2021-2022学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期中考试数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 17 页 2021-2022 学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题 1已知集合1,(2)0Ax xBx x x，则AB（）A(0,1)B(1,2)C(,2)D(0,)【答案】C【分析】求出集合B，由并集的定义即可求出答案.【详解】因为(2)002Bx x xxx，则2ABx x.故选：C.2“2x”是“2x”的（）.A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先解不等式2x，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】由2x，解得22x，所以“2x”是“2x”的必要不充分条件，故选：B 3对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据11,x y，22,x y，,nnxy，则下列说法不正确的是（）A若变量y和x之间的相关系数为0.9462r，则变量y和x之间具有较强的线性相关关系 B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C用决定系数2R来刻画回归效果，2R越小说明拟合效果越好 D在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高【答案】C【分析】变量y和x之间的相关系数为r越大，则变量y和x之间具有较强的线性相关关系可判断 A；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断 B；用决定系数2R来刻画回归效果，2R越大说明拟合效果越好可判断 C；在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，第 2 页 共 17 页 则回归方程的预报精确度越高可判断 D.【详解】变量y和x之间的相关系数为r越大，则变量y和x之间具有较强的线性相关关系，故 A 正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故 B 正确；用决定系数2R来刻画回归效果，2R越大说明拟合效果越好，故 C 错误；在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，故D 正确.故选：C.4现有 8 个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（）A3565AA B863863AAA C3353AA D8486AA【答案】B【分析】由 8 个人全排列的方法数减去甲，乙，丙全相邻的方法数即可得到.【详解】在 8 个人全排列的方法数减去甲，乙，丙全相邻的方法数，就得到甲，乙，丙三人不全相邻的方法数，即863863AAA.故选：B 5已知变量,x y之间的线性回归方程为0.710.3yx 且变量,x y之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误的是（）x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A变量 x，y 之间呈负相关关系 B可以预测，当20 x时，3.7y C4.7m D该回归直线必过点(9,4)【答案】C【分析】根据题意，结合线性回归分析，一一判断即可求解.【详解】对于选线 A，因0.70，所以变量 x，y 之间呈负相关关系，故 A 正确；对于选项 B，当20 x时，0.72010.33.7y ，故 B 正确；对于选项 C，由题意可知，9x，故0.7910.34y ，第 3 页 共 17 页 又因6324my，所以5m，故 C 错；对于选项 D，由 C 可知，样本中心点为9,4，因此该回归直线必过点(9,4)，故 D 正确.故选：C.64232xx的展开式中x的系数为（）A32 B32 C16 D16【答案】A【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的次数为 1，求出r的值，从而可求出展开式中x的系数【详解】解：4232xx展开式的通项公式为7824314432()(2)rrrrrrrTCxCxx，令7813r，得3r，所以4232xx的展开式中x的系数为334(2)32C，故选：A【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题 7甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（）A0.32 B0.352 C0.288 D0.648【答案】D【分析】分两局结束比赛和三局结束比赛，分别算出甲获胜的概率，相加即为答案.【详解】两局结束比赛，甲获胜的概率为222C0.60.36；三局结束比赛，则前两局甲胜一局，乙胜一局，第三局甲获胜，故甲获胜的概率为12C0.60.40.60.288，故甲最终获胜的概率为 0.36+0.288=0.648 故选：D 8在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于43521 的数共有 A56 个 B57 个 C58 个 D60 个【答案】C 第 4 页 共 17 页【详解】试题分析：第一类 23154，有 1 个，第二类 234 形式，有 2 个，第三类 235 形式，有 2 个，第四类 24 形式，有336A 个，第五类 25 形式，有336A 个，第六类 3 形式，有4424A 个，第七类 41 形式，有336A 个，第八类 42 形式，有336A 个，第九类43 形式，有3315A 个，合计共 58 个【解析】排列组合问题 点评：将大于 23145 且小于 43521 的数按首位不同由小到大分类，依次找到各类中包含的数字求其总数正确求解本题的前提是合理的分类 9若9290129(2)(1)(1)(1)xmaa xaxax，且229028139()()3aaaaaa，则实数m的值为（）A1 或3 B1或 3 C1 D3【答案】A【分析】利用赋值法，令0 x，可得90129(2)aaaam，令2x ，可得90129aaaam，再利用平方差公式即可求解.【详解】令0 x，得到90129(2)aaaam，令2x ，得到90129aaaam，999(2)3mm，即223mm，2230mm，解得3m 或1m.故选：A 10设随机变量 X 服从正态分布(3,4)N，则2(1 3)(7)P XaP X a成立的一个必要不充分条件是 A1a 或 2 B1a 或 2 C2a D352a【答案】B【详解】试题分析：若等式成立，那么，解得，解得或，所以必要不充分条件是【解析】1正态分布；2必要不充分条件 11下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部第 5 页 共 17 页 的格子中，格子从左到右分别编号为 1，2，3，6，用X表示小球落入格子的号码，则（）A11664P XP X B 52E X C 32D X D 54D X 【答案】D【分析】设 Y=X-1，分析出15,2YB，从而求出X的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案.【详解】设 A=“向右下落”，则A=“向左下落”，且 12P AP A，设 Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞 5 次，所以15,2YB，于是55551111C1C222kkkkP YkP Xk （0,1,2,3,4,5k）.所以5051116C232P XP X，A 错误；5151525C232P XP X，5251534C216P XP X，所以 15571625343232162E X，B 错误；222271757107101234232232232232D X 2275715562322324，C 错误，D 正确 故选：D 12足球运动被誉为“世界第一运动”深受青少年的喜爱为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地球传给第 6 页 共 17 页 其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到记开始传球的人为第 1 次触球者，第n次触球者是甲的概率为nP，即11P 则下列说法正确的个数是（）（1）20P；（2）312P；（3）11122nnPP；（4）910PP A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【分析】（1）与（2）能直接进行求解；（3）分析出要想第n次触球者是甲，则第1n次触球的不能是甲，且第1n次触球的人，有12的概率将球传给甲，从而求出递推公式；（4）再第（3）问的基础上求出通项公式，计算出9P，比较出1099311022256PPP ，从而判断出结论.【详解】甲传球给乙或丙，故20P，（1）正确；乙或丙传球给其他两个人，故312P，（2）正确；由题意得：要想第n次触球者是甲，则第1n次触球的不能是甲，且第1n次触球的人，有12的概率将球传给甲，故111111222nnnPPP，C 正确；因为11122nnPP，设112nnPP，解得：13，所以1111323nnPP 因为11233P，所以13nP是以23为首项，公比是12的等比数列，故1121332nnP，所以1211323nnP，故8921143323128P，第 7 页 共 17 页 1099313431102221282256PPP ，故910PP，（4）错误.说法正确的个数是 3 个.故选：C【点睛】概率与数列结合的题目，要能分析出递推关系，通过递推关系求出通项公式，这是解题的关键.二、填空题 13已知 AxR|2axa3,BxR|x4，若AB，则实数 a的取值范围是_【答案】a2【分析】按集合 A 为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数 a的取值范围.【详解】当 a3 即 2aa3 时，A，满足AB；.当 a3 即 2aa3 时，若AB，则有233124aaaa或，解得 a4 或 2a3 综上，实数 a的取值范围是 a2.故答案为：a2 1421nx的展开式中二项式系数之和比各项系数和大 63，则在11nxx的展开式，2x的系数为_【答案】90【分析】先根据二项式系数之和比各项系数和大 63 得到6n，再写出661111xxxx展开式的通项公式，求出2x的系数.【详解】21nx展开式中二项式系数之和为2n，令1x 得：2 11n，故各项系数之和为 1，所以2163n，解得：6n，661111xxxx的展开式通项公式6161C1rrrrTxx，其中11rx的通项公式为 C1kkk rrx，第 8 页 共 17 页 故11nxx展开式的通项公式为 62161CCkrkkrrrTx ，其中06kr，且均为整数，令622kr得：24kr，当0k 时，2r，符合要求，此时2022362CC15Txx；当2k 时，3r，符合要求，此时3222463CC60Txx；当4k 时，4r，符合要求，此时4422564CC15Txx；222215601590 xxxx，故2x的系数是 90,故答案为：90 15将 5 个不同的小球全部放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_种不同的放法.【答案】535【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为 5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法【详解】四个盒子放球的个数如下 1 号盒子：0，1 2 号盒子：0，1，2 3 号盒子：0，1，2，3 4 号盒子：0，1，2，3，4 结合由 5 个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法 5=1+4：153C种 5=2+3：254C种 5=1+1+3：31526C C种 5=1+2+2：22536C C种 5=1+1+1+2：2115323C C C种 5 个相同的小球放入四个盒子方式共有 535 种 故答案为：535 第 9 页 共 17 页【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算 三、双空题 16某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为 0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为 0.4，乘轮船迟到的概率为 0.3，乘飞机迟到的概率为 0.5，则这个人迟到的概率是_；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是_【答案】0.425 0.3310【分析】合理设出事件，利用全概率计算出这个人迟到的概率，用贝叶斯概率公式计算出如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率.【详解】设事件 A 表示“乘火车”，事件 B 表示“乘轮船”，事件 C 表示“乘飞机”，事件 D表示“迟到”，则 0.2P A，0.4P D A，0.4P B，0.3P D B，0.4P C，0.5P D C，DDADBDC，由全概率公式得：P DP A P D AP B P D BP C P D C 0.2 0.40.4 0.30.4 0.50.4；如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为：0.4 0.30.30.4P B P D BP DBP B DP DP D.故答案为：0.4；0.3 四、解答题 17某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x（单位：元件）及相应月销售量y（单位：万件），对近 5 个月的月销售单价x和月销售量iy（1i，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如下表数据：月销售单价ix（元/件）10 15 20 25 30 月销售量为iy（万件）11 10 8 6 5 (1)求y关于x的回归直线方程；(2)利用（1）的回归方程，当该产品月销售单价为35x 元/件，月销售量y的预测值为多少？第 10 页 共 17 页 附：对于一组数据11,x y，22,x y，,nnxy，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式为：ybxa，其中1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，aybx【答案】(1)872255yx (2)165【分析】（1）代入公式中求出,b a，求出回归直线方程；（2）将35x 代入第一问求出的回归直线方程，求出销售量y的预测值.【详解】(1)1015202530205x，11 1086585y，51521()()10 35 205 2 10 3810025025 10025()iiiiixxyybxx ，872820255 a，所以y关于x的回归直线方程为872255yx；(2)当35x 时，87216352555y ，所以当该产品月销售单价为35x 元/件，月销售量y的预测值为165万件.18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，M是侧棱PD的中点，且AM 平面PCD (1)求证：平面PAD 平面ABCD；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值【答案】(1)详见解析；第 11 页 共 17 页(2)77【分析】（1）由AM 平面PCD，得到AMCD，易得ADCD，进而得到CD平面PAD，然后利用面面垂直的判定定理证明；（2）以 O为原点，建立空间直角坐标系，先求得平面 PBC 的一个法向量,nx y z，设AM与平面PBC所成角，由sinAMnAM n求解.【详解】(1)证明：因为AM 平面PCD，所以AMCD，又底面ABCD为正方形，所以ADCD，又ADAMA，所以CD平面PAD，又CD 平面 ABCD，所以平面PAD 平面ABCD；(2)取 AD的中点 O，连接 PO，则PO 平面 ABCD，则以 O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设 AB=2，则131,0,0,1,2,0,1,2,0,0,0,3,1,0,0,0,22ABCPDM，所以33,0,1,2,3,1,2,322AMPBPC，设平面 PBC 的一个法向量为,nx y z，则00PB nPC n，即230230 xyzxyz，第 12 页 共 17 页 令3z，则32y，x=0，则30,32n，设AM与平面PBC所成角，所以372sincos,72132AMnAM nAM n.19中国探月工程自 2004 年批准立项以来，聚焦“自主创新重点跨越支撑发展引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020 年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了 100 名学生进行调查，调查样本中有40 名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.（1）完成下面的列联表，并判断是否有 95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关？关注 没关注 合计 男生 女生 合计 （2）若将频率视为概率，现从该中学高三女生中随机抽取 2 人.记被抽取的 2 名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量 X，求 X的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，其中nabcd .20P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 第 13 页 共 17 页 0k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）22列联表见解析，有95%的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”；（2）分布列见解析，期望为35【分析】（1）由等高条形图中的数据填写列联表，利用公式求得2K的值，结合分别，即可求解；（2）计算出女生中关注此新闻的概率，再由二项分别的性质，求出分布列以及数学期望，即可求解.【详解】（1）由题意，根据等高条形图中的数据，可得：女性40人中，其中40 0.312人关注，28人不关注；男性60人中，其中60 0.530人关注，30人不关注；所以可得如下的22的列联表：关注 没关注 合计 男生 30 30 60 女生 12 28 40 合计 42 58 100 所以222()100(3028 12 30)8003.9413.841()()()()42 58 40 60203n adbcKab cdac bd，所以有95%的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”.（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为1234010P，又因为随机变量3(2,)10XB，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2 P 49100 42100 9100 所以 332105E Xnp.20已知nS为数列 na的前n项和，且22nnSa，*nN 第 14 页 共 17 页(1)求数列 na的通项公式；(2)令1211nnnnbaa，设数列 nb的前n项和为nT，若20212022nT，求n的最小值 【答案】(1)2nna (2)10【分析】（1）利用,nnaS的关系式得到12nnaa，判断出 na为等比数列，求出通项公式；（2）裂项相消法求和，进而解不等式，求出n的最小值.【详解】(1)22nnSa，当2n时，1122nnSa，两式相减得：122nnnaaa，所以12nnaa，当1n 时，1122Sa，解得：12a，所以 na是首项为 2，公比是 2 的等比数列，所以2nna，经检验，满足题意；(2)1121121212121nnnnnnb，所以2231111111111212121212121nnnnT ，20212022nT，即1120211212022n，解得：10n 故n的最小值为 10.212021 年 10 月 16 日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有 3 个红球，2 个白球，这些球除颜色外完全相同参与者每一轮从口袋中一次性取出 3 个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中当参与完成第 n 轮游戏，且其前 n轮的累计得分恰好为 2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏 若第 3 轮后仍未过关，则游戏也结束每位参与者只能参加一次游戏 第 15 页 共 17 页(1)求随机变量 X 的分布列及数学期望；(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1.8(2)0.696【分析】（1）先得出随机变量 X 可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；（2）分别求出甲取球 1 次后、取球 2 次后、取球 3 次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率【详解】(1)由题意得，随机变量 X 可取的值为 1，2，3，易知10.3P X，20.6P X，所以30.1P X，则随机变量 X 的分布列如下：X 1 2 3 P 0.3 0.6 0.1 所以 1 0.32 0.63 0.11.8E X (2)由（1）可知，参与者每轮得 1 分，2 分，3 分的概率依次为 0.3，0.6，0.1，记参与者第 i轮的得分为iX，则其前 n 轮的累计得分为12nYXXX，若参与者取球 1 次后可领取纪念品，即参与者得 2 分，则20.6P Y；若参与者取球 2 次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为 4 分，有“1 3”、“3 1”的情形，则42 0.3 0.10.06P Y；若参与者取球 3 次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为 6 分，有“1 23”、“32 1”的情形，则62 0.3 0.1 0.60.036P Y；记“参与者能够领取纪念品”为事件 A，则 2460.60.060.0360.696P AP YP YP Y 22已知函数2e()(2)2xf xbxa(1)当1ab时，求曲线()yf x在(0,(0)f处的切线方程；(2)当2a 时，()3f x 恒成立，求b的值；(3)当2ea，2x 时，()ln(1)f xba x恒成立，直接写出b的取值范围 第 16 页 共 17 页【答案】(1)40 xy(2)1b (3)2,)【分析】（1）利用导数的几何意义求解（2）令()()3e(2)1xg xf xbx，问题等到价于()0g x，而()0g x，可得0 x 为函数()g x的最小值点，然后分2b和2b分析求解即可，（3）问题等到价于2e(ln)2(1)ln(1)xb xaxbxa恒成立，构造函数()2lnh xxbx，转化为2e(1)xhh x，再构造函数2()e1,2xH xxx，利用导数判断其最小值，从而可判断出2e11xx，由此可得()h x为增函数，进而可求得结果【详解】(1)当1ab时，()2e2xf xx，则()2e1xfx，0(0)2e024f，0(0)2e11f ，所以曲线在(0,(0)f处的切线方程为4yx，即40 xy，(2)当2a 时，()e(2)2xf xbx，令()()3e(2)1xg xf xbx，则()3f x 恒成立等价于()0g x，因为(0)0g，所以0 x 为函数()g x的最小值点，因为()e2xg xb，当2b时，()0g x，所以()g x在R上单调递增，不合题意，当2b时，由()e20 xg xb，得ln(2)xb，当ln(2)xb时，()0g x，当ln(2)xb时，()0g x，所以()g x在(,ln(2)b上递减，在(ln(2),)b上递增，所以当ln(2)xb时，()g x取得最小值，所以ln(2)0b，解得1b (3)()ln(1)f xba x恒成立，等价于2e22ln(1)lnxbxxbxbaa，即2e(ln)2(1)ln(1)xb xaxbxa恒成立，构造函数()2lnh xxbx，第 17 页 共 17 页 2e(ln)2(1)ln(1)xb xaxbxa等价于e(1)xhh xa，因为2ea，所以2e(1)xhh x 令函数2()e1,2xH xxx，则2()e1xH x，显然()H x为增函数，则()(2)0H xH，所以()H x在(2,)上为增函数，所以()(2)0H xH，所以2e10 xx，则2e11xx，因为2e(1)xhh x，所以()h x在(1,)上单调递增，所以当(1,)x时，()20bh xx恒成立，即max2bx，所以b的取值范围 2,)【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用求曲线的切线方程，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第 3 问解题的关键是将不等式转化为2e(ln)2(1)ln(1)xb xaxbxa恒成立，再构造函数()2lnh xxbx，再次转化为2e(1)xhh x恒成立，再利用导数判断其单调性，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题