2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期12月月考数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年上海市南洋模范中学高一上学期 12 月月考数学试题 一、填空题 1已知函数1()4xf xa（其中0a 且1a）的图象恒过定点 P，则点 P 坐标是_.【答案】(1,5)【分析】令10 x 即可求出P的横坐标，进而可求出P的坐标.【详解】解：令10 x，此时1x，101xaa，此时 15f，所以图象恒过1,5P.故答案为:(1,5).【点睛】本题主要考查了函数过定点问题，需要记住对数函数，指数函数过的定点,属于基础题.2若函数 21xaxbfxx是定义在1,1上的奇函数，则22ab_.【答案】0.【分析】首先根据 00f，求a，再根据 fxf x 求b，最后表示22ab的值.【详解】00fa，21xfxxbx，f x是定义在1,1上的奇函数，2211xxfxf xxbxxbx 即2211xxxbxxbx ，解得：0b，0ab ，220ab.故答案为：0【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求系数，意在考查奇函数的概念，基本计算，属于基础题型.3已知函数 3f xa xb（0a），则将 f e，3f，f从小到大排列为_.【答案】3fff e.【分析】根据函数的形式可知函数关于3x 对称，并且判断对称轴两侧的单调性，从而利用函数的对称性和单调性比较大小.第 2 页 共 17 页【详解】33a xbf xaxb 33xx，f x关于3x 对称，0a 当3x时，函数单调递增，当3x时，函数单调递减，所以当3x 时，函数取得最小值，离3x 越远，函数值越大，33e，3fff e 故答案为：3fff e【点睛】本题考察了函数的对称性，意在考查函数性质的应用，属于基础题型.4已知集合20Ax xx，21xBx，则AB_.【答案】0,【分析】解不等式得到01Axx，0Bx x，求出并集.【详解】20 xx，解得：01x，故01Axx，21x，解得：0 x，故0Bx x，故0,AB.故答案为：0,5下列幂函数在区间0,上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是_（请填入全部正确的序号）（1）12yx；（2）13yx；（3）23yx；（4）13yx；（5）3.yx【答案】（2）（5）【解析】利用函数奇偶性的定义判断出（1）（2）（3）（4）（5）中各函数的奇偶性，利用幂函数的基本性质判断出各函数在区间0,上的单调性，由此可得出结果.【详解】（1）函数12yxx的定义域为0,，函数12yx为非奇非偶函数，且该函数在区间0,上是严格增函数；第 3 页 共 17 页（2）令 1332fxxx，该函数定义域为R，3322fxxxfx ，函数13yx为奇函数，且该函数在区间0,上是严格增函数；（3）令 23233fxxx，该函数的定义域为R，232333fxxxfx，函数23yx为偶函数，且该函数在区间0,上是严格增函数；（4）令 13431fxxx，该函数的定义域为0 x x，443311fxfxxx ，函数13yx为奇函数，且该函数在区间0,上是严格减函数；（5）令 35fxx，该函数的定义域为R，3355fxxxfx ，函数3yx为奇函数，且该函数在区间0,上是严格增函数.故答案为：（2）（5）.6已知定义在 R上的奇函数()f x在(,0上是减函数，若(1)(32)0f mfm，则实数 m的取值范围是_【答案】1,4【分析】利用函数奇偶性和单调性的关系进行求解判断【详解】因为 fx是奇函数，在,0上是减函数，所以 fx在R上单调递减，因为(1)(32)0f mfm，所以(1)(32)f mfm，即(1)(23)f mfm，所以12 3mm，解得14m 故答案为：1,4 7命题 p：（xm）23（xm）是命题 q：x2+3x40 成立的必要不充分条件，则实数 m 的取值第 4 页 共 17 页 范围为_.【答案】m1 或 m7【解析】先求出命题 p 和命题 q 中不等式的解，再根据必要不充分条件列不等式求解.【详解】解：由 x2+3x40 得4x1，由（xm）23（xm）得（xm3）（xm）0，即 xm+3 或 xm，若 p 是 q 的必要不充分条件，则 1m 或 m+34，即 m1 或 m7，故答案为：m1 或 m7.【点睛】本题考查二次不等式的求解，考查充分性，必要性的应用，是中档题.8记1 2 3100A ，那么2341001111loglogloglogAAAA_.【答案】1.【分析】根据对数运算法则1loglogbaab，化简原式，求值.【详解】2341001111loglogloglogAAAA log 2log 3log 4.log 100AAAA log 2 3 4.1001A .故答案为：1【点睛】本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型.9设0a 且1a，则函数 2221xf xaxxa的零点的个数为_.【答案】2.【分析】函数零点个数等价于函数xya与2222112yxxaxa 的交点个数，分1a 和01a画出两个函数的图象，由图象判断焦点个数.【详解】22210 xaxxa 等价于2221xaxxa ，函数 2221xf xaxxa的零点的个数等价于函数xya 与2222112yxxaxa 的交点个数，当1a 时，画出两个函数的图象，并且1x 时，2aa，第 5 页 共 17 页 如图，由图象可知函数有两个交点，即函数 2221xf xaxxa的零点的个数是 2 个；当01a时，1x 时，2aa，如图，由图象可知两个函数有两个交点，即函数 2221xf xaxxa的零点的个数是 2 个；综上可知无论01a，还是1a，两者均有两个交点.故答案为：2【点睛】本题考查函数零点个数问题，意在考查函数与方程的思想和数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.10 若不等式21xaxaa 对于任意实数 x恒成立，则满足条件的实数 a 的取值范围_.【答案】2,2,5.【分析】首先若满足不等式恒成立，即min12axaxa ，第 6 页 共 17 页 根据不等式 222aaxaxaxaxx，利用含绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a的取值范围.【详解】32222222aaaaaxaxaxaxxxaxxax 32a，当2ax 时，等号成立，min322axaxa，若满足不等式21xaxaa 对于任意实数 x恒成立，即312aa ，即312aa 或312aa，解得：25a 或2a.故答案为：2,2,5 【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查绝对值的意义和绝对值三角不等式求最值，属于中档题型，含有两个绝对值的式子求最值时，参考公式ababab.11已知函数 3 22xf x ，对于任意的 20,1x，都存在 10,1x，使得 12213f xf xm成立，则实数 m的取值范围为_【答案】2211log,log63【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【详解】111355,8,422f xf x，2123 223 22,3 22xmmmf xm ，由题意得22111523 22116loglog22633 22423mmmmm 故答案为：2211log,log63 12设函数 f x的定义域为 D，若存在实数0T T，使得对于任意xD，都有 f xf xT，则称 f x为“T 严格增函数”，对于“T 严格增函数”，有以下四个结论：第 7 页 共 17 页“T 严格增函数”f x一定在 D上严格增；“T 严格增函数”f x一定是“nT 严格增函数”（其中*Nx，且2n）函数 f xx是“T 严格增函数”（其中 x表示不大于 x的最大整数）函数 f xxx不是“T 严格增函数”（其中 x表示不大于 x 的最大整数）其中，所有正确的结论序号是_.【答案】【分析】根据“T 严格增函数”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案.【详解】，函数,01,0 x xf xxx，定义域为R，存在2T，对于任意xR，都有 2f xf x，但 f x在R上不单调递增，所以错误.，f x是“T 严格增函数”，则存在0T，使得对任意xD，都有 f xf xT，因为2,0nT，所以f xTf xnT，故 f xf xnT，即存在实数0nT，使得对任意xD，都有 f xf xnT，所以 f x是“nT 严格增函数”，正确.，f xx，定义域为R，当1T 时，对任意的xR，都有 1xx，即 1f xf x，所以函数 f xx是“T 严格增函数”.，对于函数 f xxx，11111f xxxxxxxf x ，所以 f x是周期为1的周期函数，11112222f ，若1T，则13311122222ff ，不符合题意.当0T 且1T 时，若 f xf xT，则 xxxTxT，即 TxTx（*），其中，若01T，则总存在,2nn*N，使得1nT，当1T 时，若T是正整数，则 xTxT，（*）不成立，第 8 页 共 17 页 若T不是正整数，TxTx不恒成立，所以函数 f xxx不是“T 严格增函数”.故答案为：【点睛】本题主要考查新定义函数的理解，对于新定义函数的题，解题方法是通过转化法，将“新”转化为“旧”来解题，选择题中，可利用特殊值进行举反例来排除.二、单选题 13若二次函数2yaxbxc的图像不经过原点，则“0abc”是“此函数为偶函数”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件【答案】C【分析】首先根据二次函数2yaxbxc的图像不经过原点求得0,0ac.然后将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分、必要条件.【详解】由于二次函数2yaxbxc的图像不经过原点，所以0,0ac.若0abc，则0b，此时 2f xaxc，满足 fxf x，是偶函数，反过来，当函数是偶函数时，对称轴是y轴，所以0b，即0abc 所以“0abc”是“此函数为偶函数”的充要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.14设,0,x y，且21xy，则11xy的最小值为（）A7 B6 C32 2 D32【答案】C【分析】根据题意，化简1311122yxxyyyyxxx，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为0 x，0y，21xy，则2223112212133yxyxxyxxxyxyyy，当且仅当2yxxy时，即2 2222,22xy时，等号成立，第 9 页 共 17 页 所以11xy的最小值为32 2.故选：C.15若函数 201xf xa x，存在反函数，则常数 a的取值范围为（）A（，1 B1，2 C2，+）D（，12，+）【答案】D【分析】依题意可得 f（x）在0，1上单调，分两种情况讨论，参变分离，结合指数函数的性质能求出常数 a的取值范围【详解】解：函数 201xf xa x，存在反函数 函数 2xf xa在0，1上单调 若单调递增，即 2xf xa，则20 xa 在 x0，1上恒成立，即2xa 在 10 x，上恒成立 2xy 在0，1上单调递增 0min21y a1 若单调递减，即()2xf xa，则20 xa在 10 x，上恒成立 即2xa 在 10 x，上恒成立 2xy 在0 1，上单调递增 max2y 2a 综上，常数 a的取值范围为(12)，故选：D 16 函数 11fxx，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为（）函数 f x的定义域为1x x 且1x ；2021(2022)2020ff；函数 f x的图像关于直线1x 对称；当1,1x 时，max1f x；方程 240f xx有四个不同的根.A3 B4 C5 D2 第 10 页 共 17 页【答案】B【分析】令10 x ，求出定义域；代入求值，先求出1(2022)2021f，进而求出(2022)ff的值；写出分段函数 1,0,11,1111,11,01xxf xxxx ，画出其图象，得到错误；结合图象求出单调性，进而得到最大值；方程的根的个数转化为两函数的图象交点个数问题，数形结合求出正确.【详解】11fxx中，令10 x ，解得：1x ，故正确；11(2022)202212021f，故112021(2022)12021202012021f ff，正确；1,0,11,1111,11,01xxf xxxx ，画出函数图象如下：显然函数 f x的图像关于不关于直线1x 对称，错误；从图象可看出：当1,0 x 时，f x单调递增，当0,1x时，f x单调递减，故 max01fxf，正确；第 11 页 共 17 页 方程 240f xx的根的个数等价于 yf x与24yx有交点的个数，在同一坐标系内画出 yf x与24yx的图象，如下：可得到 yf x与24yx有四个不同的交点，故正确.故选：B 三、解答题 17已知集合U R，|1327xAx，1,B.(1)求AB；(2)若|12Cx axa，且ACC，求实数a的取值范围.【答案】(1),3(2)3(,1)1,2 【分析】（1）解指数式不等式得集合A，根据补集运算得集合B，再按照并集运算求解即可；（2）根据集合的交集确定CA，分类讨论C，C 时，列不等式即可得实数a的取值范围.第 12 页 共 17 页【详解】（1）解：1327x，即03333x，所以03x，则0,3A 又1,B，则,1B，所以,3AB；（2）解：因为ACC，则CA，当C 时，即12aa，则1a ；当C 时，则12aa，于是有1a，要满足CA，则1023aa，所以312a；综上，实数a的取值范围是3(,1)1,2.18已知函数()yf x的表达式为1()f xxx.(1)求函数()f x的值域；(2)若()|1|f xaa对一切非零实数x均成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)2,(2)3,2 【分析】（1）根据基本不等式即可得出答案.（2）()|1|f xaa对一切非零实数x均成立，即min()1f xaa 对一切非零实数x均成立，解绝对值不等式即可得出答案.【详解】（1）x与1x同号，111|2|2xxxxxx（当且仅当1x 时取“”）故函数()f x的值域为2,.（2）()|1|f xaa对一切非零实数x均成立，即min()1f xaa 对一切非零实数x均成立，由（1）知，min2f x，所以12aa，所以2212aa，解得：32a.所以实数a的取值范围为3,2.19某创业团队拟生产 A、B 两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图 1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图 2），（注：利润与投资额的单位均为万元）第 13 页 共 17 页 (1)分别将 A、B 两种产品的利润 f x、g x表示为投资额 x的函数；(2)该团队已筹集到 10 万元资金，并打算全部投入 A、B 两种产品的生产，问：当 B 产品的投资额为多少万元时，生产 A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【答案】(1)1()(0)4f xx x，5()(0)4g xx x(2)6.25 万元，4.0625 万元 【分析】（1）设 0f xkx x，()(0)g xm x x，代入点的坐标，求出解析式；（2）设B产品的投资额为x万元，创业团队获得的利润为y万元，列出51(10)(010)44yxxx，换元后，配方得到6.25x 时，y 取得最大值 4.0625.【详解】（1）因为 A产品的利润与投资额成正比，故设 0f xkx x，将1,0.25代入，解得：14k，故1()(0)4f xx x，因为 B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设()(0)g xm x x，将4,2.5代入，解得：42.5m，解得：54m，故5()(0)4g xx x；（2）设 B 产品的投资额为 x万元，则 A产品的投资额为10 x万元，创业团队获得的利润为 y万元，则51()(10)(10)(010)44yg xfxxxx.令010 xtt，可得2155(010)442yttt ，即21565(010)4216ytt .当52t，即6.25x 时，y取得最大值 4.0625.第 14 页 共 17 页 答：当 B 产品的投资额为 6.25 万元时，生产 A，B 两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为 4.0625万元.20已知函数()yf x的表达式为()9233xxf xa.(1)若1,0,1ax，求函数()yf x的值域；(2)当 1,1x 时，求函数()yf x的最小值()h a；(3)对于（2）中的函数()h a，是否存在实数,m n，同时满足下列两个条件：（i）3nm；（ii）当()h a的定义域为,m n，其值域为22,mn；若存在，求出,m n的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2,6(2)22821,9331()3,33126,3aah aaaa a(3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由2312xy，利用x的范围可得3x的范围，进而可得答案；（2）令3xt，函数 f x可转化为 223g ttaa，分13a、133a、3a 讨论可得答案；（3）假设满足题意的m，n存在，函数 h a在上3,是减函数，求出 h a的定义域、值域，列出方程组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【详解】（1）当1a 时，由92 33xxy ，得2312xy，因为 0,1x，所以31,3x，2,6y，所以函数()yf x的值域为2,6.（2）令3xt，因为1,1x，故1,33t，函数 f x可转化为 222233g ttattaa，当13a 时，1282393ah ag；当133a时，23h ag aa；当3a 时，3126h aga 第 15 页 共 17 页 综上所述，22821,93313,33126,3aah aaaa a.（3）假设满足题意的m，n存在，因为3nm，126h aa，所以 yh a在上3,是严格减函数，所以 yh a在,m n上的值域为 ,h nh m，又 yh a在,m n上的值域为22,mn，所以 22h nmh mn，即22126126nmmn，两式相减，得226 mnmnmnmn，因为3nm，所以6mn，而由3nm，可得6mn，与6mn矛盾 所以，不存在满足条件的实数m，n 21已知实数0a，函数,1,1yf xx 的表达式为 1111xxf xaxx；(1)当1a 时，用定义判定()yf x的奇偶性并求其最小值；(2)用定义证明函数0kyxkx在0,k上是严格减函数，在,k上是严格增函数；(3)若对于区间40,5上的任意三个实数,r s t，都存在以 ,f rf sf t为三边长的三角形，求实数a的取值范围（可利用（2）的结论）.【答案】(1)偶函数；最小值为 2(2)证明见解析(3)15,15 3 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，化简函数得 221f xx，可求最小值；（2）利用函数的单调性的定义证明即可；（3）利用换元法结合（2）的结论将问题转化为在区间1,13上，恒有minmax2yy，再对a分类讨论即可求解 第 16 页 共 17 页【详解】（1）当1a 时，1111xxf xxx的定义域为1,1，且 1111xxfxf xxx，所以 f x为偶函数；21111211111xxxxf xxxxxx，因为1,1x，所以210,1x，210,1x，所以当211x时，f x取得最小值为 2；（2）设120 xxk，则 121212121212x xkkkfxfxxxxxxxx x，因为120 xxk，所以12120,0 xxx xk，所以1212120 x xkxxx x，即 12f xf x，所以函数0kyxkx在0,k上是严格减函数；设12kxx，则 121212121212x xkkkfxfxxxxxxxx x，因为12kxx，所以12120,xxx xk，所以1212120 x xkxxx x，即 12f xf x，所以函数0kyxkx在,k上是严格增函数；（3）设11xtx，则当40,5x时，可得1,13t，所以1,13ayttt ，从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间1,13上，恒有minmax2yy，当109a时，aytt 在1,13上单调递增，第 17 页 共 17 页 所以minmax13,13yaya，由minmax2yy得115a，从而11159a；当1193a时，aytt 在1,3a上单调递减，在,1a上单调递增，所以minmax12,max 3,113ya yaaa，由minmax2yy得74 374 3a，从而1193a；当113a时，aytt 在1,3a上单调递减，在,1a上单调递增，所以minmax112,max 3,1333ya yaaa，由minmax2yy得74 374 399a，从而113a；当1a 时，aytt 在1,13上单调递减，所以minmax11,33yaya，由minmax2yy得53a，从而513a；综上可知：15153a