2022-2023学年湖南省株洲市攸县第四中学高一上学期期中数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年湖南省株洲市攸县第四中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 1设集合1,2,3,2,3,4AB，则AB A12 3,4，B123，C2 3 4，D134，【答案】A【详解】由题意1,2,3,4AB，故选 A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图 2已知命题p：“0a，都有2220 xaxa”，则命题p的否定是（）A0a，使得2220 xaxa B0a，使得2220 xaxa C0a，使得2220 xaxa D0a，使得2220 xaxa【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以 C 选项符合.故选：C 3若152xx，则22xx的值为（）A254 B174 C334 D10【答案】B【分析】已知等式平方后可得结论【详解】因为152xx，所以21222524xxxx，所以22174xx，故选：B 4已知0.22a，0.20.4b，0.60.4c，则a，b，c的大小关系是（）Aabc Bacb Ccab Dbca【答案】A 第 2 页 共 15 页【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.【详解】解：因为函数0.4xy 为减函数，所以00.20.610.40.40.4，又因为0.20221a，所以abc.故选：A.5“23x”是“0 x”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：若23x成立，则0 x 一定成立；反之若0 x 成立，则23x不一定成立；因此“23x”是“0 x”的充分而不必要条件；【解析】充分必要条件;6已知函数2122f xx，则 1f 的值为（）A3 B0 C2 D2【答案】C【分析】根据2122f xx，求出()f x，从而可求 1f 的值.【详解】因为2122f xx，令1tx，则1xt，所以 2221224f tttt，所以 224f xxx，所以 1242f .故选：C.7如图（1）是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量 x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示.则下列说法中，正确的是（）A图（2）的建议是：提高成本，并保持票价不变 第 3 页 共 15 页 B图（2）的建议是：提高成本，并提高票价 C图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变 D图（3）的建议是：提高票价，并降低成本【答案】C【分析】根据题意和图知，此建议是降低成本而保持票价不变，由图可以看出，此建议是提高票价而保持成本不变.【详解】根据题意和图知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为 0 时，收入是0 但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故 AB 不正确；由图可以看出，当乘客量为 0 时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故 C 正确 D 不正确.故选：C 8设定义在R上的函数 fx的值域为A，若集合A为有限集，且对任意12xxR、，存在3xR使得 123fxfxfx，则满足条件的集合A的个数为（）A3 B5 C7 D无穷个【答案】B【解析】根据定义确定元素范围，再分类讨论元素个数.【详解】解：若A中最大元素为大于 1 的元素为a，则2aa，不满足题意，故A中最大元素不超过1，同理可得A中最小元素不小于1 若集合A中只有一个元素a，则20,10,1aaaAA ，若集合A中有两个元素,(11)a bab，则2aa或2ab，当2aa时0a（1 舍去），此时21bbb即1,0A 当2ab时0a，因此20,111bababaa （1 舍去）即1,1A 若集合A中有三个元素,(11)a b cabc，则2aa或2ab或2ac，当2aa时0a（1 舍去），此时22222,ba bb cabc cc或2cb，解得1,1cba ，舍去 当2ab时220,10,abbb ba，2,bc 21,1cccb ，矛盾，舍去 当2ac时220,10,1,1,0accc cabb b ，即1,0,1A 第 4 页 共 15 页 若集合A中有四个或四个以上元素,(11)a bc dabcd，则由上推导可得1,1,0adbc，矛盾，即此时A无解 综上所满足条件的集合A可以为0,1，1,1，1,0，1,0,1，共 5 个，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的值域，分类讨论思想，解题的关键是由任意12xxR、，存在3xR使得 123fxfxfx，且集合A为有限集，可得从集合A中取两个不同的数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也是集合A中的，然后分类讨论即可，属于较难题 二、多选题 9已知集合20Ax xx，则下列式子正确的是（）A1A BA C0A D0A【答案】AC【分析】解出集合 A，根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系即可判断【详解】201,0Ax xx 由于1A，则选项 A 正确；由于A，则选项 B 不正确；由于0A，则选项 C 正确；由于0A，则选项 D 不正确 故选：AC 10设,a b cR，且0ba，则下列结论一定正确的是（）A11ba B22acbc C22ab Dabab【答案】AD【分析】根据不等式的性质判断 AD，列举例子判断 BC.【详解】A.0ba，同除ab可得11ba，A 正确；B.当2c 0时，22acbc，B 错误；C.若1,2ab ，此时有22ab，C 错误；D.0,0abab，故abab，D 正确.第 5 页 共 15 页 故选：AD.11已知全集U R，集合A B、满足AB，则下列选项中正确的有（）AABB BABB C)(UAB D()UAB 【答案】BD【分析】根据集合关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：因为全集U R，集合A B、满足AB，所以ABA，ABB，()UAB，()UAB.故选：BD 12定义域和值域均为,a a（常数0a）的函数 yf x和 yg x图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（）A方程 0fg x有且仅有三个解 B方程 0gf x有且仅有三个解 C方程 0ff x有且仅有九个解 D方程 0g g x有且仅有一个解【答案】AD【分析】通过利用 tf x或 txg，结合函数 yf x和 yg x的图象，分析每个选项中外层第 6 页 共 15 页 函数的零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论.【详解】解：对于 A 中，设()tg x，则由 0fg x，即()0f t，由图象知方程()0f t 有三个不同的解，设其解为1t，2t，3t，由于()yg x是减函数，则直线0ytta 与函数 yg x只有 1 个交点，所以方程1()tg x，2()tg x，3()tg x分别有且仅有一个解，所以 0fg x有三个解，故 A 正确；对于 B 中，设()tf x，则由 0gf x，即()0g t，由图象可得()0g t 有且仅有一个解，设其解为 b，可知0ba，则直线yb与函数 yf x只有 2 个交点，所以方程()f xb只有两个解，所以方程 0gf x有两个解，故 B 错误；对于 C 中，设()tf x，若 0ff x，即()0f t，方程()0f t 有三个不同的解，设其解为1t，2t，3t，设123ttt，则由函数 yf x图象，可知120att，3ta，由图可知，直线1yt和直线2yt分别与函数 yf x有 3 个交点，直线3yta与函数 yf x只有 1 个交点，所以 1f xt或 2f xt或 3f xt共有 7 个解，所以 0ff x共有七个解，故 C 错误；对于 D 中，设()tg x，若 0g g x，即()0g t，由图象可得()0g t 有且仅有一个解，设其解为 b，可知0ba，因为()yg x是减函数，则直线yb与函数 yg x只有 1 个交点，所以方程()g xb只有 1 解，所以方程 0g g x只有一个解，故 D 正确.故选：AD.【点睛】思路点睛：对于复合函数 yfg x的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数 ug x和外层函数 yf u；第 7 页 共 15 页（2）确定外层函数 yf u的零点1,2,3,iuu in；（3）确定直线1,2,3,iuu in与内层函数 ug x图象的交点个数分别为1a、2a、3a、na，则函数 yfg x的零点个数为123naaaa.三、填空题 13设全集U R，集合|25Axx，则UC A _【答案】|2x x 或5x 【分析】根据补集的定义，利用数轴观察集合A在全集U下的补集.【详解】因为U R，|25Axx，所以UC A|2x x 或5x.【点睛】集合中求补集时，要注意端点是否可取到.14函数22+2+2,0()=,0 xxxf xx x，则 1f _.【答案】1【分析】根据分段函数的特点即可求解.【详解】因为10，所以 21(1)2(1)21f .故答案为：1 15若,1f(x)=3,1axxxa x 是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围为_【答案】1,2【详解】试题分析：因为当1x时，()3f xxa 为单调递减函数，所以当1x时，()af xx也为单调递减函数，因此0a 且11 3,.2aa a 【解析】分段函数单调性 16设函数 21221xxfxex，若 24f axf x恒成立，则实数 a 的取值范围是_【答案】4,4【解析】首先判断函数的奇偶性和单调性，根据函数性质，不等式等价于 2244f axf xfaxf x，再根据函数的单调性得24axx，再利用参变分离的方第 8 页 共 15 页 法，转化为函数的最值，求a的取值范围.【详解】由函数的解析式可知函数的定义域为R，且满足 fxf x，所以函数是偶函数，当0 x 时，22112224222xxxxf xeexx，12412xfxex 0 x，1 xye是单调递减函数，24102yxx也是减函数，所以函数 12412xfxex 0 x 是单调递减函数 2244f axf xfaxf x，即24axx，当0 x 时，不等式成立，当0 x 时，244xaxxx，即min4axx，4424xxxx，当2x 时，等号成立，即444aa ，综上可知a的取值范围是4,4.故答案为：4,4【点睛】本题考查指数函数，函数的奇偶性和函数的单调性，解抽象不等式，属于中档题型.方法点睛：本题涉及利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式，一般包含以下方法：1.奇函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数的给定区间上的单调性，将不等式转化为 12f xf x的形式，再根据单调性去掉“f”，再解不等式；2.偶函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数在0,的单调性，根据 fxf xfx，将不等式转化为 12fxfx的形式，再根据单调性去掉“f”，解不等式.四、解答题 17化简求值：(1)643636666；第 9 页 共 15 页(2)3021233330.008285【答案】(1)6(2)112 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；（2）根据幂的运算法则计算可得.【详解】（1）解：64363666612123321112226 666666666；（2）解：3021233330.008285 1223333330.2122 115 144 112 18（1）用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，最短篱笆的长度为40m；（2）当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，最大面积是281m.【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm、ym，篱笆的长度为2 xy m.（1）由题意得出100 xy，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出18xy，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm、ym，篱笆的长度为2 xy m.（1）由已知得100 xy，由2xyxy，可得220 xyxy，所以240 xy，当且仅当10 xy时，上式等号成立.第 10 页 共 15 页 因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m；（2）由已知得236xy，则18xy，矩形菜园的面积为2xym.由18922xyxy，可得81xy，当且仅当9xy时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是281m.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.19已知幂函数 223mmfxxmZ是偶函数，且 12ff.(1)求 f x的表达式(2)若函数 g xf xf xa在1,2与x轴有交点，求实数a的取值范围.【答案】(1)2f xx(2)2,6a 【分析】（1）依题意 f x在0,单调递增，即可得到2230mm，解得m的取值范围，再根据m为整数，求出m，再根据函数为偶函数，即可确定函数解析式；（2）依题意问题转化为 0g x 在 1,2x有解，即2xxa在 1,2x有解.令 2G xxx，根据二次函数的性质求出 G x在1,2上的值域，即可求出参数a的取值范围；【详解】（1）解：对幂函数 f x，有 12ff 故 f x在0,单调递增，所以2230mm 解得31,2m，所以0m 或 1 当0m 时，3f xx，此时 f x为奇函数，舍去.当0m 时，2f xx，此时 f x为偶函数，满足题意.故 2f xx.（2）解：由（1）可得 2g xxxa，问题转化为 0g x 在 1,2x有解，故2xxa在 1,2x有解.第 11 页 共 15 页 令 2G xxx，所以 aG x在1,2的值域，即求 G x在1,2的值域 221124G xxxx 当1x 时，有最小值 2；当2x 时，有最大值 6.所以 2,6G x，即2,6a.20已知函数2()4f xx(1)设()()f xg xx，根据函数单调性的定义证明()g x在区间(2,)上单调递增；(2)当0a 时，解关于 x 的不等式2()(1)2(1)f xa xax【答案】(1)证明见详解.(2)当1a 时，2x；当01a时，2(,)(,2)xa ；当1a 时，2(2,)(,)xa .【分析】（1）利用函数单调性的定义、作差法进行证明.（2）根据已知变形，把问题转化为含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论进行求解.【详解】（1）因为2()4f xx，所以2()44()f xxg xxxxx，对于任意的12,(2,)x x，且12xx，12121212124444()()()()()()g xg xxxxxxxxx 2112121212124()(4)()()xxx xxxxxx xx x，由于12,(2,)x x，且12xx，所以12120,40 xxx x，故12()()0g xg x，所以()g x在区间(2,)上单调递增；（2）不等式2()(1)2(1)f xa xax可化简为22(1)40axax，因为0a，所以上式化简得2()(2)0 xxa，令2()(2)0 xxa，解得2x 或2xa，当22a时，即1a 时，得2x；当22a时，即01a时，得2(,)(,2)xa ；第 12 页 共 15 页 当22a时，即1a 时，得2(2,)(,)xa ；综上，当1a 时，2x；当01a时，2(,)(,2)xa ；当1a 时，2(2,)(,)xa .21已知0 x，0y，且21xy(1)求xy的最大值，以及取最大值时x、y的值；(2)求证：219xy【答案】(1)xy的最大值为18，取最大值时14x，12y (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式即得；（2）利用“乘 1 法”可证.【详解】（1）由基本不等式，得122 2xyxy，则2 21xy，得18xy 当且仅当122xy时，等号成立，故xy的最大值为18，取最大值时14x，12y （2）证明：212122222415yxyxxyxyxyxyxy 222224yxyxxyxy，当且仅当13xy时，等号成立，故219xy，当且仅当13xy时，等号成立 22函数 yf x的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 yf x为奇函数，可以将其推广为：函数 yf x的图象关于点,P a b成中心对称图形的充要条件是函数yf xab为奇函数，给定函数 261xxf xx.(1)求 f x的对称中心；第 13 页 共 15 页(2)已知函数 g x同时满足：11g x是奇函数；当 0,1x时，2g xxmxm.若对任意的10,2x，总存在 21,5x，使得 12g xf x，求实数 m 的取值范围.【答案】(1)1,1 (2)2,4 【分析】（1）设 f x的对称中心为,a b，根据对称性得到关于,a b的方程，解得即可得解；（2）易求得 f x的值域为2,4，设函数 g x的值域为集合A，则问题可转化为2,4A，分0m，2m和02m三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】（1）解：2211666111xxxxf xxxxx，设 f x的对称中心为,a b，由题意，得函数yf xab为奇函数，则fxabf xab ，即20f xafxab，即662011xaxabxaxa ，整理得221610ab xabaa，所以21610ababaa，解得1,1ab ，所以函数 f x的对称中心为1,1；（2）解：因为对任意的10,2x，总存在 21,5x，使得 12g xf x，所以函数 g x的值域是函数 f x的值域的子集，因为函数6,1yx yx 在 1,5上都是增函数，所以函数 61f xxx在 1,5上是增函数，所以 f x的值域为2,4，设函数 g x的值域为集合A，第 14 页 共 15 页 则原问题转化为2,4A，因为函数11g x是奇函数，所以函数 g x关于 1,1对称，又因为 11g，所以函数 g x恒过点 1,1，当02m，即0m 时，g x在 0,1上递增，则函数 g x在1,2上也是增函数，所以函数 g x在0,2上递增，又 0,2202gm ggm，所以 g x的值域为,2mm，即,2Amm，又,22,4Amm，所以2240mmm，解得20m，当12m即2m时，g x在 0,1上递减，则函数 g x在1,2上也是减函数，所以函数 g x在0,2上递减，则2,Am m，又 2,2,4Am m，所以2224mmm，解得24m，当012m即02m时，g x在0,2m上递减，在,12m上递增，又因函数 g x过对称中心 1,1，所以函数 g x在1,22m上递增，在2,22m上递减，故此时 minmin2,2mg xgg，maxmax0,22mg xgg，要使2,4A，第 15 页 共 15 页 只需要 222202222404222422402ggmmmgmgmmmmggmm ，解得02m，综上所述实数 m的取值范围为2,4.【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数 g x的值域是函数 f x的值域的子集，有一定的难度.