2021-2022学年陕西省咸阳市秦都区高二上学期期末数学(理)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年陕西省咸阳市秦都区高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 1不等式120 xx的解集是（）A|1x x 或2x B12xx C|1x x 或2x D12xx【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由不等式120 xx，解得1x或2x，所以不等式的解为：|1x x 或2x.故选：A.2已知命题p：x R，21xx.则命题p的否定是（）Ax R，21xx Bx R，21xx Cx R，21xx Dx R，21xx【答案】D【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：命题p：x R，21xx.则命题p的否定是x R，21xx，故选：D.3若抛物线C：22xpy的焦点坐标为0,1，则抛物线C的方程为（）A22xy B22xy C24xy D24xy【答案】D【分析】由已知条件可得12p，求出p，从而可求出抛物线的方程.【详解】因为抛物线C：22xpy的焦点坐标为0,1，所以12p，得2p，所以抛物线方程为24xy，第 2 页 共 14 页 故选：D 4已知实数 a，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A11ba B22ab C0ba Db aa b【答案】A【解析】根据图象可得0ba，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于 A：由图象可得0ba，所以11ba，故 A 正确；对于 B：因为0ba，所以22ab，所以 B 错误；对于 C：因为ba，所以0ba，故 C 错误；对于 D：当2,1ba 时，满足0ba，此时2,1ba，所以2,2a bb a ，即b aa b，故 D 错误，故选：A 5已知直线l的方向向量为1,0,1a ，平面的法向量为1,0,1n，则直线l与平面的位置关系是（）A垂直 B平行 C相交但不垂直 D无法确定【答案】A【分析】根据向量的坐标可得an，从而可判断线面关系.【详解】由题设可得an，故直线l与平面垂直.故选：A.6已知等差数列 na的前n项和为nS，若210a，46a，则当nS取最大值时，n的值为（）A6 B7 C6 或 7 D7 或 8【答案】C【分析】先求出通项公式，利用前 n 项和的定义即可判断出nS取最大值时，n的值.【详解】设等差数列 na的公差为 d，因为210a，46a，所以21411036aadaad，第 3 页 共 14 页 解得：1212da，所以11142naandn.要使nS取最大值，只需把所有正项都加上，所以111420naandn，所以7n.记67SS最大.故选：C.7已知xR，则“11x”是“1x”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据必要不充分条件的定义可得答案.【详解】因为“11x”不能推出“1x”，如1x,“1x”能够推出“11x”，所以“11x”是“1x”的必要不充分条件.故选：B 8在正四面体PABC中，棱长为 1，且 D为棱AB的中点，则PC PD的值为（）A14 B14 C12 D12【答案】D【分析】结合题意画出正四面体，由中点性质可得12PDPAPB，则PC PD可代换为12APCPPB，由向量数量积公式即可求解【详解】如图，因为 D 为棱AB的中点，所以12PDPAPB，第 4 页 共 14 页 1122PC PDPCPCCPAPBPABPP，因为几何体为正四面体，故PA与PC夹角为 60，同理PB与PC夹角为 60，11 1 cos602PPAPBCPC ，故21211122PC PD，故选：D 9已知命题p：“到点1,0的距离比到直线2x 的距离小 1 的动点的轨迹是抛物线”，命题q：“1和 100 的等比中项大于 4 和 14 的等差中项”，则下列命题中是假命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq【答案】B【分析】对于命题p，设动点的坐标为,x y，则根据条件可得动点的轨迹方程，从而可判断该命题的正误.对于命题q，求出等比中项和等差中项后可判断其正误，再结合复合命题的真假判断方法可得正确的选项.【详解】对于命题p，设动点的坐标为,x y，则22121xyx，当2x时，有24yx；当2x时，有288yx，但此时880 x，故288yx不成立，故动点的轨迹方程为24yx，轨迹为抛物线，故p正确.对于q，“1 和 100 的等比中项为10，而 4 和 14 的等差中项为 9，故两者大小关系不确定，从而q错误.故四个命题中，pq，pq，pq均为真命题，pq为假命题，故选：B.10第 24 届冬季奥林匹克运动会，又称 2022 年北京冬季奥运会，将于 2022 年 2 月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦赛场冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为 12，则相邻圆圆心水平距离为 26，两排圆圆心垂直距离为 11，设五个圆的圆心分别为 O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线 C以 O1，O3为焦点以直线 O2O4为一条渐近线，则 C的离心率为（）第 5 页 共 14 页 A29013 B29011 C1311 D2【答案】A【分析】建立直角坐标系，结合图形可得渐近线斜率，再根据公式2()1bae 可得.【详解】如图建立直角坐标系，过4O向 x 轴引垂线，垂足为 A，易知411O A，213O A 1113ba 2290()113bea 故选：A 11 已知椭圆C：22211yxaa的离心率为22，P为椭圆C上的一个动点，定点1,0A，则PA的最大值为（）A32 B2 C52 D3【答案】B【分析】根据椭圆的离心率22112cbeaa，求出椭圆方程，再利用两点间距离公式和点P在圆上，换成关于点P横坐标的二次函数，根据二次函数在闭区间上的最值即可求解.【详解】因为椭圆C：22211yxaa的离心率为22，所以椭圆的离心率22112cbeaa，又21b，则22a，第 6 页 共 14 页 所以椭圆方程为2212yx，设椭圆上一动点00(,)P xy，则220022yx，所以2220000(1)23PAxyxx，因为011x，所以当01x 时，PA取最大值2，故选：B.12南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第 10 项为（）A39 B45 C48 D58【答案】C【分析】由题意，根据高阶等差数列的定义判断出该数列后一项与前一项的差构成新的等差数列，即可求解.【详解】因为4 31642963139418 135 24 186，而 1，2，3，4，5，6 构成等差数列，所以8247a，解得：831a；9318a，解得：939a；10399a，解得：1048a.故该数列的第 10 项为 48.故选：C 二、填空题 13已知椭圆2212516xy的左、右焦点分别为1F、2F，P为椭圆上一点，若17PF，则2PF _【答案】3【分析】根据椭圆的定义列方程，求得2PF的值.【详解】依题意可知5,210aa，根据椭圆的定义1221210,103PFPFaPFPF，故答案为：3.14在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，若3 sincosbAaB，则角B的大小为_.第 7 页 共 14 页【答案】6【分析】利用正弦定理边化角可求得tan B，由此可得B.【详解】由正弦定理得：3sinsinsincosBAAB，0,A，sin0A，3sincosBB，即3tan3B，又0,B，6B.故答案为：6.15若变量x，y满足约束条件20204xyxyy，则目标函数2zxy的最大值为_.【答案】4【分析】画出可行域，平移基准直线20 xy到可行域边界位置，结合图像求得z的最大值【详解】200202xyxxyy.画出可行域如下图所示，由图可知，当平移基准直线20 xy到可行域边界点0,2时，z取得最大值为0224 故答案为：4 16如图，在直三棱柱111ABCABC中，13CC，2ABBC，2AC，则二面角1BACB的大小为_.第 8 页 共 14 页 【答案】3#60【分析】由题意以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，分别求出平面ABC和平面1ACB的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【详解】因为三棱柱111ABCABC为直三棱柱，且2ABBC，2AC，所以222ABBCAC，则ABBC，以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，10,0,0,0,2,0,2,0,0,0,0,3BCAB，设0,0,1n 平面ABC，,mx y z平面1ACB，12,2,0,2,0,3ACAB ，所以102200230n ACxyn ABxz，令1x，则61,3yz，所以61,1,3m.则613cos,221 13m nm nm n.所以二面角1BACB的大小为60.故答案为：60.第 9 页 共 14 页 三、解答题 17已知等比数列 na满足11a，48a，nS为数列 na的前n项和.(1)求数列 na的通项公式；(2)若63nS，求n的值【答案】(1)12nna(2)6n 【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比q，进而得到na；（2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果.【详解】（1）设等比数列 na的公比为q，则33418aa qq，解得：2q，12nna.（2）126312nnS，264n，解得：6n.18已知关于x的不等式2220 xmxm的解集为R.求：(1)实数m的取值范围；(2)函数 92f mmm的最小值【答案】(1)1,2(2)4 【分析】（1）利用判别式的正负即可求解；（2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）不等式2220 xmxm的解集为R.24420mm，解得12m 实数m的取值范围为1,2.（2）由（1）知12m，124m 函数 999222224222f mmmmmmm，当且仅当922mm，即1m 时取等号 f m的最小值为 4.第 10 页 共 14 页 19已知椭圆C：222210 xyabab的长轴顶点与双曲线221169xy的焦点重合，且椭圆C经过点5 6,33A.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆C上，且12PFPF，求点P到x轴的距离.【答案】(1)221259xy(2)94 【分析】（1）根据已知条件求得,a b，从而求得椭圆C的标准方程；（2）设,P m n，根据12PFPF列方程，结合P在椭圆上求得n，进而求得P到x轴的距离.【详解】（1）对于双曲线221169xy，有1695，且5 6,33A在椭圆C上，所以22550313aab，解得5a，3b，椭圆C的方程为221259xy.（2）设,P m n，124,0,4,0FF，由12PFPF，得 22124,4,160PF PFmnmnmn ，又221259mn，由解得94n ，点P到x轴的距离为94.20如图，在ABC中，D是BC上的点，3 3,4,3ABBDC，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：第 11 页 共 14 页（1）角B的大小；（2）ACD的面积 条件：7AD；条件：3AC 【答案】（1）6B，具体选择见解析；（2）3 32.【解析】选择条件：（1）利用余弦定理即可求解；（2）由（1）可得ABC为直角三角形，利用三角形的面积公式：in12sSabC即可求解.选择条件：（1）利用正弦定理即可求解.（2）由（1）可得ABC为直角三角形，利用三角形的面积公式：in12sSabC即可求解.【详解】选择条件：解：（1）在ABD中3 3,4,7ABBDAD，由余弦定理，得 222cos2ABBDADBAB BD222(3 3)4723 3432.因为0B，所以6B.（2）由（1）知，6B，因为3C，所以2BAC.所以ABC为直角三角形.所以3AC，6BC.又因为4BD，所以2CD.所以1sin2ACDSAC CDC133222 3 32.选择条件：解：（1）在ABC中,3,3 3ACAB，3C.由正弦定理 sinsinACABBC，得1sin2B.由题可知 BC03，所以6B.（2）由（1）知，6B，第 12 页 共 14 页 因为3C，所以2BAC.所以ABC为直角三角形，得6BC.又因为4BD，所以2CD.所以1sin2ACDSAC CDC133222 3 32.21如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD ，且1ADAA，2AB，点 E 在棱AB 上移动.(1)证明：DEAD；(2)当 E 为 AB 的中点时，求直线 AC与平面DEC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3030 【分析】（1）设(02)AEtt，求出(1,1)D Et，(1,0,1)A D，利用向量法能求出DEAD；（2）求出平面DEC的法向量(1,1,2)n，利用向量法能求出直线AC与平面DEC所成角的正弦值 【详解】（1）证明：设(02)AEtt，(0,0,1),(1,0),(1,0,1),(0,0,0)DEtAD，(1,1),(1,0,1)D EtA D，10 10D E A D ，DEAD；（2）当E为AB的中点时，(1,1,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,0,1)ECAD，(1,2,0),(1,1,1),(1,1,0)ACEDEC ，设平面DEC的法向量(,)nx y z，则00n EDxyzn ECxy ，取1x，得(1,1,2)n，第 13 页 共 14 页 设直线AC与平面DEC所成角为，则直线AC与平面DEC所成角的正弦值为：|130sin30|5 6n ACnAC 22已知点2,2P在抛物线C：22ypx上(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于11,M x y，22,N xy两点，120y y，且8OM ON（其中O为坐标原点），求122yy的最小值【答案】(1)22yx(2)8 【分析】（1）将点的坐标代入可求得抛物线方程.（2）设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和向量数量积坐标运算，可求得12y y，利用基本不等式求最值.【详解】（1）将点2,2P代入抛物线C：22ypx中，可得2222p，得1p，抛物线C的方程为22yx.（2）由（1）知，抛物线C的方程为22yx，显然直线l的斜率不为 0，设直线l的方程为xmyt，0t，联立22xmytyx，整理可得2220ymyt，则2480mt，122yym，1220y yt，第 14 页 共 14 页 故0t.2122124y yx xt，8OM ON，1122,8x yxy，即12128x xy y，2280tt，0t，解得4t，128y y ，121222 22 168yyy y，当且仅当122yy时取等号.122yy的最小值为 8.