2022-2023学年重庆市第十八中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年重庆市第十八中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1命题“00R,e2xx”的否定是（）A00R,e2xx B00R,e2xx CR,e2xx DR,e2xx 【答案】C【分析】根据特称命题的否定为全称命题，改量词，否结论即可得到结果.【详解】特称命题的否定是全称命题，改量词，否结论,所以命题“00R,e2xx”的否定是“R,e2xx”故选：C 2在平面直角坐标系中，若角的终边与单位圆的交点为25,33P，则cos 3（）A23 B23 C53 D53【答案】A【分析】利用三角函数的定义得到2cos3，然后利用诱导公式即可得到答案【详解】由角的终边与单位圆的交点为25,33P可得223cos34599，所以2cos 3cos cos3，故选：A 3若正实数,a b满足1 214ab，则21ab的最小值为（）A2 B3 C103 D4【答案】B【分析】由基本不等式，且,a b为正实数可得211 21 12(1)(21)1ababab ，代入即可得解.【详解】由,a b为正实数，所以：第 2 页 共 15 页 211 21 12(1)(21)12 4 13ababab ，当且仅当121ab，即2ab时取等号，故选：B 4已知集合22230,1 log4Mx xxNx yx，则MN（）A3,B3,4 C1,D1,4【答案】D【分析】先化简集合,M N然后利用并集的概念求解即可【详解】要使21 log4yx有意义，只需21 log4040 xx，解得24x，所以21 log424Nx yxxx，因为223013Mx xxxx ，所以MN14xx，即MN1,4 故选：D 5“1122ab”是“lglgab”的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要【答案】C【分析】根据充分必要条件的概念，结合幂函数12yx和对数函数lgyx的性质，进行分析判断即可得解.【详解】由幂函数12yx为减函数，且0 x，所以由1122ab可得0ab，又lgyx为增函数且0 x，所以lglgab，反之由lglgab可得0ab，根据幂函数12yx为减函数，所以1122ab成立，所以“1122ab”是“lglgab”的充要条件，第 3 页 共 15 页 故选：C 6cosyx的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（）A172,2,Z1212kkk B17,Z1212kkk C172,2 ,Z1212kkk D17,Z1212kkk【答案】B【分析】先利用图象得到周期，结合图象的最高点和最低点即可得到对应的减区间【详解】由图可得1112362T，即1T，结合图象可得到在区间1 1,6 3中，A为最高点，对应的横坐标为11163212，y轴右侧第一个最低点为B，对应的横坐标为173412T，故函数的单调递减区间为17,Z1212kkk 故选：B 7已知定义域为4,4的函数 f x的图像是一条连续不断的曲线，且满足 0fxf x.若12,0,4x x，当12xx时，总有 1122x f xx f x，则满足 212144mfmmf m的实数m的取值范围为（）A 0,1 B31,2 C5,1 D3,5【答案】B 第 4 页 共 15 页【分析】令 g xxfx，由题意可得到 g x在0,4上递减，再根据 0fxf x，得到 g x在4,4上是偶函数，将 212144mfmmf m，转化为214gmg m求解.【详解】令 g xxfx，因为12,0,4x x，当12xx时，总有 1122x f xx f x，即12,0,4x x，当12xx时，总有 12g xg x，所以 g x在0,4上递减，又因为 0fxf x，所以 gxxfxxf xg x，所以 g x在4,4上是偶函数，所以 g x在4,0上递增，又因为 212144mfmmf m，所以214gmg m，即214gmg m，所以21444214mmmm即53220851mmmm 或，解得312m，所以实数m的取值范围为31,2 故选：B 8设328sin40,2,log 5abc，则,a b c的大小关系为（）Aabc Bacb Cbca Dbac【答案】D【分析】首先比较a和c，由23256258512可得2258，从而82log 5sin452，再比较a和b，由31222sin30sin40即可得解.【详解】由23256258512，可得3222588，所以2258，从而可得82log 5sin45sin402，第 5 页 共 15 页 所以ca，又312122sin30sin402，所以ba，所以bac，故选：D 二、多选题 9下列函数中，与函数yx是同一函数的有（）A2yx B33yx Clnexy Dlnexy【答案】BC【分析】分别从函数的定义域，对应法则和值域进行判断即可【详解】函数yx的定义域为 R，值域也为 R，对于 A，函数2yxx的定义域为 R，值域为0,，对应法则也不相同，故 A 错误；对于 B，函数33yxx的定义域为 R，值域也为 R，对应法则也相同，故 B 正确；对于 C，函数lnexyx的定义域为 R，值域也为 R，对应法则也相同，故 C 正确；对于 D，函数lne0 xyx x的定义域为0,，值域也为0,，对应法则也不相同，故 D 错误 故选：BC 10已知,x y是正数，且2xy，则（）A2x xy的最大值为 4 B22loglogxy的最大值为 0 C22xy的最小值为 4 D12xy的最小值为322【答案】BCD【分析】根据不等式的性质和基本不等式性质，以及利用“1”的妙用，进行求最值即可得解.【详解】由,x y是正数，且2xy，可得02,02xy，对 A，2222()()()4x xyxyy xyyxyyy，第 6 页 共 15 页 由204y可得2044y，2x xy无最大值，故 A 错误；对 B，由22xyxy，所以01xy，当且仅当1xy时等号成立，所以2222loglogloglog 10 xyxy，故 B 正确；对 C，由基本不等式可得222 222 24xyxyxy，当且仅当1xy时取等号，故 C 正确；对 D，121 1212123()()(3)(32)22222yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当221,42 2xy时取等号，故 D 正确.故选：BCD 11已知 sin 26fxx，则（）A 其图像可以由sinyx的图像先向左平移6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到 B其图像可以由sinyx的图像先将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移6个单位长度得到 C0 xR且00 x，使得 00f xfx Dx R，都有 56fxfx 【答案】ACD【分析】根据三角函数图像的平移和伸缩，先后顺序不一样则平移的长度不一样，从而分析 AB 即可，再根据三角函数的对称性求解即可.【详解】对 A，sinyx的图像先向左平移6可得sin()6yx，将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）可得sin(2)6yx，故 A 正确；对 B，sinyx的图像先将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）可得sin 2yx，再向左平移6个单位长度可得sin2()sin(2)63yxx，故 B 错误；对 C，若0 xR且00 x，使得 00f xfx，可得000sin 2sin(2)sin(2)666xxx，第 7 页 共 15 页 000sin 2sin(2)3sin(2)066xxx，显然0 x就成立，故 C 成立；对 D，由 56fxfx 可得 506fxfx，故()f x关于5(,0)12中心对称，而5()sin012f，故 D 正确.故选：ACD 12已知函数 6esinxf xax，若存在实数t，使得f xt是奇函数，则cos2a的值可能为（）A12 B12 C32 D32【答案】AB【分析】根据题意可得()f xtfxt ，即66sin()sin()x tx teaxateaxat ，所以6,6kta ，Zk，讨论即可得解.【详解】根据题意，函数 6sinxf xeax，由f xt是奇函数可得的()f xtfxt ，6666esinesin()esinesin()x tx tx tx ta xtaxataxtaxat ，所以60t，atk，Zk，所以6,6kta ，Zk，cos2cos()cos()33kka，故当1k 时，1cos2cos()32a，当2k 时，21cos2cos()32a，而3cos2cos()32ka 无解，故选：AB 三、填空题 13 如图所示的时钟显示的时刻为2:00，此时时针与分针的夹角为(0).若一个半径为2cm的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为_2cm.第 8 页 共 15 页 【答案】23【分析】由图求出圆心角，再根据扇形的面积公式可求出结果.【详解】由图可知，263，所以该扇形的面积为2122323（2cm）故答案为：23 14tan12tan18tan150tan12 tan18_.【答案】33#133【分析】由两角和的正切公式可得tan12tan18tan301tan12 tan18，再由诱导公式计算即可得解.【详解】因为tan12tan18tan30tan 12181tan12 tan18，所以tan12tan18tan301tan12 tan18，所以tan12tan18tan150tan12 tan18tan30 1tan12 tan182tan 18030tan1tan18 tan301tan12 tanttan31180tan 2 an183tan 2tant30 tnan128tan18tan31a 103 .故答案为：33 15写出定义域为R且同时满足下列三个条件的函数 f x的表达式：f x _.（1）=f xfx；（2）f x在,0上单调递增；（3）f x的值域为0,1.【答案】12x（答案不唯一）【分析】根据所要求的条件，含绝对值的指数函数可满足要求.【详解】函数1()()2xf x 满足条件，第 9 页 共 15 页 首先,()0,1xR f x，又11()()()()22xxfxf x，满足（1），当,0 x 时，1()()22xxf x为增函数，满足（2），当0,x时，1()()0,12xf x，又=f xfx，所以 f x的值域为0,1，满足（3）.故答案为：12x 16已知函数 24241,0log,0 xxxf xx x，记 22222g xfxaf xaa，若 g x有 6 个零点，则实数a的取值范围是_.【答案】0(1,)【分析】由 0g x，可得()()2)0f xaf xa，()f xa或()2f xa，结合()f x的图像可得10021aa 或0a 或1a，求解即可.【详解】令 222220g xfxaf xaa，可得()()2)0f xaf xa，可得()f xa或()2f xa，由()f x的图像如上图所示，若要 g x有 6 个零点，可得：10021aa 或0a 或1a，解得0a 或1a，第 10 页 共 15 页 故a的取值范围为0(1,).故答案为：0(1,).四、解答题 17已知集合2,2,22xAy yxBx axa.(1)求RA；(2)若ABA，求实数a的取值范围.【答案】(1)RA 0y y 或4y (2)0,a 【分析】（1）先化简集合A，然后利用补集的定义进行求解；（2）题目转化为BA，考虑B 和B 的两种情况，根据集合的包含关系得到答案【详解】（1）因为2,204xAy yxyy，所以RA 0y y 或4y （2）ABA，故BA，当B 时，22aa，即2a；当B 时，222420aaaa，解得02a，综上所述：0a 即0,a.18已知5cos,tan 35，其中,为锐角.(1)求sin的值；(2)求的值.【答案】(1)3 10sin10(2)4 【分析】（1）利用诱导公式化简得到tan3，然后利用同角三角函数公式即可求解；第 11 页 共 15 页（2）利用角的范围得到2 5sin5，由结合两角差的余弦公式即可求解【详解】（1）因为，为锐角，tan tan3，则22sin3cossincos1，解得：3 10sin1010cos10（2）因为0,022，所以0，由5cos5 可得12 5sin155，因为，所以coscoscoscossinsin5102 53 1025 22510510502，所以4 19某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）间的关系为：0ektPP，其中0,P k是正的常数.若在前5h消除了20%的污染物，则：(1)10h后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间？（精确到1h，参考数据：lg20.3）【答案】(1)10h后还剩64%的污染物(2)15h 【分析】(1)先根据已知条件得出5ek的值，从而可得10ek的值，进而得出答案.(2)令050%PP，再根据指数化成对数，利用对数的运算即可得出结果.【详解】（1）由0ektPP可知，当0t时，0PP；当5t 时，0(120%)PP，于是有5001 20%ekPP，得54e5k，当10t 时，2100004e0.645kPPPP，所以10h后还剩64%的污染物.（2）当050%PP时，则000.5ektPP，即e0.5kt，可得lg0.5ktlge，由54e5k，可得45lg5klge，/，得 第 12 页 共 15 页 lg0.5lg2lg2lg23452lg2lg52lg2(1 lg2)1 3lg2lg5t，则15ht，所以污染物减少50%大约需要花15h 20已知二次函数 f x满足：关于x的不等式 30f xx 的解集为1,2且 01f.(1)求 f x的表达式；(2)若(0 xf aa 且1a 在区间1,2上的最小值为5，求a的取值范围.【答案】(1)2()41f xxx(2)102a或2a 【分析】（1）利用待定系数法设2()1(0)f xaxbxa，代入 30f xx ，根据不等式的解集求出,a b，可得 f x的表达式；（2）设xta，当01a时，化为2()41f ttt，21,taa的最小值为5，当1a 时，化为2()41f ttt，21,taa的最小值为5，根据二次函数知识列式可求出结果.【详解】（1）因为()f x为二次函数，且 01f，所以可设2()1(0)f xaxbxa，由 30f xx ，得2(1)20axbx，因为关于x的不等式 30f xx 的解集为1,2，所以关于x的不等式2(1)20axbx的解集为1,2，所以2(1)20axbx的两根为1和2，所以112ba，21 2a，所以1a，4b，所以2()41f xxx.（2）由（1）知，2()41f xxx，设xta，当01a时，由1,2x，得21,taa，则2()41f ttt，21,taa，其对称轴为2t，且(2)48 15f ，所以212aa，解得102a；第 13 页 共 15 页 当1a 时，由1,2x，得21,taa，则2()41f ttt，21,taa，其对称轴为2t，且(2)48 15f ，所以212aa，解得2a.综上所述：a的取值范围是102a或2a.21已知函数 1cossin3sincos634fxxxxx.(1)若1，求 f x在,2上的值域；(2)若在0,2内恰有两个t的值，使得函数 f x关于点,0t对称，求的取值范围.【答案】(1)11,2(2)17117 13,6666 【分析】（1）先化简 f x，然后将1代入，再利用正弦函数的性质即可得到答案；（2）由题意可得 f x在0,2内有且仅有 2 个对称中心，然后分0和0两种情况进行讨论即可【详解】（1）1cossin3sincos634fxxxxx311331cossinsincossin2222224xxxxx221331sincossin24424xxx1 113 1131cos2cos2sin24 224 2224xxx31sin2cos2sin 2226xxx 因为1，所以 sin 26fxx，因为,2x，所以1251,666x，所以1sin 21,62x，所以 f x在,2上的值域为11,2（2）因为在0,2内恰有两个t的值，使得函数 f x关于点,0t对称，所以 f x在0,2内有且仅有 2 个对称中心，第 14 页 共 15 页 当0时，因为0,2x所以2,666x，所以 26，解得71366；当0时，因为0,2x所以2,666x，所以326，解得171166；综上所述，的取值范围为17117 13,6666 22已知函数 2log41af xxbx 在 R 上为奇函数，1a，0b (1)求实数b的值；(2)指出函数 f x的单调性（说明理由，不需要证明）；(3)若对任意0 x，0,2，不等式2242 sin232sincos0fx tft x都成立，求正数t的取值范围【答案】(1)2(2)减函数(3)1,2 【分析】（1）根据题意有 0f xfx，可得22log410abx，由此求得b的值；（2）结合（1）可得 21log412af xxx，进而可知函数 f x的单调性；（3）将原不等式问题转为对任意0 x，0,2，有24112sin22342sin4ttxx的恒成立问题，再根据110,22 2xx，122sin0,422sin4，代入即可得到2123tt，进而可求出正数t的取值范围【详解】（1）由函数 f x在 R 上为奇函数，则有 0f xfx，即2222log41log41log410aaaxbxxbxbx ，所以240b，又0b，得2b （2）由（1）知 221log412log412aaf xxxxx ，第 15 页 共 15 页 又21412yxx 在 R 上是减函数，且1a，所以函数 f x在 R 上是减函数（3）由对任意0 x，0,2，不等式2242 sin232sincos0fx tft x都成立，即对任意0 x，0,2，不等式2242 sin232sincosfx tft x都成立，又由（2）知函数 f x在 R 上是减函数，所以2242 sin232sincosx tt x，即224 sin2412sin cos4112sin2223sincos3432sincos2sin4txtxxxxx，又0 x，则22 2xx，所以110,22 2xx，又0,2，则2sin1,24，所以122sin0,422sin4，所以2412123232 2tt，即120tt，解得12t 综上，正数t的取值范围1,2【点睛】最后小问解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到 t的范围