2023届高考数学专项练习利用函数性质解不等式5大题型含解析.pdf

2023届高考数学专项练习届高考数学专项练习利用函数性质解不等式5 5大题型命题趋势高中数学解不等式主要分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集(如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等)；另一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。利用函数性质解不等式一般情况以选择题形式出现，考查的角度较多，除了基础的函数性质，有时候还需要构造函数结合导数知识，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。满分技巧利用单调性、奇偶性解不等式原理利用单调性、奇偶性解不等式原理1.解 f m f n型不等式(1)利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；(2)若不等式一边没有函数符号“f”，而是常数(如 f ma)，那么我们应该将常数转化带有函数符号“f”的函数值再解。2.f x为奇函数，形如 f m+f n-f n；第二步：根据 f x为奇函数，得到 f m f-n；第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，列出不等式求解。二、构造函数解不等式的技巧二、构造函数解不等式的技巧1.此类问题往往条件较零散，不易寻找入手点，所以处理这类问题要将条件与结论结合分析，在草稿上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么，两者对接通常可以确定入手点；2.在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能具备乘除关系的函数，在构造时多进行试验与项的调整；3.此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性和图象知识辅助手段，所以要能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点，那么问题便易于解决了。三、利用函数性质解不等式的要点三、利用函数性质解不等式的要点1.构函数：根据所解不等式的结构特征和已知条件构造相应的函数，把不等式看作一个函数的两个函数值大小比较问题；2.析性质：分析所构造函数的相关性质，主要包括函数定义域、单调性、奇偶性、周期性等；3.巧转化：根据函数的单调性，把函数值大小比较转化为某个单调区间内自变量大小比较；4.写解集：解关于自变量的不等式，写出解集。热点题型解读【题型【题型1 1利用抽象函数的性质解不等式】利用抽象函数的性质解不等式】【例【例1 1】(20232023秋秋 河北张家口河北张家口 高三统考期末高三统考期末)已知函数 f x为偶函数，定义域为R，当x0时，fx0的解集为()A.0,1B.0,2C.-1,1D.-2,2【变式【变式1-11-1】(20232023 广西梧州广西梧州 统考一模统考一模)已知偶函数 f x在-,0上单调递减，且 f 1=0，则不等式xf x-20的解集为()A.1,3B.3,+C.-3,-1 3,+D.0,1 3,+【变式【变式1-21-2】(20222022春春 上海杨浦上海杨浦 高三复旦附中校考阶段练习高三复旦附中校考阶段练习)若定义在R的奇函数 f(x)在(-,0)单调递减，且 f(2)=0，则满足xf(x-1)0的x的取值范围是_【变式【变式1-31-3】(20222022秋秋 陕西商洛陕西商洛 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)若定义域为R的函数 f(x)满足 f(x+2)为偶函数，且对任意 x1，x22,+)，x1 x2，均有f x2-f x1x2-x10，则关于 x 的不等式 f(x)-3的解集为_.【变式【变式1-51-5】(20222022 秋秋 山东山东 高三利津县高级中学校联考阶段练习高三利津县高级中学校联考阶段练习)已知函数 f x的定义域为-1,1，对任意的x，y(-1,1)，都有 f x+f y=fx+y1+xy，且当x-1,0时，f x0恒成立.若-2,2，则不等式2f(tan)f(tan2)的解集是()A.-4,0B.-8,0C.-8,8D.0,8【题型【题型2 2利用具体函数的性质解不等式】利用具体函数的性质解不等式】【例【例2 2】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=3x3-2ex+1+3，且 f a2+f 5a-64，则实数a的取值范围是()A.-6,1B.-,-6 1,+C.-,-1 6,+D.-1,6【变式【变式2-12-1】(20222022 秋秋 广东清远广东清远 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)已知函数 f x=2023x+12023x-1x2+3，则不等式 f x+1 f 2x的解集为()A.-12023,+B.2023,+C.-,-13 1,+D.-13,1【变式【变式2-22-2】(20222022秋秋 福建福建 高三福建师大附中校考阶段练习高三福建师大附中校考阶段练习)设函数 f x=ex+e-x，则使得 f 2x+1 f x-2成立的x的取值范围是_【变式【变式2-32-3】(20222022 河南河南 统考一模统考一模)已知 f(x)为R R上的奇函数，当x0,+)时，f(x)=2x-1x+1，则不等式 f(3x-1)4的解集为 _【变式【变式2-52-5】(20222022秋秋 江苏苏州江苏苏州 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)已知函数 f x=4x+2sinx+lnx2+1+x，若不等式 f 3x-9x+f m3x-20成立，且 f 2=4，则不等式f xx2的解集为()A.4,+B.0,4C.0,2D.2,+【变式【变式3-13-1】(20222022 秋秋 四川成都四川成都 高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知定义在 R 上的函数f x满足 f 1=1，对于 x1，x2 R，当 x1 x2时，都有 f x1-f x2 2 x1-x2，则不等式f log2x+1x2时，都有 x1-x2f x1x2-f x2x14的解集为()A.-3,1B.-3,-1-1,1C.-,-1-1,1D.-,-3 1,+【变式【变式3-33-3】(20222022 广西柳州广西柳州 统考三模统考三模)已知函数 f x是定义域为-,0 0,+的奇函数，若对任意的x1,x2 0,+且x1x2，都有x2f x1-x1f x2x1-x22x的解集为()A.-,-1 1,+B.-,-1 0,1C.-1,0 1,+D.-1,0 0,1【变式【变式3-43-4】(20222022 广西柳州广西柳州 统考三模统考三模)已知函数 f x是定义域为-,0 0,+的奇函数，且f-2=0，若对任意的x1，x2 0,+，且x1x2，都有x1f x1-x2f x2x1-x20成立，则不等式 f x0的解集为()A.-,-2 2,+B.-,-2 0,2C.-2,0 2,+D.-2,0 0,2【题型【题型4 4分段函数解不等式】分段函数解不等式】【例【例4 4】(20222022秋秋 云南昆明云南昆明 高三昆明市第三中学校考期末高三昆明市第三中学校考期末)已知偶函数 f x=3x+a,x0g x,x0，则满足 f(x-1)0，则不等式 f xf 1+1的解集是()A.-,-1 e,+B.-1,+C.-,eD.e,+【变式【变式4-24-2】(20222022秋秋 江西赣州江西赣州 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)已知函数 f x满足 f x=2x-2,x0,2-2-x,x f-a，则实数a的取值范围是()A.-1,0 0,1B.-1,0 1,+C.-,-1 1,+D.-,-1 0,1【变式【变式4-34-3】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=-12x,x02x-x2,x f-a，则实数a的取值范围是()A.-2,-10-2310-23,2B.-2,-1 1,2C.-2,0 0,2D.-1,0 0,1【变式【变式4-44-4】(20212021 秋秋 山东山东 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知函数 f x=2x,x1log2x+3,x1 则不等式 f x+f x+54的解集为()A.(0，5)B.0,+C.5,+D.(-5，5)【题型【题型5 5导数构造法解不等式】导数构造法解不等式】【例【例5 5】(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=4ex21+ln2x，则不等式 f xe2x的解集是()A.0,1B.12e,14C.1e,1D.12e,12【变式【变式5-15-1】(20212021 秋秋 云南昆明云南昆明 高三昆明市第三中学校考阶段练习高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，若 f(x)满足：(x-1)f(x)-f(x)0，f(2-x)=f(x)e2-2x，则不等式 e2f(lnx)0，若f 2t-1-f t+23 3t2-8t-3，则在以下四个取值中，实数t不能取的值为()A.-3B.12C.3D.72【变式【变式5-35-3】(20232023 秋秋 山西吕梁山西吕梁 高三统考期末高三统考期末)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f x-32-f-x-32=0,f(2022)=1e，若 f(x)f(-x)，则不等式ef(x+3)1ex的解集为 _【变式【变式5-45-4】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知定义在 R R上的偶函数 y=f(x)的导函数为 y=f(x)，当x0时，f(x)+f(x)x0，且 f(2)=3，则不等式 f(2x-1)f x+3的x的取值范围为()A.-,-133,+B.3,+C.-,-1 3,+D.-,-12.(20222022秋秋 宁夏银川宁夏银川 高三银川一中校考阶段练习高三银川一中校考阶段练习)若 f x是定义在R R上的奇函数，且在 0,+内是增函数，又 f 3=0，则xf x0的解集是()A.x-3x3 B.x-3x0或0 x3 C.x-3x3 D.xx-3或0 x3 3.(20222022 河南开封河南开封 统考一模统考一模)设 f x是定义域为R R的偶函数，且在 0,+上单调递减，则满足 f x f x-2的x的取值范围是()A.-,-2B.-2,+C.-,1D.1,+4.(20222022秋秋 北京北京 高三北大附中阶段练习高三北大附中阶段练习)已知 f x是定义在R R上的偶函数，f-1=3，对于任意，a,b 0,+且a1b，f b-f ab-a0恒成立，则使得 f x3成立的x的取值范围是()A.1,+B.-,-1C.-1,1D.-,-1 1,+5.(20222022秋秋 江西南昌江西南昌 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)已知函数 f x是定义域为-1,1的单调递减函数，若 f x图象关于点 0,1对称，则满足 f x-1+f x2的x的取值范围是()A.-1,0B.0,1C.-1,12D.12,16.(20222022 秋秋 吉林四平吉林四平 高三四平市第一高级中学校考阶段练习高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知函数 f x是定义在 R R上的奇函数，若当 x -,0时，f x=x2+3-x+m，则满足，f x-1+f m-1ln，若 f f x x1 0 时，有x2f x1-x1f x2x2ex1-x1ex2，则不等式 fxlnx+xln的解集为()A.1,+B.e,+C.1,eD.0,e9.(20222022秋秋 广东揭阳广东揭阳 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)已知 f x为R上的奇函数，f 2=2，若x1,x2 0,+且x1x2，都有f x1x2-f x2x1x1-x20，则不等式 x-1f x-1 f 2x的解集为()A.1,53B.-,153,+C.-3,-2D.-,-3-2,+11.(20222022 吉林长春吉林长春 长春吉大附中实验学校校考模拟预测长春吉大附中实验学校校考模拟预测)设 fx是函数 f x的导函数，且 fx3f xxR R，f13=e(e为自然对数的底数)，则不等式 fxlnx3的解集为()A.0,13B.13,+C.0,3eD.3e,+12.(20222022 浙江浙江 模拟预测模拟预测)已知函数 f x=2ex+1-x+x2+1ln，若对任意的实数 x，恒有f ax2-x+f-x+12成立，则实数a的取值范围为()A.0,+B.0,+C.1,+D.1,+13.(20222022 四川绵阳四川绵阳 四川省绵阳南山中学校考二模四川省绵阳南山中学校考二模)已知定义在 R R 上的可导函数 f x的导函数为fx，满足 fx f x，且 f-x=f 2+x，f 2=1，则不等式 f x 2，则实数a的取值范围是()A.-4,1B.-,-4 1,+C.-,-1 4,+D.-1,415.(20222022 江苏盐城江苏盐城 模拟预测模拟预测)若函数 f x=xln-1x2，则关于a的不等式 f 2a-1-f a0的解集为_16.(20222022 四川绵阳四川绵阳 校考模拟预测校考模拟预测)函数 f x=x-32,x f 2-x的 x的取值范围为_.17.(20222022 秋秋 江苏泰州江苏泰州 高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习)已知定义在 R R 上的偶函数 y=f x的导函数为 y=fx，当x0时，xfx+f x0，且 f 2=-3，则不等式 f 2x-10时，f x=-x3ln，则满足不等式 x-1f x+20的x的取值范围是_.19.(20222022秋秋 天津静海天津静海 高三静海一中校考阶段练习高三静海一中校考阶段练习)已知 f x=x3+3x，x为实数且满足8x+13-x3.3x-6x+1，则 f x的最大值为_20.(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)已知 f(x)是偶函数，当x0时，f x=x+2x+1log，则满足 f x2x的实数x的取值范围是_利用函数性质解不等式5 5大题型命题趋势高中数学解不等式主要分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集(如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等)；另一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。利用函数性质解不等式一般情况以选择题形式出现，考查的角度较多，除了基础的函数性质，有时候还需要构造函数结合导数知识，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。满分技巧利用单调性、奇偶性解不等式原理利用单调性、奇偶性解不等式原理1.解 f m f n型不等式(1)利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；(2)若不等式一边没有函数符号“f”，而是常数(如 f ma)，那么我们应该将常数转化带有函数符号“f”的函数值再解。2.f x为奇函数，形如 f m+f n-f n；第二步：根据 f x为奇函数，得到 f m f-n；第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，列出不等式求解。二、构造函数解不等式的技巧二、构造函数解不等式的技巧1.此类问题往往条件较零散，不易寻找入手点，所以处理这类问题要将条件与结论结合分析，在草稿上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么，两者对接通常可以确定入手点；2.在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能具备乘除关系的函数，在构造时多进行试验与项的调整；3.此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性和图象知识辅助手段，所以要能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点，那么问题便易于解决了。三、利用函数性质解不等式的要点三、利用函数性质解不等式的要点1.构函数：根据所解不等式的结构特征和已知条件构造相应的函数，把不等式看作一个函数的两个函数值大小比较问题；2.析性质：分析所构造函数的相关性质，主要包括函数定义域、单调性、奇偶性、周期性等；3.巧转化：根据函数的单调性，把函数值大小比较转化为某个单调区间内自变量大小比较；4.写解集：解关于自变量的不等式，写出解集。热点题型解读【题型【题型1 1利用抽象函数的性质解不等式】利用抽象函数的性质解不等式】【例【例1 1】(20232023秋秋 河北张家口河北张家口 高三统考期末高三统考期末)已知函数 f x为偶函数，定义域为R，当x0时，fx0的解集为()A.0,1B.0,2C.-1,1D.-2,2【答案】B【解析】因为当x0时，fx0变形为：f x2-x f x，所以 x2-x x，显然x=0不满足不等式，解得：x-10的解集为()A.1,3B.3,+C.-3,-1 3,+D.0,1 3,+【答案】D【解析】偶函数 f x在-,0上单调递减，则在 0,+单调递增，因为 f 1=0，则当x0时，f x-20，即 f x-20=f 1，故x-21或x-23或x3或x0取交集得：x 0,1 3,+，则当x0时，f x-20，即 f x-20=f 1故-1x-21，解得：1x3，1x3与x0的解集为x 0,1 3,+故选：D【变式【变式1-21-2】(20222022春春 上海杨浦上海杨浦 高三复旦附中校考阶段练习高三复旦附中校考阶段练习)若定义在R的奇函数 f(x)在(-,0)单调递减，且 f(2)=0，则满足xf(x-1)0的x的取值范围是_【答案】(-1,0)(1,3)【解析】因为定义在R的奇函数 f(x)在(-,0)单调递减，且 f(2)=0，所以 f(x)在(0,+)上单调递减，且 f(-2)=-f 2=0，如下图为 f(x)的大致图象：所以当-2x2时，f(x)0；当x-2或0 x0，由xf(x-1)0得x0-2x-100 x-12，解得-1x0或1x0，则关于 x 的不等式 f(x)f(7)的解集为()A.(-3,7)B.(0,7)C.(-3,5)D.(-1,5)【答案】A【解析】f(x+2)为偶函数，图象关于y轴对称，所以 f(x)的图象关于直线x=2对称，依题意可知，f x在 2,+上单调递增，则在-,2上单调递减，由于 f(x)f 7，所以 x-2 7-2，即-5x-25，解得-3x7，所以不等式 f(x)-3的解集为_.【答案】(-2,0)【解析】由题意知，-3=3f(2)=f(8)，f(x+2)+f(x+4)=f(x2+6x+8)，f x+2+f x+4-3f x2+6x+8 f 8x+20 x+40 x2+6x+8-2-2x0恒成立.若-2,2，则不等式2f(tan)f(tan2)的解集是()A.-4,0B.-8,0C.-8,8D.0,8【答案】D【解析】在 f x+f y=fx+y1+xy中，令x=y=0，得2f(0)=f(0)，得 f(0)=0，在 f x+f y=fx+y1+xy中，令y=-x，得 f(x)+f(-x)=f(0)=0，即 f(x)=-f(-x)，所以 f(x)为奇函数，令-1x1x21，则 f(x1)+f(-x2)=fx1-x21-x1x2，所以 f(x1)-f(x2)=fx1-x21-x1x2，因为-1x1x21，所以00，所以x1-x21-x1x20，所以1-x1x2x2-x1，所以x2-x11-x1x2-1，所以-1x1-x21-x1x20恒成立，所以 fx1-x21-x1x20恒成立，所以 f(x1)-f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(-1,1)上单调递减，由2f(tan)f(tan2)及函数 f(x)的定义域可知，-1tan1-1tan21，又由已知-2,2，可得-44-424，可得-8 f(tan2)得 f2tan1+tan2 f(tan2)，因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递减，所以2tan1+tan2tan2，所以2tan1+tan20，1-tan20，所以2tan(1-tan2)0，所以tan0，结合-88，可得04，则实数a的取值范围是()A.-6,1B.-,-6 1,+C.-,-1 6,+D.-1,6【答案】B【解析】由题意得，函数 f x=3x3-2ex+1+1+2=3x3+ex-1ex+1+2，设g x=3x3+ex-1ex+1xR，则g-x=3(-x)3+e-x-1e-x+1=-3x3+ex-1ex+1=-g x，所以g x是R上的奇函数，因为 f x=g x+2，由 f a2+f 5a-64，则g a2+g 5a-60,即g a2-g 5a-6，因为-g 5a-6=g 6-5a，所以g a2g 6-5a，又有g x=3x3+ex-1ex+1=3x3-2ex+1+1，因为y=3x3是R上的增函数，y=-2ex+1是R上的增函数，所以g x是R上的增函数;则有a26-5a，整理得:a2+5a-60，解得:a1或a f 2x的解集为()A.-12023,+B.2023,+C.-,-13 1,+D.-13,1【答案】D【解析】由题意可知，函数 f x的定义域为R R，且 f-x=2023-x+12023-x-1-x2+3=12023x+2023x-1x2+3=f x，所以，函数 f x为偶函数，当x0时，fx=2023xln2023+12023xln12023+2xx2+32=2023x-2023-xln2023+2xx2+320且 fx不恒为零，所以，函数 f x在 0,+上为增函数，由 f x+1 f 2x可得 f x+1 f 2x，则 x+1 2x，可得 x+124x2，整理可得 3x+1x-10，解得-13x1.故选：D.【变式【变式2-22-2】(20222022秋秋 福建福建 高三福建师大附中校考阶段练习高三福建师大附中校考阶段练习)设函数 f x=ex+e-x，则使得 f 2x+1 f x-2成立的x的取值范围是_【答案】-3,13【解析】f x=ex+e-x，f-x=f x，f x为偶函数，fx=ex-1ex=e2x-1ex=ex+1ex-1ex当x0时，ex1，fx0，则 f x在 0,+上是单调增函数 f 2x+1 f x-2，又因 f x为偶函数 f 2x+1 f x-2，2x+10,x-20即得 2x+1 x-2，2x+12 x-22即3x2+8x-30，解得-3,13故x的取值范围为：-3,13【变式【变式2-32-3】(20222022 河南河南 统考一模统考一模)已知 f(x)为R R上的奇函数，当x0,+)时，f(x)=2x-1x+1，则不等式 f(3x-1)f(1-x)的解集为_.【答案】-,12【解析】由函数y=2x与y=-1x+1均在0,+)上单调递增，故 f(x)在0,+)上单调递增，而 f(x)为R R上的奇函数，故 f(x)在R R上单调递增，f(3x-1)f(1-x)等价于3x-11-x，得x4的解集为 _【答案】-14,0【解析】函数g(x)=2x+lg(x+100)在(-100,+)上单调递增，g(-x)在(-1,1)上单调递减，因此函数g(x)-g(-x)在(-1,1)上单调递增，令h(x)=f(x)-2=g(x)-g(-x)，当x(-1,1)时，h(-x)=g(-x)-g(x)=-h(x)，则h(x)为(-1,1)上的奇函数，且为增函数，不等式 f(3x+1)+f(x)4 f(3x+1)-2+f(x)-20，有h(3x+1)+h(x)0，h(3x+1)-h(x)=h(-x)，于是得-1-x3x+11，解得-14x0，所以所求不等式的解集为-14,0.【变式【变式2-52-5】(20222022秋秋 江苏苏州江苏苏州 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)已知函数 f x=4x+2sinx+lnx2+1+x，若不等式 f 3x-9x+f m3x-20，可知 f x=4x+2sinx+lnx2+1+x在R R上单调递增，所以函数 f(x)为R上单调递增的奇函数，所以不等式 f(3x-9x)+f(m3x-2)0对任意xR R均成立等价于f(3x-9x)-f(m3x-2)=f(2-m3x)，即3x-9x2-m3x，即m0成立，且 f 2=4，则不等式f xx2的解集为()A.4,+B.0,4C.0,2D.2,+【答案】D【解析】令g x=f xx，因为对x1、x2 0,+，且x1x2，都有x2f x1-x1f x2x1-x20成立，不妨设0 x1x2，则x1-x20，故x2f x1-x1f x20，则f x1x1f x2x2，即g x12可化为g xg 2，所以由g x的单调性可得x2，即不等式f xx2的解集为 2,+.故选：D.【变式【变式3-13-1】(20222022 秋秋 四川成都四川成都 高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知定义在 R 上的函数f x满足 f 1=1，对于 x1，x2 R，当 x1 x2时，都有 f x1-f x2 2 x1-x2，则不等式f log2x+1log2x2的解集为()A.-,2B.0,2C.1,2D.2,+【答案】B【解析】由题设x1x2时 f(x1)-2x1 f(x2)-2x2，即h(x)=f(x)-2x在R上递增，又h(1)=f(1)-2=-1，而 f log2x+1log2x2等价于 f log2x-2log2x-1，所以h(log2x)h(1)，即log2x1，可得0 xx2时，都有 x1-x2f x1x2-f x2x14的解集为()A.-3,1B.-3,-1-1,1C.-,-1-1,1D.-,-3 1,+【答案】B【解析】由(x1-x2)f x1x2-f x2x10，得(x1-x2)x1f x1-x2f x2x1x20，x1x20，所以x1f x1-x2f x20，即x1f x14=2f 2=g 2，则0 x+12，解得：-1x4=g-2，则-2x+10，解得：-3x-1；综上，原不等式的解集为(-3,-1)(-1,1).故选：B.【变式【变式3-33-3】(20222022 广西柳州广西柳州 统考三模统考三模)已知函数 f x是定义域为-,0 0,+的奇函数，若对任意的x1,x2 0,+且x1x2，都有x2f x1-x1f x2x1-x22x的解集为()A.-,-1 1,+B.-,-1 0,1C.-1,0 1,+D.-1,0 0,1【答案】B【解析】由题设，g(x)=xf1x在 0,+上递增，又-,0 0,+上 f x是奇函数，所以g(-x)=(-x)f-1x=xf1x=g(x)，即g(x)为偶函数，由偶函数的对称性知：g(x)在-,0上递减，又 f 1=2，则 f-1=-2，故g(1)=g(-1)=2，则(-,-1),(1,+)上g(x)2，(-1,0),(0,1)上g(x)0，即x0g1x2 或x0g1x01x1 或x-1 所以x(-,-1)(0,1).故选：B【变式【变式3-43-4】(20222022 广西柳州广西柳州 统考三模统考三模)已知函数 f x是定义域为-,0 0,+的奇函数，且f-2=0，若对任意的x1，x2 0,+，且x1x2，都有x1f x1-x2f x2x1-x20成立，则不等式 f x0的解集为()A.-,-2 2,+B.-,-2 0,2C.-2,0 2,+D.-2,0 0,2【答案】C【解析】由题设，g(x)=xf(x)在 0,+上递减，又-,0 0,+上有 f(-x)=-f(x)，所以g(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=g(x)，即g(x)为偶函数，根据偶函数的对称性知：g(x)在-,0上递增，由 f-2=f(2)=0，即g-2=g(2)=0，则(-,-2),(2,+)上g(x)0，由 f x=g(x)x0g(x)0 或x0，可得x(-2,0)(2,+).故选：C【题型【题型4 4分段函数解不等式】分段函数解不等式】【例【例4 4】(20222022秋秋 云南昆明云南昆明 高三昆明市第三中学校考期末高三昆明市第三中学校考期末)已知偶函数 f x=3x+a,x0g x,x0，则满足 f(x-1)f(2)的实数x的取值范围是()A.(-,3)B.(3,+)C.(-1,3)D.(-,-1)(3,+)【答案】C【解析】当x0时，f x=3x+a单调递增，又y=f x为偶函数，f(x-1)f(2)故 f x-1 f(2)，所以 x-10，则不等式 f xf 1+1的解集是()A.-,-1 e,+B.-1,+C.-,eD.e,+【答案】A【解析】f 1=1，不等式转化为 f x2.当x0时，2-x2，解得：x0时，lnx+12，解得：xe.综上所述，不等式的解集为-,-1 e,+.故选：A.【变式【变式4-24-2】(20222022秋秋 江西赣州江西赣州 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)已知函数 f x满足 f x=2x-2,x0,2-2-x,x f-a，则实数a的取值范围是()A.-1,0 0,1B.-1,0 1,+C.-,-1 1,+D.-,-1 0,1【答案】B【解析】当x0时，-x f-a=-f a，得到2f a0，即 f a0，由图像可得x-1,0 1,+.故选：B.【变式【变式4-34-3】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=-12x,x02x-x2,x f-a，则实数a的取值范围是()A.-2,-10-2310-23,2B.-2,-1 1,2C.-2,0 0,2D.-1,0 0,1【答案】A【解析】作出函数 f(x)=-12x,x02x-x2,x f-a，则2-a2-|a|，解得2|a|0，则-12(2-a2)-2|a|-a2，解得10-23|a|2；综上，10-23|a|2，解得-2a-10-23或10-23a1 则不等式 f x+f x+54的解集为()A.(0，5)B.0,+C.5,+D.(-5，5)【答案】B【解析】因为x1时，f x=2x，故 f x在-,1上为增函数，x1时，f x=log2x+3，故 f x在 1,+上为增函数，又 f x的图象在x=1处不间断，故 f x为R上的增函数，令g x=f x+f x+5，则g x为R上的增函数，而g 0=f 0+f 5=1+log28=4，故g xe2x的解集是()A.0,1B.12e,14C.1e,1D.12e,12【答案】D【解析】不等式4ex21+ln2xe2x可整理为2ex1+ln2xe2x2x，令g x=exx，定义域为 0,+，则原不等式可看成g 1+ln2xg 2x，gx=exx-1x2，令gx0，解得x1，令gx0，解得0 x0，则0 x12，令hx12，所以h x在 0,12上单调递增，12,+上单调递减，且h12=0，所以h x0，即1+ln2x-2x0，即1+ln2x2x，当0 x12时，1+ln2x1，2x1，所以1+ln2x2x01+ln2x102x1，解得12ex12时，1+ln2x1，2x1，所以1+ln2x2x，不成立；综上可得，不等式 f xe2x的解集为12e,12.故选：D.【变式【变式5-15-1】(20212021 秋秋 云南昆明云南昆明 高三昆明市第三中学校考阶段练习高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，若 f(x)满足：(x-1)f(x)-f(x)0，f(2-x)=f(x)e2-2x，则不等式 e2f(lnx)0，所以当x1时，f(x)-f(x)0所以g(x)1时，f(x)-f(x)0所以g(x)0此时函数g(x)单调递增；由已知 f(2-x)=f(x)e2-2x，变形得f(2-x)e2-x=f(x)ex，即g(2-x)=g(x)，所以g(x)图像上的点关于x=1的对称点 2-x,g(x)也在函数图像上，即函数g(x)的图像关于直线x=1对称，不等式e2f(lnx)xf(2)，可变形为f(lnx)xf(2)e2，即 g(lnx)g(2)，由函数g(x)在-,1上单调递减，在 1,+上单调递增，且g(0)=g(2)，有0lnx2，解得1x 0，若f 2t-1-f t+23 3t2-8t-3，则在以下四个取值中，实数t不能取的值为()A.-3B.12C.3D.72【答案】D【解析】令g x=f x-3x2，当x 0,+时，gx=fx-6x0，g x在 0,+单调递增，又g-x+g x=f-x-3x2+f x-3x2=0，g x为奇函数，故g x在R上单调递增，f 2t-1-f t+2=g 2t-1+3 2t-12-g t+2-3 t+22=g 2t-1-g t+2+3 3t2-8t-3，故 f 2t-1-f t+2-3 3t2-8t-3=g 2t-1-g t+20g 2t-1g t+2，2t-1t+2，解得：t3.故选：D.【变式【变式5-35-3】(20232023 秋秋 山西吕梁山西吕梁 高三统考期末高三统考期末)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f x-32-f-x-32=0,f(2022)=1e，若 f(x)f(-x)，则不等式ef(x+3)1ex的解集为 _【答案】(0,+)【解析】f x-32-f-x-32=0,且 f(x)是定义在R上的偶函数，f x-32=f-x-32=f x+32，以x+32代换x，得 f(x)=f x+3，f(x)是以3为周期的周期函数，故 f 2022=f(3673+3)=1e，即 f(3)=1e,e3f(3)=e2由 f(-x)=f(x)可得-f(-x)=f(x)，即 f(-x)=-f(x)，又 f(x)f(-x)=-f(x)，即 f(x)+f(x)0，令g(x)=exf(x)，则g(x)=exf(x)+f(x)0，g(x)=exf(x)为R上的增函数，不等式 ef(x+3)1ex即ex+3f(x+3)e2=e3f(3)，即g(x+3)g(3)，x+33,x0，即不等式ef(x+3)1ex的解集为(0,+).【变式【变式5-45-4】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知定义在 R R上的偶函数 y=f(x)的导函数为 y=f(x)，当x0时，f(x)+f(x)x0，且 f(2)=3，则不等式 f(2x-1)0时，f(x)+f(x)x=xf(x)+f(x)x=gxx0，则gx0，即x12时，f(2x-1)62x-1，则 2x-1f(2x-1)6，即g(2x-1)122x-12，解得x32；当2x-10，即x12时，f(2x-1)6，即g(2x-1)6，x122x-12，解得x12；综上所述：故不等式 f(2x-1)f x+3的x的取值范围为()A.-,-133,+B.3,+C.-,-1 3,+D.-,-1【答案】A【解析】f 2x f x+3，即 f 2x-1+1 f x+2+1，因为y=f x+1是定义在R上的偶函数，且在 0,+上单调递增，所以 2x-1 x+2，解得：x3或x-13，故选：A.2.(20222022秋秋 宁夏银川宁夏银川 高三银川一中校考阶段练习高三银川一中校考阶段练习)若 f x是定义在R R上的奇函数，且在 0,+内是增函数，又 f 3=0，则xf x0的解集是()A.x-3x3 B.x-3x0或0 x3 C.x-3x3 D.xx-3或0 x3 【答案】B【解析】由 f x是奇函数，在 0,+内是增函数，f 3=0，故 f 0=0当x-3或0 x3时，f x3或-3x0，xf x0的解集为 x-3x0或0 x3 故选：B3.(20222022 河南开封河南开封 统考一模统考一模)设 f x是定义域为R R的偶函数，且在 0,+上单调递减，则满足 f x f x-2的x的取值范围是()A.-,-2B.-2,+C.-,1D.1,+【答案】D【解析】因为 f x是定义域为R R的偶函数，所以 f-x=f x，又 f x在 0,+上单调递减，所以在-,0 上单调递增，若 f x f x-2，则 x-21.故选：D.4.(20222022秋秋 北京北京 高三北大附中阶段练习高三北大附中阶段练习)已知 f x是定义在R R上的偶函数，f-1=3，对于任意，a,b 0,+且a1b，f b-f ab-a0恒成立，则使得 f x3成立的x的取值范围是()A.1,+B.-,-1C.-1,1D.-,-1 1,+【答案】D【解析】对于任意，a,b 0,+且a1b，f b-f ab-a0时，f x3等价于 f x1.当x0时，f x3等价于 f x f-1，解得x-1.所以 f x3的解集为-,-1 1,+.故选：D5.(20222022秋秋 江西南昌江西南昌 高三校考阶段练习高三校考阶段练