2022-2023学年北京市昌平区高二上学期期末质量检测数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年北京市昌平区高二上学期期末质量检测数学试题 一、单选题 1已知直线:20l xy，则直线l的倾斜角为（）A4 B2 C23 D34【答案】D【分析】将直线方程化成斜截式，可得直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得答案.【详解】解：因为直线:20l xy，化成斜截式为2yx ，所以直线l的斜率1k，设直线l的倾斜角为，则有tan1，又因为0,)，所以34.故选：D 2已知,1,2,2,1axby，且ab，则xy（）A92 B2 C2 D8【答案】B【分析】先利用向量平行充要条件求得14,2xy ，进而求得xy的值.【详解】,1,2,2,1axby，且ab，则 1 201 120 xyy ，解之得124yx ，则1422xy 故选：B 3椭圆221259xy的右焦点坐标为（）A5,0 B3,0 C4,0 D5,0【答案】C【分析】利用椭圆的标准方程判断其焦点位置并求得c，从而得解.第 2 页 共 17 页【详解】因为椭圆221259xy，所以椭圆焦点落在x轴上，2225,9ab，所以22225916cab，则4c，所以椭圆221259xy的右焦点坐标为,0c，即4,0.故选：C.4已知正方体11111,ABCDABC D ABa ADb AAc，点E是1BB的中点，则DE（）A12abc B12abc C12abc D12abc【答案】D【分析】先用空间向量的减法表示DB，然后再用空间向量的加法表示DE.【详解】在正方体1111ABCDABC D中，,ABa ADb，则DBABADab，又点E是1BB的中点，则11111222BEBBAAc，所以12DEDBBEabc.故选：D.5在5(3)x的展开式中，3x的系数为（）A270 B90 C90 D270【答案】C【分析】利用二项展开式通项即可求得3x的系数【详解】5(3)x的展开式的通项515C(3)rrrrTx 令53r，则2r，则3x的系数为225C(3)90 第 3 页 共 17 页 故选：C 6设,m n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若,mn，则mn B若,mn，则mn C若,mn mn，则 D若,mn mn，则【答案】C【分析】利用长方体模型举反例排除 A，B，D，再证明 C 正确即可.【详解】作长方体1111ABCDABC D，对于选项 A，取平面为平面ABCD，平面为平面1111DCBA，直线m为直线BC，直线n为直线11C D，则,mn，但直线,m n异面，选项 A 错误；对于选项 B，取平面为平面ABCD，平面为平面11AB BA，直线m为直线11C D，直线n为直线1CD，则,mn，但直线,m n不垂直，选项 B 错误；对于选项 D，取平面为平面ABCD，平面为平面11AB BA，直线m为直线1C C，直线n为直线11C D，则,mn mn，但平面,垂直，选项 D 错误；对于选项 C，如图过直线n作平面与平面相交，且l，因为/n，n，l，所以/n l，又/m n，所以/m l，因为/m l，m，所以l，又l，所以，选项 C 正确.故选：C.第 4 页 共 17 页 7“2m”是“双曲线2221yxm的渐近线方程为2yx”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】双曲线渐近线方程为byxa，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】若2m，则22212yx，则渐近线方程为2yx；若渐近线方程为2yx，则21mba，则2m ，故“2m”是“双曲线2221yxm的渐近线方程为2yx”的充分而不必要条件，故选：A.8已知直线:1l ykx与曲线2:14xC y 有公共点，则实数k的取值范围是（）A1 1,2 2 B2 2,C,22,D11,22 【答案】D【分析】根据曲线方程可得曲线C为椭圆2214xy的上半部分包括x轴上的部分，由直线经过定点0,1P，数形结合即可求解.【详解】将214xy 得22104xyy，故曲线C为椭圆2214xy的上半部分包括x轴上的部分，:1l ykx经过定点0,1P,曲线C与x轴的交点为2,0,2,0AB,11,22APPBkk，当直线:1l ykx与曲线2:14xC y 有公共点时，则PBkk 或APkk，即12k 或12k ，故选：D 9某社区征集志愿者参加为期 5 天的“垃圾分类，全民行动”的宣传活动，要求志愿者每人只参加一第 5 页 共 17 页 天且每天至多安排一人.现有甲乙丙 3 人报名，甲要求安排在乙丙的前面参加活动，那么不同的安排方法共有（）A18 种 B20 种 C24 种 D30 种【答案】B【分析】根据组合以及分步乘法计数原理即可求解.【详解】根据题意可知：需要从 5 天中选择 3 天分别安排甲乙丙 3 名志愿者，且甲在乙丙的前面，第一步：从 5 天中选择 3 天，共有35C10种选择，第二步：将甲乙丙按照“甲乙丙”或者“甲丙乙”的顺序安排在已选好的 3 天中，共有 2 种选择，根据分步乘法计数原理得：不同的安排方法共有2 1020，故选：B 10已知正四棱锥PABCD的八条棱长均为4,S是四边形ABCD及其内部的点构成的集合.设集合|3TQS PQ，则T表示的区域的面积为（）A34 B C2 D3【答案】B【分析】由题意，相当于求出以P为球心，3 为半径的球与底面ABCD的截面圆的半径后，即可求区域的面积.【详解】解：设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为正方形ABCD的中心，如图，且1242 22BO，故221682 2POPBOB.因为当3PQ 时，故221OQPQPO，故T的轨迹为以O为圆心，1 为半径的圆上以及圆内，而正方形ABCD内切圆的圆心为O，半径为21，故T的轨迹在正方形ABCD内部，故其面积为.故选：B.第 6 页 共 17 页 二、填空题 11已知直线12:210,:310laxylxy .若12ll，则实数a_.【答案】6【分析】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解.【详解】由于12ll，所以2 30a ，解得6a 故答案为：6 12从 0，2 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数共有_个（用数字作答）【答案】12【分析】由分步乘法计数原理结合排列组合直接求解即可【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从 0，2 中选一个数字为个位数，有 2种可能，从 1，3，5 中选两个数字为十位数和百位数，有23A3 26种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2 612 故答案为：12 13若423401234(12)xaa xa xa xa x，则13aa_.（用数字作答）【答案】40【分析】利用赋值法求解.【详解】解：由423401234(12)xaa xa xa xa x，令1x，得0123481+aaaaa，令=1x，得012341aaaaa，两式联立得1340aa，故答案为：40 14数学中有许多形状优美寓意美好的曲线，曲线:G224xyxy就是其中之一（如图）.给出下列四个结论：第 7 页 共 17 页 曲线G有且仅有四条对称轴；曲线G上任意两点之间的距离的最大值为 6；曲线G恰好经过 8 个整点（即横坐标纵坐标均为整数的点）；曲线G所围成的区域的面积大于 16.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【分析】设点00,P x y是曲线G上任意一点，分别求出点00,P x y关于x轴、y轴、直线yx、直线yx对称的点，检验是否满足方程可得有四条对称轴.再由图象知，没有其他的对称轴即可判断正确；根据基本不等式可得4xy，即有228xy，所以曲线G上任意一点到原点的距离2 2d，进而可判断错误；分别令0 x，1x，2x，可得到 8 个点的坐标，进而说明当2x时，不存在这样的点，即可判断正确；易知曲线G的范围大于以2,0，2,0，2,2，2,2，2,2，2,2，0,2，0,2这 8 个点构成的正方形，又正方形的面积为 16，即可得到正确.【详解】对于：设点00,P x y是曲线G上任意一点，则有2200004xyx y成立.显然点00,P x y关于x轴的对称点100,P xy，点00,P x y关于y轴的对称点200,Px y，点00,P x y关于直线yx的对称点300,P y x，点00,P x y关于直线yx的对称点400,Pyx也满足该式成立，所以x轴、y轴、直线yx、直线yx都是曲线G的对称轴.由图象易得，曲线G没有其他的对称轴，故正确；对于：因为222xyxy，当且仅当xy时，等号成立.所以有42xyxy，则4xy，所以有2248xyxy，即曲线G上任意一点到原点的距离2282 2dxy.又曲线G的图象关于O点中心对称，所以曲线G上任意两点之间的距离的最大值为24 2d，故错误；对于：令0 x，则24y，解得2y ，可得点0,2，0,2；第 8 页 共 17 页 令1x，则230yy，显然y无整数解；令2x，则220yy，解得2y 或0y，可得点2,0，2,0，2,2，2,2，2,2，2,2；当3x，29x，此时将224xyxy看做关于y的方程2240yxx y，此时22244163xxx .因为29x，所以2327x，则2163110 x ，方程无解.综上所述，曲线G恰好经过 8 个整点.故正确；对于：显然由2,0，2,0，2,2，2,2，2,2，2,2，0,2，0,2这 8 个点构成的正方形在曲线G的内部.正方形的边长为 4，面积为 16.所以曲线G所围成的区域的面积大于 16.故正确.故答案为：.三、双空题 15在三棱锥PABC中，PA 底面,1,2ABC ABAC PAABAC，则异面直线PC与AB所成角的大小为_；点A到平面PBC的距离为_.【答案】2#90 63【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与AB所成角，根据点面距离的空间向量法即可求解.【详解】在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，,1,2ABAC PAABAC，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,1ABCP,0,2,1,2,0,0PCAB，2,0,1PB ，设异面直线PC与AB所成角为，02 则|000cos0|25|PC ABPCAB,由于02，所以2，设平面PBC的法向量为,mx y z，则2020m PCyzm PBxz，取1x，则1,1,2m，第 9 页 共 17 页 所以点A到平面PBC的距离为200636m ABm 故答案为：2，63 16已知双曲线C经过点1,4，离心率为3 24，则双曲线C的标准方程为_；其焦距为_.【答案】221779yx 2 703【分析】先分类讨论双曲线C的焦点在x轴或是在y轴上，再由题意求出22,ab的值，从而得出双曲线C的标准方程及其焦距.【详解】当双曲线C的焦点在x轴上时，可设双曲线C为：22221,(0,0)xyabab，离心率为223 214cbeaa，则2218116ba，2219ba，229ab，又因为双曲线C经过点1,4，则有221161ab，联立方程222291161abab，解得2159b ，不符合题意；当双曲线C的焦点在y轴上时，可设双曲线C为：22221,(0,0)yxabab，离心率为223 214cbeaa，则2218116ba，2219ba，229ab，又因为双曲线C经过点1,4，则有221611ab，联立方程222291611abab，解得279b，27a，则222770799cab，所以703c ，第 10 页 共 17 页 则双曲线C的标准方程为221779yx，焦距为：2 703.故答案为：221779yx,2 703.四、解答题 17已知圆C的圆心坐标为1,0C，且经过点0,3P.(1)求圆C的标准方程；(2)若过点P作圆C的切线l与x轴交于点M，求直线l的方程及PCM的面积.【答案】(1)2214xy(2)330 xy；2 3 【分析】（1）利用待定系数法设出圆的标准方程，代入即可求解.（2）首先利用点斜式设出直线方程，再利用直线与圆相切的条件求出斜率，即可得到直线方程，再结合三角形为直角，即可求解面积.【详解】（1）有题意可知，设圆的方程为2221xyr，又因为0,3P在圆上，则 2220 13r，则24r，故圆的方程为2214xy.（2）由题意知，直线的斜率存在，则设直线方程为30yk x，即30kxy，因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离2321kdk，解得33k，则直线方程为330 xy.则M点坐标为30，根据题意知，PCM为直角三角形，其中 220332 3PM，而221 0032PC，所以PCM的面积为112 322 322PMPC.18如图,在三棱柱111ABCABC中,1C C 平面1,1ABC ACBC CACCCB.第 11 页 共 17 页 (1)求证:1AC 平面1ABC;(2)求直线1C C与平面1ABC所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)45 【分析】(1)先说明11ACC A为正方形,即11ACAC,再证明BC平面11ACC A,即1ACBC,根据线面垂直的判定定理即可证明;(2)根据(1)中结论1AC 平面1ABC,则直线1C C与平面1ABC所成角即为11C CA,在正方形11ACC A求出该角即可.【详解】（1）证明:1C C 平面ABC,AC平面ABC,1C CAC,1ACCC,平行四边形11ACC A为正方形,11ACAC,1C C 平面ABC,BC平面ABC 1C CBC,BCAC,1ACCCC,AC平面11ACC A,1CC 平面11ACC A,BC平面11ACC A,1AC 平面11ACC A,第 12 页 共 17 页 1ACBC,1,BCACC BC平面1ABC,1AC 平面1ABC,1AC平面1ABC得证;（2）记1AC与1AC交点为D,由(1)知1AC 平面1ABC,所以1C D 平面1ABC,故直线1C C与平面1ABC所成角为11C CA,由(1)知平行四边形11ACC A为正方形,1145C CA,故直线1C C与平面1ABC所成角为45.19已知抛物线2:2(0)C ypx p经过点1,2.(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设1,4M，直线:l yxb与抛物线C有两个不同的交点,A B.若MAB是以AB为底边的等腰三角形，求证：直线l经过抛物线C的焦点.【答案】(1)24yx,=1x(2)证明见解析 【分析】(1)应用点在抛物线上即可求出p,即可求出抛物线C的方程及其准线方程;(2)直线方程和抛物线联立方程组,再把等腰三角形转化为斜率关系,列式计算即可求出b,进而得证.【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C ypx p经过点1,2,所以42p,所以抛物线C的方程为24yx,准线方程为=1x;第 13 页 共 17 页（2）设 1122,A x yB x y,AB中点1212,22xxyyT 联立方程组24yxyxb,可得24xbx,即22240 xbxb 可得222440bb，即1b，1221242xxbx xb,则12124yyxbxb，所以2,2Tb，因为MAB是以AB为底边的等腰三角形,所以MTAB,即可得1MTABkk，又因为1ABk,1,4M,2,2Tb,则21MTkb,即得2111b 所以1b 所以:1l yx，经过抛物线C的焦点1,0.20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD 平面,2ABCD DADCDP，点M在棱PC上，且PA/平面BDM.(1)求证：M是棱PC的中点；(2)再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（i）二面角MBDC的余弦值；（ii）在棱PA上是否存在点Q，使得BQ 平面BDM？若存在，求出PQPA的值；若不存在，说明理由.条件：60BAD；条件：2BD.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)（i）217；（ii）不存在点Q，理由见解析 【分析】（1）连结AC，交BD于F，连结MF，又线面平行的性质可推导出/PAMF，由此能证明第 14 页 共 17 页 结论；（2）由已知分析，选择条件：60BAD，或选择条件：2BD，均可得ABD为正三角形，取AB中点N，连接DN，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解二面角MBDC的余弦值及验证是否存在点Q，使得BQ 平面BDM即可.【详解】（1）证明：连接AC交BD于F，连接MF 则MF是平面PAC与平面BDM的交线，/PA平面BDM，PA 平面PAC，/PAMF 又底面ABCD为平行四边形，则F是AC的中点，M是棱PC的中点，（2）解：因为底面ABCD为平行四边形，又2DADC，则底面ABCD为菱形，选择条件：60BAD，或选择条件：2BD，均可得ABD为正三角形.取AB中点N，连接DN，则DNAB，即DNDC 又PD 平面ABCD，,DQ DC 平面ABCD，所以,PDDN PDDC，如图以D为原点，,DN DC DP为,x y z轴建立空间直角坐标系，则 0,0,0,3,1,0,3,1,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1DABCPM，（i）由于PD 平面ABCD，则0,0,2DP 时平面BCD的一个法向量，设平面BDM的法向量为,nx y z，又3,1,0,0,1,1DBDM，第 15 页 共 17 页 所以030300DB nxyyxyzyzDM n ，令1x 得1,3,3n，则2 321cos,727DP nDP nDPn，由图可知二面角MBDC为锐角，所以二面角MBDC的余弦值为217；（ii）若在棱PA上否存在点Q，设PQPA，则PQPA，且 0,1，所以 3,1,23,2PQ，则 3,1,23,233,1,22BQBPPQ ，若BQ 平面BDM，则/BQn，所以33122133，此方程无解，故在棱PA上不存在点Q，使得BQ 平面BDM.21 已知椭圆222:1(02)4xyGbb的离心率为22，其左右顶点分别为12,A A，过点1,0P作与x轴不重合的直线l交椭圆G于点,M N（点M在x轴的上方）.(1)求椭圆G的方程；(2)若线段MN的长等于4 53，求直线l的方程；(3)设直线12,AM A N的斜率分别为12,k k，试判断12kk是否为定值？若是定值，求出这个定值，并加以证明；若不是定值，说明理由.【答案】(1)22142xy(2)10 xy 或10 xy (3)12kk为定值13，理由见解析.【分析】（1）根据椭圆离心率公式221bea，代入计算，即可得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为1xmy，0m，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式列出方程，即可得到结果.（3）设l的方程为1xmy，0m，设11,M x y，22,N xy，然后将直线方程与椭圆的方程联立第 16 页 共 17 页 方程组，消去x，再利用根与系数的关系得12223myym，12233y ym，然后求11122222ykxykx，化简可得答案；【详解】（1）因为椭圆222:1(02)4xyGbb的离心率为22，即22221142bbea，解得22b 所以椭圆方程为22142xy（2）根据题意设直线l的方程为1xmy，0m 联立直线与椭圆方程可得221142xmyxy，消去x得222230mymy 则240bac，即222412216240mmm 由韦达定理可得12122223,22myyy ymm 由弦长公式可得2221212124 51143MNmyymyyy y 化简可得，2222234 514223mmmm 即42228513081310mmmm 所以21m 或2138m （舍）即1m 所以直线l的方程为10 xy 或10 xy （3）12kk为定值13，理由如下：设l的方程为1xmy，0m，设11,M x y，22,N xy，不妨设210yy.由221142xmyxy可得222230mymy，216240m，12222myym，12232y ym.所以121223yymy y，即121223my yyy.第 17 页 共 17 页 且12121212,22A MA Nyykkkkxx 11122222ykxykx 121222yxxy 1212112122133y mymy yymyymy yy 12112232332yyyyyy12121312239322yyyy.综上所述：1231kk.