxx 故选：A 2下列选项中满足最小正周期为，且在0,4上单调递增的函数为（）A1cos2yx B1sin2yx Ccos212xy Dsin212xy【答案】C【分析】利用周期排除 A，B，再利用复合函数单调性在 C，D 中可得到正确答案.【详解】对选项 A，B 其周期为22412T，选项 C，D 其周期为222T，故排除选项 A，B；对于 C：cos2x在0,4上为单调递减，则cos212xy在0,4上为单调递增，故 C 正确；对于 D：sin2x在0,4上为单调递增，则sin212xy在0,4上为单调递减，故 D 错误.故选：C 3“1a”是“函数 22f xaxx aR在1,上单调递增”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析第 2 页 共 19 页 可得答案.【详解】220f xaxx a对称为轴1xa，若1a，又 f x开口向上，在1,xa上单调递增，又10,1a，故 f x在1,上单调递增成立；若函数 22f xaxx aR在1,上单调递增，0,2af xx 单调递减，不成立，0,a 则0,11aa得1a，1a 不能推出1a，故“1a”是“函数 22f xaxx aR在1,上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.4已知幂函数21byaax（1a 且aZ）过点,8a，则函数log3axbyx的定义域为（）A 3,22,B 3,22,C2,D3,【答案】B【分析】根据幂函数的定义求出a，根据幂函数经过的点可求b，再根据函数23log3xyx有意义列式可求出结果.【详解】根据幂函数的定义可知，211aa，解得2a 或1a（舍），因为幂函数byx过点2,8，所以28b，得3b，由23log3xyx有意义，得230log30 xx，得3x 且2x ，所以所求函数的定义域为(3,2)(2,).故选：B 5已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过44sin,cos33A，则5cos2（）第 3 页 共 19 页 A32 B32 C12 D12【答案】D【分析】首先根据三角函数的定义得到1sin2，再根据诱导公式求解即可.【详解】已知角终边经过44sin,cos33A，所以224cos413sincoscos33244sincos33 ，所以51coscossin222.故选：D 62022 年 11 月 15 日，联合国宣布，世界人口达到 80 亿，在过去的 10 年，人口的年平均增长率为 1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为 1.4%增长，则世界人口达到 90 亿至少需要（）年（参考数据：lg20.301，lg30.477，lg1.0140.00604）A8.3 B8.5 C8.7 D8.9【答案】B【分析】根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可.【详解】设世界人口达到 90 亿至少需要x年，由题意，得 239980(1 1.4%)901.014lg1.014lglg1.014lg9lg8lg1.014lg3lg288xxxxx 2lg33lg22 0.4773 0.301lg1.0142lg33lg28.44lg1.0140.00604xx，因此世界人口达到 90 亿至少需要 8.5 年，故选：B 7函数 2ee44xxf xxx的图象最有可能的是（）A B 第 4 页 共 19 页 C D【答案】A【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，再通过取特殊点确定正确选项.【详解】2ee44xxf xxx有意义可得2440 xx，所以0 x 且1x，所以1x 且0 x 且1x，所以 2ee44xxf xxx的定义域为 ,11,00,11,，又 22eeee4444xxxxfxf xxxxx，所以函数 f x为偶函数，其图象关于y轴对称，B，D 错误，又1111222221eeee2 122114422f ，C 错误，选项 A 符合函数 f x的解析式，故选：A.8已知0 xy，且221xy，则22234xyxy的最小值为（）A34 B1 C1716 D98【答案】B【分析】利用换元法表示出,x y代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.【详解】因为221xy，所以1xyxy，令,mxy nxy，则1mn 且 22nmxnmy，代入22234xyxy中得：22222342342222nmnmnmnmxyxy 第 5 页 共 19 页 2222229292914442mnmnmnmn 222 91313 1 114222mnmn 当229mn即3,33mn时取“=”,所以最小值为 1.故选：B 二、多选题 9下列不等式错误的是（）A若0ab，则11aba B若0ab，则baab C若0ab，则1ba D若0ab，则22acbc【答案】ABD【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析给定的四个不等式的正误，可得答案.【详解】对于 A 中的不等式，因为0ab，所以110babaa ab，故选项 A 中的不等式不成立；对于 B 中的不等式，因为0ab，所以220babaabab，故选项 B 中的不等式不成立；对于 C 中的不等式，因为0ab，所以ba，化简得出1ba，正确；对于 D 中的不等式，因为0ab，所以22acbc在0c的情况下不成立.故选：ABD 10以下命题正确的是（）A函数2lnyxx的单调递增区间为10,2 B函数2212coscos1yxx的最小值为2 22 CA为三角形内角，则“45A”是“sinsin 45A”的充要条件 D设是第一象限，则2为第一或第三象限角 第 6 页 共 19 页【答案】AD【分析】对选项 A，根据复合函数的单调性即可判断 A 正确，对选项 B，利用基本不等式的性质即可判断 B 错误，对选项 C，利用特值法即可判断 C 错误，对选项 D，根据题意得到24kk，Zk，即可判断 D 正确.【详解】对选项 A，2lnyxx，因为20 xx，所以01x，令2txx，所以lnyt，因为10,2x，t为增函数，1,12x，t为减函数，所以2lnyxx的增区间为10,2，故 A 正确.对选项 B，2222112cos2 cos122 22cos1cos1yxxxx，当且仅当2212 cos1cos1xx，等号成立.因为2212 cos1cos1xx，cosx无解，故等号取不到，即函数2212coscos1yxx最小值不是2 22，故 B 错误.对选项 C，若135A，则sinsin45A，所以若A为三角形内角，则sins45i4n 5AA，不满足充要条件，故 C 错误.对选项 D，若是第一象限，则222kk，Zk，所以24kk，Zk，即2为第一或第三象限角，故 D 正确.故选：AD 11如图所示，角0,2x的终边与单位圆O交于点P，1,0A，PMx轴，AQx轴，M在x轴上，Q在角x的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin x，tan x的值分别等于线段MP，AQ的长，且OAPOAQOAPSSS扇形，则下列结论正确的是（）A函数sinyxx有 3 个零点 第 7 页 共 19 页 B函数tanyxx在 3,2 222内有 2 个零点 C函数tansinyxxx在,2 2内有 1 个零点 D函数tansintansinyxxxx在,2 2内有 1 个零点；【答案】BCD【分析】利用当(0,)2x时，sintanxxx，可得各个函数在(0,)2上零点的个数，再根据奇函数的图象的对称性得到函数在(,0)2上零点的个数，又各个函数都有零点0 x，由此可判断 A CD；再结合函数tanyx和yx的图象，可判断 B.【详解】由已知可知，当(0,)2x时，11sin22OAPSOA MPx，21122OAPSOAxx扇形，11tan22OAQSOA AQx，所以当(0,)2x时，sintanxxx，对于 A，当2x 时，sin1x，1x，所以sin0yxx，此时函数无零点；当02x时，因为sin xx，所以sin0yxx，此时函数无零点；当0 x 时，sin0yxx，此时函数的零点为0 x；因为sinyxx为奇函数，其图象关于原点对称，所以当0 x 时，函数无零点，综上所述：函数sinyxx有且只有 1 个零点，故 A 不正确；对于 B，当02x时，因为tan xx，所以tanyxx0，又tanyxx为奇函数，所以当02x时，tanyxx0，当0 x 时，tanyxx 0，所以函数tanyxx在,2 2上有且只有一个零点0 x；作出函数tanyx和yx的图象，如图：第 8 页 共 19 页 由图可知，当322x时，函数tanyx和yx的图象只有一个交点，函数tanyxx在 3,22上只有一个零点，所以函数tanyxx在 3,2 222内有 2 个零点，故 B 正确；对于 C，当(0,)2x时，tansin0 xxx，tansinyxxx0，又函数tansinyxxx为奇函数，所以当x,02时，tansinyxxx0，当0 x 时，tansin0yxxx，所以函数tansinyxxx在,2 2内有且只有 1 个零点0 x，故 C 正确；对于 D，当(0,)2x时，tansin0 xx，所以tansintansinyxxxxtansintansin2sinxxxxx0，又由于tansinyxx为奇函数，所以当(,0)2x 时，tansin0 xx，所以tansintansinyxxxxtansintansin2tan0 xxxx，当0 x 时，tansintansinyxxxx0，所以函数tansintansinyxxxx在,2 2内有 1 个零点.故选：BCD 12已知正实数x，y满足2245ln21xxxyy，则使方程224xymxy有解的实数m可以为（）A52 B2 C32 D1【答案】ABC 第 9 页 共 19 页【分析】根据题意，化简为22ln(2)1(2)ln(1)xxyy，设2()ln(1)f xxx，且0 x，根据单调性，得到()f x在0 x 时单调递增，故(2)()fxf y，得到2yx，代入224xymxy，得到22(1)52(1)2xmx，设2(1)tx，20 x，10t ，得到1321mt，再根据单调性，可得到m的范围.【详解】0 x，0y，22ln(2)1ln(1)2xyxy，22ln(2)1(2)ln(1)xxyy，22ln(2)1(2)ln(1)xxyy 设2()ln(1)f xxx，0 x，明显地，()f x单调递增(2)()fxf y，2yx，20 x，20 x，2222224(2)424(2)244xyxxxxmxyxxxx22(21)52(21)2xxxx22(1)52(1)2xx，令2(1)tx，20 x，10t ，522tmt 1321t，设13()21g tt，则()g tm有解，等价于()yg t与ym有交点，明显地，()g t单调递减，且(0)()(1)gg tg，故5()12g t，512m 故选：ABC【点睛】思路点睛：通过化简得到22ln(2)1(2)ln(1)xxyy，设2()ln(1)f xxx，利用()f x的单调性，得到y与x的关系，进而化简得到22(1)52(1)2xmx，进而利用ym与22(1)52(1)2xyx有交点，得到m的取值范围.三、填空题 13命题“x R，20 x”的否定是_【答案】x R，20 x 【详解】全称命题的否可得，命题的否定为“xR，20 x”答案：xR，20 x 14计算4232712log3_.第 10 页 共 19 页【答案】524【分析】对数、根式与指数的运算法则化简即可.【详解】原式31443331512log21 log 3212344 ，故答案为：524.15已知3sin23，则tan6tan6的值为_.【答案】15#0.2【分析】切化弦展开后化简代入计算即可.【详解】3sin23 3131tan()sin()cos()(sincos)(cossin)66622223131tan()cos()sin()(cossin)(sincos)6662222133313sincossin212344245313133sincossin2424234 故答案为：15.16 设函数 2,021,0 xmxxf xxmxx，若函数的最小值为12m，则实数m的取值范围为_.【答案】15,0 【分析】对m分大于 0，小于 0，等于 0，同时利用函数图像及函数单调性进行分析求解即可.【详解】当0m 时，22,0,021,021,0 xxxxf xf xxxxxxx，即 2,01,0 xxf xxx，如图所示：第 11 页 共 19 页 由图知此时函数()f x无最值，所以0m，当0m时，22,0,021,021,0 xmxxxmxxfxfxxmxxxmxx，即 2,01,0 xmxxf xxmx，当0 x 时，2f xxmx，对称轴为02mx ，所以 f x在,2m 单调递减，在,02m单调递增，故 22min02224mmmmf xfm ，当0 x 时，1f xxm在0,上单调递增，所以 01f xfm，由函数 f x的最小值为12m，此时 11022mmm，所以函数最小值为24m，所以2142mm，即2240mm，解得：15m 或15m （舍去），当0m 时，由0 x 时，2f xxmx，此时 f x在,0上单调递减，所以最小值为 0012mf，由0 x 时，第 12 页 共 19 页 31,02211,2mxmxf xxmxmxmx ，此时函数在0,2m单调递减，在,2m单调递增，所以 min11222mmmfxfm ，所以当0m 时，函数最小值为12m满足题意，综上所述，当函数 f x最小值为12m时，实数m的取值范围为：15,0，故答案为：15,0.四、解答题 17 已知p：240 xax在R上恒成立；q：存在使得2sina；r：存在0 x R，使得030 xa.(1)若p且q是真命题，求实数a的范围；(2)若p或r是真命题，p且r是假命题，求实数a的范围.【答案】(1)4,1a (2),40,4a 【分析】(1)p且q是真命题等价于p、q均是是真命题，将对应的a的范围分别计算取交集即可；(2)p或r是真命题，p且r是假命题等价于p、r一真一假，故分若p真r假，或若p假r真两类考虑，最后取并集.【详解】（1）若p为真，则240 xax在R上恒成立等价于2160a，得44a；若q为真，则存在使得2sina等价于max2sin1a，得1a；p且q是真命题等价于p、q均是是真命题，故41a，故4,1a ；（2）若r为真，等价于030 xa有解，则a，所以232cos2sin 即22sinsin10，解得1sin12；根据三角函数单调性可知72,2 2,2 ,Z6226kkkkk 21近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域ODBC（阴影部分），以及可利用部分为区域OAD，其中2OCBCOA，30 3OC 米，30BC 米，区域OBC为三角形，区域OAB为以OA为半径的扇形，且6AOD.(1)为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域OABC外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；(2)在可利用区域OAD中，设置一块矩形HGIF作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值.【答案】(1)9030 320（米）；(2)36001800 3（平方米）.【分析】（1）在直角三角形OBC中由已知条件可求出BOC和OB，则可求得BOA，从而可求出AB的长，进而可求得结果；第 17 页 共 19 页（2）连接OF，设06FOA，则结合已知条件表示出,GI GH，然后表示出矩形HGIF的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值.【详解】（1）因为30 3OC，30BC，2OCB，所以303tan330 3BCBOCOC，22270090060OAOBOCBC，因为BOC为锐角，所以6BOC，因为2COA，所以3BOA，所以AB的长为60203，所以隔离带的总长度为30 33060209030 320（米）；（2）连接OF，设06FOA，因为60OF，所以60sinFIGH，60cosOI，因为6AOD，所以60 3sintan6GHOG，所以60cos60 3sinGI，所以60cos60 3sin60sinS 23600sincos3600 3sin 1800sin 23(1cos2)1800 2sin 233，因为22,333，所以1800(23)36001800 3S，当12时取到最大值，所以补充门诊面积最大值为36001800 3（平方米）.第 18 页 共 19 页 22已知函数 22sin23sin4f xxxa.(1)当4时，f x最小值为12，求实数a的值；(2)对任意实数x与任意0,2，12f x 恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)3a 或5a (2)2,2 22 2,2 【分析】（1）求出sin2,sin4代入，变为只含有参数a的二次函数，化简为顶点式函数，顶点纵坐标即为最小值.(2)把函数可以看成点sin,sin234a与,xx的距离，即直线yx到抛物线2222yxa的最小距离的平方为12.【详解】（1）当4时，sin2sin1,sinsin1242，所以 222222sin23sin4224164f xxxaxxaxaxa22222222444442162161624222aaaaaxaxaa f x最小值为12，即224116350322aaaaa 或5a （2）2222sin23sinsin23sin44f xxxaxax 所以可以看成点sin,sin234a与,xx的距离，令sin4sin23xay 第 19 页 共 19 页 又因为222221 cos 22sin1 sin2422sin23axaay，所以点sin,sin234a在二次函数2222yxa的图像上 点,xx在直线yx上，直线yx到抛物线2222yxa的最小距离的平方为12 画图为：所以221111111122ABABABABOA 所以直线1AA：1yx，即直线1AA与二次函数2222yxa只有一个交点，即方程2222222110 xxxxaa 只有一个解，即2214102 2aa ，所以二次函数为21yx24；2,3A 0,2，2sin233,4,4,8yx，即222221 cos 21 sin22sin,4222axaxaaa 所以2242,2 22 2,224aaa 【点睛】一般把22mnpt看成点,m p到,n t的距离，再求,m p与,n t在那两个函数上，就可以转化为两个函数上点的距离的最值问题.