2022-2023学年重庆市云阳凤鸣中学校高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年重庆市云阳凤鸣中学校高二上学期期末数学试题 一、单选题 1在等差数列 na中，若16a，1110a，则39aa（）A14 B15 C16 D8【答案】C【分析】根据等差数列性质可知，若,mnpq则mnpqaaaa，即可计算出结果.【详解】由题意可知，在等差数列 na中，由等差数列性质可知，若,mnpq则mnpqaaaa；所以3911116aaaa 故选：C.2过两点1,2和2,1的直线的倾斜角为（）A B2 C3 D4【答案】D【分析】根据斜率公式，结合倾斜角与斜率直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】斜率 1 211211k ，又倾斜角0,，tan1，4 故选：D 3抛物线216xy的准线方程是（）A116x B116y C4x D4y 【答案】D【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可【详解】解：抛物线216xy，可知抛物线的开口向上，8p，所以抛物线的准线方程是：4y 故选：D 4若直线l的一个方向向量为2,2,4v ，平面的一个法向量为1,1,2n，则直线l与平面的位置关系是（）第 2 页 共 19 页 A垂直 B平行 C相交但不垂直 D平行或线在面内【答案】A【分析】根据2n 得到与n共线，即可得到直线l与平面垂直.【详解】因为2n，所以与n共线，直线l与平面垂直.故选：A.5已知圆222440 xyxy关于直线2200,0axbyab对称，则ab的最大值为（）A2 B1 C12 D14【答案】D【分析】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出ab的最大值.【详解】解：由题意 在圆222440 xyxy中，22121xy 圆心为1,2A，半径为 1 在直线2200,0axbyab中，圆关于该直线对称 直线过圆心1,2A，2220ab，即：1ab 12abab 解得：14ab 当且仅当12ab时等号成立 ab的最大值为14.故选：D.6我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马已知四棱锥PABCD是阳马，PA上平面ABCD，且2ECPE，若ABa，ACb，APc，则DE（）第 3 页 共 19 页 A122333abc B122333abc C2233abc D2233abc【答案】C【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示.【详解】1121()3333AEAPPEAPPCAPACAPAPAC，ADBCACAB，所以22223333DEAEADABACAPabc 故选：C 7如图，在直三棱柱111ABCABC中，已知ABAC，D 为1CC的中点，1ABACAA，则1AB，1A D所成角的余弦值是（）A55 B36 C1010 D1020【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，计算12,0,2AB，10,2,1AD，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】以 A 为原点，AB，AC，1AA的方向分别为 x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB，则0,0,0A，12,0,2B，10,0,2A，0,2,1D，所以12,0,2AB，10,2,1AD，设1AB，1A D所成的角为，第 4 页 共 19 页 则1111210cos102 25ABADABAD 故选：C 8双曲线 C：222210,0 xyabab的左，右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与 C交于 A，B 两点，且222AFF B，160ABF，点 M 为线段2AF的中点，则112FMFF（）A43 B2 217 C53 D3 218【答案】B【分析】设2BFt，由已知得22AFt，利用双曲线定义知12BFta，122AFta，在12BFF中与1BF A中分别利用余弦定理，再结合121coscos0AMFF MF，可求得14 213FMa，进而得解【详解】设2BFt，因为222AFF B，所以22AFt，由双曲线定义知122BF BFa，则12BFta 由双曲线定义知122AFAFa，则122AFta 设122F Fc，222cab，因为160ABF，在12BFF中，22222212(2)(2)1cos24402(2)2tatcFBFtatactat；在1BF A中22221(2)(3)(22)1cos31002(2)32tattaFBAtattat，解得：103ta，代入式，得73ca 点 M为线段2AF的中点，所以2103AaMMF，因为121coscos0AMFF MF，所以第 5 页 共 19 页 22222211111102610144 2133330101032233aFMaaFMaFMaaFMaFM，又因为12143FFa，所以1124 212 2131473aFMFFa，故选：B 二、多选题 9已知数列 na的前n项和为nS，25nSnn，则下列说法不正确的是（）A na为等差数列 B0na CnS最小值为254 D na为单调递增数列【答案】BC【分析】根据nS求出na，并确定 na为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前n项和分析求解.【详解】对于 A，当2n时，221515126nnnaSSnnnnn，1n 时114aS 满足上式，所以26,Nnann,所以1216262nnaann，所以 na为等差数列，故 A 正确；对于 B，由上述过程可知26,Nnann，12340,20,0aaa ，故 B 错误；对于 C，因为25nSnn，对称轴为52.52，又因为Nn，所以当2n 或 3 时，nS最小值为6，故 C 错误；对于 D，由上述过程可知 na的公差等于 2，所以 na为单调递增数列，故 D 正确.故选:BC.10已知曲线C：221mxny，m、n为实数，则下列说法错误的是（）第 6 页 共 19 页 A曲线C可能表示两条直线 B若0mn，则C是椭圆，长轴长为2 m C若0mn，则C是圆，半径为1m D若0m n，则C是双曲线，渐近线方程为nyxm 【答案】BD【分析】根据曲线C的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可【详解】当0m，0n 时，曲线C：221mxny即为,nyn，表示两条直线，选项 A 正确；当0mn，曲线C：221mxny可化为22111xymn，此时110mn，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，长轴长为2 nn，选项 B 错误；若0mn，曲线C：221mxny可化为221xym，表示半径为1m的圆，选项 C 正确；若0m n，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn ，选项 D 错误 故选：BD 11如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，P为线段11B D上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（）A三棱锥1PABD体积为定值43 B异面直线111,AD B D成角为45 C直线1AA与面1ABD所成角的正弦值33 D当点P为11B D中点时，三棱锥1PABD的外接球表面积为11【答案】ACD 第 7 页 共 19 页【分析】易证11/B D平面1ABD，故三棱锥1PABD体积为定值；易得11/B DBD，1ABD为等边三角形，故 B 错误；由向量法可判断 C 正确；转化顶点，易证1AP平面BDP，利用正、余弦定理求出BDP的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断 D 项.【详解】因为11/DDBB，所以四边形11BDD B为平行四边形，所以11/B DBD，又因为11B D 平面1ABD，BD平面1ABD，所以11/B D平面1ABD，又P为线段11B D上动点，所以P到平面1ABD距离为定值，故三棱锥1PABD体积为定值，当点P与1D重合时，1111111142 2 23323P A BDB A DDA DDVVSAB ，故 A 正确；因为11/B DBD，故1A D与11B D所成角等价于1A D与BD所成角，1ABD为等边三角形，所以异面直线111,AD B D成角为60，故 B 项错误；以DA方向为x轴，DC方向为y轴，1DD方向为z轴建立空间直角坐标系，则10,0,0,2,0,0,2,2,0,2,0,2DABA，10,0,2AA，12,0,2,2,2,0DADB，设平面1ABD的法向量为,nx y z，则100n DAn DB，即00 xzxy，令1x，得1yz，故1,1,1n ，设直线1AA与面1ABD所成角为，则123sincos,32 3AA n，故 C 项正确；当点P为11B D中点时，11PA BDDAB PVV，易得111APB D，1BB 平面1111DCBA，又1AP 平面1111DCBA，所以11A PB B，1111BBB DB，111,BB B D 平面11BB D D，所以1AP平面11BB D D，即1AP平面BDP，12AP，2 2,6BDCPDP，第 8 页 共 19 页 所以2221281cos22 63BPDPBDBPDBP DP，2 2sin3BPD，BDP的外接圆半径为2 232sin22 223BDrBDP，故所求问题等价于求以32r 为半径的底面圆，高为12hA P的圆柱的外接球表面积，设三棱锥1PABD的外接球半径为R，则22291112424hRr，故三棱锥1PABD的外接球表面积为21144114SR，故 D 项正确.故选：ACD 12古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点AB的距离之比为定值(1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，(2,2)A，(4,2)B，点P满足|1|2PAPB，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）AC的方程为228440 xyxy B在C上存在点M到点(3,2)的距离为 4 CC上的点到直线3460 xy的最大距离为 6 D过点B作直线l，若C上恰有三个点到直线l的距离为 2，则该直线的斜率为1515【答案】ACD【分析】根据题意求出P的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可.【详解】设(,)P x y，则2222221242xyPAPBxy，化简得，228440 xyxy，则选项A正确；将圆C的方程化为标准方程为22(4)(2)16xy，则圆心为(4,2)，半径为 4，则圆上的点到点(3,2)的最小距离为22342246544 ，则在圆C上不存在点M到点(3,2)的距离为 4，则选项 B 错误；C上的点到直线3460 xy的最大距离为圆心到直线3460 xy的距离加半径，即1286469 16，则选项 C 正确；显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为2(4)yk x，即420kxyk，由于圆C的半径为 4，则要使C上恰有三个点到直线l的距离为 2，只需圆心到该直线的距离为 2，即2821kk，第 9 页 共 19 页 解得1515k ，则选项 D 正确 故选：ACD 三、填空题 13已知直线1:1210laxy，2:10lxay，Ra若12ll，则a的值为_.【答案】-1【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为12ll，所以1120aa ，解得1a.故答案为：-1.14已知数列 na的前n项和为nS，221nSnn，则na _【答案】4,141,2nnn【分析】直接利用11,1,2nnnS naSSn即可求na的通项公式.【详解】由已知条件，知当1n 时，114aS；当2n时，22121 2(1)(1)141nnnaSSnnnnn；当1n 时不满足上式，4,141,2nnann，故答案为：4,141,2nnn.15 如图，在四棱锥PABCD中，ACBDO，底面ABCD为菱形，边长为 4，60ABC，PO平面ABCD，异面直线BP与CD所成的角为 60，若E为线段OC的中点，则点E到直线BP的距离为_.第 10 页 共 19 页 【答案】3【分析】以O为坐标原点，向量OB，OC，OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法求点线距【详解】连接BE以O为坐标原点，向量OB，OC，OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，60ABC，ABC是等边三角形，点O在直线AB上的射影F在边AB上（靠近A的四等分点），由PO平面ABCD，AB平面ABCD，得POAB，又OFAB，OFPOO，,OF PO 平面POF，所以AB平面POF，而PF 平面POF，所以ABPF，PBA为锐角，/AB CD，PBA为异面直线PB与CD所成角，即60PBA.在菱形ABCD中，4AB，60ABC，2OA，2 3OB 设POa，则0,0,Pa，2 3,0,0,0,2,00,1,0BAE 2 3,0,(2 3,2,0)BPa AB 2cos,4 121212AB BPPB ABABBPa 2 6a，第 11 页 共 19 页 2 3,1,0BE，2 3,0,2 6BP ，12BE BP，13BE，6BP，点E到直线BP的距离为22()3EB BPdBEBP.故答案为：3.16第 24 届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点 A 和短轴一端点 B分别向内层椭圆引切线 AC，BD，且两切线斜率之积等于916，则椭圆的离心率为_ 【答案】74【分析】分别设出内外椭圆的方程，求出A、B点的坐标，得到直线AC与BD的方程，分别与内椭圆联立，根据得到的一元二次方程中的0，表示出1k与2k，根据12916k k ，即可得到离心率的值.【详解】设内层椭圆方程为22221xyab0ab，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为22221xymamb1m.所以A点坐标为,0ma，B点坐标为0,mb，设切线AC的方程为1ykxma，切线BD的方程为2yk xmb，联立直线AC的方程与内层椭圆方程222211xyabykxma得，2222322242211120k abxma k xm k aa b，因为直线AC与椭圆相切，所以23222222422111240ma kk abm k aa b，整理可得，2212211bkam.第 12 页 共 19 页 同理，联立直线BD的方程与内层椭圆方程222221xyabyk xmb，可推出222221bkma，所以224222122224111bbbk kmamaa.因为12916k k ，所以22916ba，则222222cabeaa227116ba，所以74e.故答案为：74.四、解答题 17已知圆22:4690C xyxy，直线:20l kxy(1)求圆C的圆心坐标和半径；(2)若直线l与圆C相切，求实数k的值【答案】(1)圆心C的坐标为2,3，半径为 2(2)34k 【分析】（1）通过配方将圆的方程化为标准形式，即可得圆心和半径；（2）通过圆心到直线的距离等于半径列出方程解出即可.【详解】（1）圆22:4690C xyxy，圆C的标准方程为22(2)(3)4xy 圆C的圆心C的坐标为2,3，半径为 2（2）直线l与圆C相切，圆心C到直线l的距离223221kdk，解得34k 实数k的值为34 18已知 na为等差数列，前n项和为nS*nN，nb是首项为 3 且公比q大于 0 的等比数列，3229bb，343ba，9211Sb.第 13 页 共 19 页(1)求 na和 nb的通项公式；(2)求数列n na b的前n项和nT*nN.【答案】(1)21nan，3nnb；(2)13nnTn.【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比q的值，再根据等差数列的通项公式及其性质和求和公式，即可解出首项1a和公差d的值，即可求得na和 nb的通项公式；（2）先根据第（1）题的结论得到数列nnab的通项公式，然后运用错位相减法求出前n项和nT【详解】（1）由题意，设等差数列na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，则0q 则由3229bb可得，2369qq，解得3q 或1q （舍去），所以1113 33nnnnbb q，则29b，327b.由343ba可得49a，由9211Sb可得，999S，又1995992aaSa，所以511a.所以542daa，411369aada，所以13a，所以1132121naandnn.（2）由（1）知，21nan，3nnb，所以321nnnabn.所以，21 1223 35 3(21)3nnnnTa ba ba bn ，21333 35 3(21)3nnTn ，两式作差得，2133(2123 32 32)332nnnTn 111121(22 3191)3(21)3939231 33nnnnnnnn，所以，13nnTn.19如图，在四棱锥 PABCD中，已知PA 底面ABCD，底面ABCD是正方形，PAAB.第 14 页 共 19 页 (1)求证：直线 BD 平面PAC；(2)求直线 PC与平面PBD所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)13 【分析】（1）证明PABD和ACBD，利用直线与平面垂直的判定定理可得证.（2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量解决线面角的问题.【详解】（1）因为 PA 平面ABCD，且BD平面ABCD，所以 PABD.在正方形 ABCD中，ACBD.而PAACA,PA AC 平面PAC，故 BD平面PAC.（2）以A为坐标原点，分别以,AB AD AP为xyz，轴，建立如图所示空间直角坐标系.设 1AB，则1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0BDPC，从而1,0,1,0,1,1,1,1,1PBPDPC.设平面 PBD的法向量为nxyz，00PB nxzPD nyz，令 1z，则(1,1,1)n.第 15 页 共 19 页 设直线 PC与平面PBD所成的角为，则1sincos,3PC nPC nPCn，故直线 PC与平面PBD的所成角的正弦值为13.20已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点3,0F，长半轴长与短半轴长的比值为 2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设B为椭圆C的上顶点，直线:1l yxm m与椭圆C相交于不同的两点M，N，若BMBN，求直线l的方程【答案】(1)2214xy(2)35yx 【分析】（1）由条件写出关于,a b c的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示0BM BN，即可求参数m.【详解】（1）由题意得，3c，2ab，222abc，2a，1b，椭圆C的标准方程为2214xy（2）依题意，知0,1B，设11,M x y，22,N xy 联立2244yxmxy消去y，可得2258440 xmxm 216 50m，即55m，1m，1285mxx，212445mx x BMBN，0BM BN 211221212,1,121(1)0BM BNx xmx xmx xmxxm，2244821(1)055mmmm，整理，得25230mm，解得35m 或1m（舍去）直线l的方程为35yx 第 16 页 共 19 页 21如图1，,A D分别是矩形11ABCD上的点，1222ABAAAD，12DCDD，把四边形11A ADD沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接1A B，1DC得到几何体11ABADCD (1)当点E在棱AB上移动时，证明：11D EAD；(2)在棱AB上是否存在点E，使二面角1DECD的平面角为6？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)存在，323AE.【分析】（1）利用题设条件及面面垂直的性质定理证得1,DA DC DD两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得11,AD D E，由此可证得11D EAD；（2）利用（1）中结论，求出平面DCE与平面1DCE的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标公式得到关于0y的方程，解之即可.【详解】（1）由图 1 易知图 2 中，有1,ADCDADDD，又因为面11A ADD 面ABCD，面11A ADD面ABCDAD，CD 面ABCD，所以CD 面11A ADD，又1DD 面11A ADD，故1CDDD，故以D为原点，边1,DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则11(0,0,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,2,0),DDAC 不妨设0AEy，002y，则01,0Ey，故110(1,0,1),1,1ADD Ey，所以110D E AD，故11D EAD.第 17 页 共 19 页 .（2）假设存在01,0Ey使二面角1DECD的平面角为6，其中002y，因为1DD 平面DCE，所以1(0,0,1)DD 可作为平面DCE的一个法向量，因为110(0,2,1),1,1CDD Ey，设平面1DCE的一条法向量为(,)rx y z，则1100r D Er CD，即0020 xy yzyz，令1y，则02,2xy z，故02,1,2ry，因为二面角1DECD的平面角为6，所以13cos,cos62DD r，即20232214y，整理得200312110yy，解得0323y 或0323y（舍去），所以0323AEy，故在棱AB上存在点E，使二面角1DECD的平面角为6，且323AE.22已知双曲线C：222210,0 xyabab的一条渐近线方程为20 xy，焦点到渐近线的距离为 1.(1)求双曲线C的标准方程.(2)已知斜率为12的直线l与双曲线C交于x轴上方的 A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为18，求OAB的面积.【答案】(1)2212xy(2)2 3 第 18 页 共 19 页【分析】（1）根据点到直线距离公式求出3c，再根据渐近线方程及223ab，求出2a，1b，得到双曲线方程；（2）设出直线l：102yxt t，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线OA，OB的斜率之积为18，列出方程，得到1t，得到直线方程，数形结合得到OAB的面积.【详解】（1）由题意知焦点,0c到渐近线20 xy的距离为13c，则3c，因为一条渐近线方程为20 xy，所以22ba，又223ab，解得：2a，1b，所以双曲线C的标准方程为2212xy；（2）设直线l：102yxt t，11,A x y，22,B xy，联立22221,2441012yxtxtxtxy，则22161610tt，所以124xxt，21241x xt，由121212121122OAOBxtxtyykkxxx x 221221241112244841ttxxtttx xt，解得1t 或1（舍去），所以124xx，128xx，第 19 页 共 19 页 l：112yx，令0 x，得1y，2121212416324 3xxxxx x，所以OAB的面积为1212111()1 4 32 3222SODxxOD xx.