2023届重庆市南开中学高三上学期质量检测(五)数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 19 页 2023 届重庆市南开中学高三上学期质量检测（五）数学试题 一、单选题 1已知 i 为虚数单位，则复数2ii的虚部为（）Ai B2i C1 D2 【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简2ii，即可求得答案.【详解】由题意得222i2ii12iii ，故复数2ii的虚部为2，故选：D 2已知,x y 是任意实数，则 p：28xy是 q：1x且2y 的（）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由题意 p：28xy等价于3xy,由此判断命题,p q间的逻辑推理关系，可得答案.【详解】由28xy可得3xy，取0,4xy满足3xy，但并不能得出 q：1x且2y，当1x且2y 时，3xy一定成立，故 p：28xy是 q：1x且2y 的必要不充分条件，故选：C 3设等比数列na的前 n 项和为nS，633SS，则7913aaaa的值为（）A2 B2 2 C4 D4 2【答案】C【分析】设公比为 q,1q ,根据633SS求得32q，化简7913aaaa等于6q，即可求得答案.【详解】由题意等比数列na的前 n 项和为nS，633SS，设公比为 q,1q ,否则6131639SaSa，故633311(1)(1)3,13,211aqaqqqqq ，故7913166313()4aaaaaaaaqq，第 2 页 共 19 页 故选:C 4已知在平行四边形ABCD 中，12AEEB，线段,AC BD 交于点 O，则EO=（）A1126ABAD B1163ABAD C1136ABAD D1162ABAD【答案】D【分析】选定基底，根据向量的加减以及数乘运算即可求得答案.【详解】如图示，12AEEB，则1111()2323EOAOAEACABABADAB 1162ABAD,故选：D 55221xy的展开式中42x y项的系数为（）A120 B160 C180 D210【答案】A【分析】将5221xy看作 5 个因式221xy相乘，根据42x y的指数可认为 5 个因式中有两个选22x项，其余两个选 y,最后一个因式选 1，进行相乘，可得答案.【详解】由题意5221xy的展开式中42x y项的系数为22253C2C120,故选：A 6若定义在R上的函数满足(3)f x为偶函数，且 22f xfx，则（）A 51f B 32f C 00f D 31f 【答案】D【分析】根据奇偶性,结合对称性,可以求出函数()f x的周期,再分别求函数值即可.【详解】因为(3)f x为偶函数,所以(3)(3)f xfx,又因为 22f xfx,所以312fxf x,即312f xf x,即得 42f xf x,42f xf x,第 3 页 共 19 页 故 82422f xf xf xf x,所以()f x的周期为8.()f x的图像关于3x 对称,且()f x的图像关于 1,1对称;3,0ff函数值不可知,故选项B,C错误 因为 22f xfx,令5x 得 532ff,因为()f x的周期为8.所以 53ff,即 531ff,故A选项错误;故D选项正确;故选:D.7已知双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过双曲线 C 上一点 P向 y轴作垂线，垂足为Q，若12PQFF且1PF与2QF垂直，则双曲线 C的离心率为（）A31 B312 C51 D512【答案】B【分析】不妨设点 P在第一象限，由题意可推出四边形12PQF F为菱形，结合1QFO为直角三角形，则可求得1|PF的长，利用双曲线定义即可求得答案.【详解】设双曲线22221(0,0)xyabab焦距为2c，不妨设点 P 在第一象限，由题意知12PQFF，由 12PQFF且1PF与2QF垂直可知，四边形12PQF F为菱形，且边长为2c，而1QFO为直角三角形，1|2QFc，1|FOc，故1130,60FQOQFO,则1120FQP 则 13|222 3|2PFcc，2|2PFc，故12|2 322PFPFcca，即离心率 131231e，故选：B 第 4 页 共 19 页 8函数 2lnf xxxxax与函数 22exg xax存在相同的极值点0 x，则020elnxx的值为（）A1 B2 Ce D12e【答案】B【分析】求出导函数()fx和()g x，由00()()fxg x消去a得02000e2ln10 xxxx，引入新函数2()e2ln1xh xxxx，由导数确定()h x存在最小值1()h x，且求得1()0h x，因此有01xx，从而可计算出结论【详解】()2ln1fxxxa，2()2 e2xg xax，由已知020002ln12 e20 xxxaax ，消去a得：02000e2ln10 xxxx，设2()e2ln1xh xxxx，22211()e2 e2(21)(e)xxxh xxxxx，0 x 时，210 x，21exyx显然是增函数，且14x 时，e40y，而1x 时，2e10y ，因此21exyx有唯一的零点1x，即1211e0 xx，11112lnlnxxx，112ln0 xx，121e1xx，且10 xx时，21e0 xyx即()0h x，()h x递减，1xx时，21e0 xyx即()0h x，()h x递增，所以12min1111()()e2ln10 xh xh xxxx，又020000e2ln1()0 xxxxh x，所以10 xx，从而020001eln(2)2xxxx 故选：B【点睛】方法点睛：本题考查函数的极值点问题，解题方法是由两个函数的相同极值点得出00()()0fxg x，从而消去参数a得出极值点0 x的性质（关系），然后围绕0 x引入新函数，由导数研究新函数的性质确定0 x具有的性质，得相应结论 二、多选题 9假设某市场供应的95N口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：品牌 甲 乙 其他 第 5 页 共 19 页 市场占有率 50%30%20%优质率 80%90%70%在该市场中任意买一95N口罩，用123,A A A分别表示买到的口罩为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（）A 231P AAP A B290%P BA C 81%P B D2|30%P AB 【答案】AC【分析】根据互斥事件的概率可判断 A;根据条件概率的计算公式可判断B,D,由全概率公式可求得 P B，判断 C.【详解】由题中表格可知 123)50%,(0%,032%P AAP AP,故 23231)(P AAP AP AP A,A 正确；230%90%27%P BA，B 错误；112233|PA P B AAP B AA P B ABPPP%80%3%905000%2%70%81%,故 C 正确；2227%1|=81%3P A BP ABP B，D 错误，故选：AC 10已知，是空间中两个不同的平面，m，n是不在平面，内的两条不同的直线，则下列推理正确的是（）A/mn/mn B/mn/mn C/mnmn/Dmmnn 【答案】BD【分析】根据线线，线面及面面的位置关系结合条件逐项分析即得.【详解】对于 A，若/，/m，/n，则m与n平行或异面或相交，故 A 错误；对于 B，若/，m，则m，又n，所以/mn，故 B 正确；对于 C，若/mn，/m，/n，则与可能平行，也可能相交，故 C 错误；第 6 页 共 19 页 对于 D，若m，n，设直线m，n的方向向量分别为,a b，则,a b分别为与的法向量，又，则ab，从而mn，故 D 正确.故选：BD.11已知圆22:(1)(2)16Cxy，点(4,6)P，则下列说法正确的有（）A圆C上有且只有两点到点P的距离为1 B圆C上存在点Q，使得4tan3CPQ C若Q为圆C上一动点，则PQ PC的取值范围为5,45 D过点P可作直线l与圆C交于两点,M N，使得3PMPN【答案】BCD【分析】A 选项可以先求P到圆心的距离，从而可以得出P到圆上一点的距离的范围，进而进行判断；B 选项可以通过寻找相切的位置进行判断；C 选项可对向量PQ拆分，然后根据数量积的定义计算；D 选项，先假设存在这样的直线，利用3PMPN与垂径定理，说明圆心到直线的距离小于半径的情况下能保证3PMPN成立即可.【详解】A 选项，由题意，圆C的圆心为(1,2)，半径4r，P到圆心的距离为：22(4 1)(62)5，故P到圆上一点的距离的最大值为59r，最小距离为51r，即P与圆心连线所在直线和圆的两个交点处，距离取到最值，因此圆C上只有一点到点P的距离为1，A 选项错误；B 选项，当直线PQ恰和圆C相切于Q点时，由5,4PCQCr，则22543PQ，此时4tan3CQCPQPQ，B 选项正确；C 选项，2254 5 cos()PQ PCPCCQPCPCCQ PCPCQ ，当Q在圆上任运动时，0,2PCQ，即,PCQ，故cos()1,1PCQ，则第 7 页 共 19 页 2520cos()5,45PQ PCPCQ，C 选项正确；D 选项，先假设存在这样的直线，过C作CHAB，垂足为H，由垂径定理可得，MHNH，由选项可知，3PNPMPNNHMH，于是MHNHPN，设PNNHx，由勾股定理，2222222425416CHCPxxCNxx，解得23x，此时2221613CHxr，故这样的直线确实存在，D 选项正确.故选：BCD 12已知实数 a，b满足2241aabb，以下说法正确的是（）A2 1515a B1ab C2244453ab D2 1025ab【答案】ACD【分析】由题可得关于b的方程22410baba 有解可判断 A，利用特值可判断 B，根据条件及基本不等式可判断 CD.【详解】由2241aabb，可得22410baba，关于b的方程有解，所以224 410aa ，所以2415a，即2 1515a，故 A 正确；取0,1ab，2241aabb，则1ab，故 B 错误；由2241aabb，可得22141122ababab ，又222244222ababab，第 8 页 共 19 页 令224tab，则2122ttt，所以4453t，即2244453ab，故 C 正确；由2241aabb，可得2231abab，所以2321 3122ababab ，令2uab，由2222abab，可得22318uu，所以285u，即2 1025ab，故 D 正确.故选：ACD.三、填空题 13函数2sincosyxx 的最小正周期是_【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数sin 21yx，根据最小正周期等于2求出结果.【详解】函数222sincossincos2sincossin21yxxxxxxx，函数的最小正周期为22 故答案为：.14函数()(1)lnf xxx在点 1,1f处的切线方程为_【答案】220 xy【分析】利用导数的几何意义求解即得.【详解】因为()(1)lnf xxx，所以 10f，又 1lnxfxxx，所以切线的斜率 12kf，所以函数 f x在点 1,1f处的切线方程为21yx，即220 xy.故答案为：220 xy.第 9 页 共 19 页 15某班级计划安排学号为 19 的九名同学中的某 5 位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有_种(用数字作答)【答案】720【分析】分为学号为偶数的同学有 3 位和 4 位两类进行分类即可得结果.【详解】第一类：当学号为偶数的同学有 3 位时，有3245A A2420480；第二类：当学号为偶数的同学有 4 位时，有312452A C A24 10240；所以不同的安排方法有480240720种，故答案为：720.四、双空题 16已知1122(,),(,)A x yB xy是椭圆 C：2214xy上两个动点，满足121240 x xy y，O为坐标原点，则：（1）22OAOB_；（2）坐标原点O到直线AB的距离的取值范围是_【答案】5 2,22【分析】（1）利用,A B两点在椭圆上，及121240 x xy y三个方程，联立求出22221122xyxy即可；（2）分直线AB斜率不存在，存在的情况讨论，对于斜率存在的情况，联立直线和椭圆，根据121240 x xy y并结合韦达定理找出关系式后，利用点到直线的距离公式求解.【详解】依题意得，,A B坐标带入椭圆方程，整理可得221122224444xyxy，即221122224(1)4(1)xyxy，两式相乘可得222222221212121216(1)(1)16(1)x xyyy yyy，由121240 x xy y移项平方可得，2222121216x xy y，于是2212016(1)yy，故22121yy，根据221122224444xyxy两式相加可得，221248xx，即22124xx，故22222211225OAOBxyxy；当AB斜率不存在时，设AB方程为xt，不妨假设A在B的上方，代入椭圆方程可得第 10 页 共 19 页 22,1,144ttA tB t，根据121240 x xy y，于是224104tt，解得2t，此时O到直线AB的距离为2；当AB斜率存在时，下设AB方程为ykxm，和椭圆联立得：222(41)8440kxkmxm，0 可得，2241km，2212121212()y ykxmkxmk x xkm xxm，结合韦达定理：12221228414441kmxxkmx xk，可整理化简22122441mky yk，由题意，121240 x xy y，于是222244416041mmkk，即22214mk，结合判别式2241km，解得0m，由点到直线得距离公式，原点O到直线AB的距离为：2222224131212(1)211mmkkkkk，由210,11k，于是223122,22121mkk，综上所述，坐标原点O到直线AB的距离的取值范围是：2,22.故答案为：5；2,22 五、解答题 17已知ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，sincos6aBbA(1)求A；(2)若ABC的面积为212a，求bccb【答案】(1)6(2)132 【分析】（1）先利用正弦定理边化角，再结合和角公式，可求出A（2）利用余弦定理，结合面积公式，计算即可得出结果【详解】（1）因为sincos6aBbA，由正弦定理得：cosins6sinsinAABB，第 11 页 共 19 页 因为sin 0B，所以cos6sinAA，31sincossin22AAA，即3tan3A 又0,A，所以6A.（2）由6A及余弦定理知，222322abcbc,由面积公式：2111sin,2222aSbcAbc整理得：22abc,结合可得22222223222 32abcabca,即得22222 3aabc 222222 31322bcbcaacbbca，所以132bccb 18已知等差数列na的前 n项和为nS，公差为 d，0d，且849Sa(1)求1ad；(2)若121111nSSS对任意Nn恒成立，求 d的取值范围【答案】(1)1.(2)0d 或2d.【分析】（1）根据等常数列的前 n项和公式以及通项公式化简849Sa，即可得答案.（2）利用裂项求和法求得12111nSSS的表达式，根据121111nSSS对任意Nn恒成立，可得相应不等式，求得答案.【详解】（1）由题意等差数列na的前 n 项和为nS，公差为 d，0d，且849Sa，1884548492aaSaaa，所以5445aa，则114(4)5(3)adad，即1ad，故 11ad.（2）1(1)(1)12 11,()221nnn nn nSnaddSd nn,所以1211121111121(1)(1)22311nSSSdnndn，而1111n，故121111nSSS对任意Nn恒成立，需21d 即0d 或2d .19已知四边形 ABCD如图 1 所示 ADBC，AB=AD=DC=12BC=2，将 ABD沿 BD折起得到四面体 ABCD，如图 2 所示，A C2 2 第 12 页 共 19 页 (1)证明：A BCD；(2)求直线 AB 与平面 ACD 所成角的大小【答案】(1)证明见解析(2)3 【分析】（1）分别通过勾股定理证明CDBD和CDAD，即证明CD 面A BD即可得结果；（2）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）过点A作AEBC于点E，连接BD，/ADBC，122ABADDCBC，1BE，即6BAE，所以23BAD，在ABD中，22212cos44222122BDABADAB ADBAD 222BDCDBC，即CDBD，又A C2 2，222A CA DCD，即CDAD，又A DBDD，且ADBD，均含于面A BDCD 面A BD，A BCD.（2）由（1）知CD 面A BD，面ABD面BCD，取BD中点O，连接OA，由于A BA D，AOBD，而面A BD面BCDBD，AO面BCD 故可取如图所示O为坐标原点，过点O与DC平行的直线为x轴，OD，OA方向为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，第 13 页 共 19 页 则0,3,0B，0,0,1A，0,3,0D，2,3,0C，0,3,1BA，0,3,1A D，2,0,0DC，设面ACD的法向量,nx y z，00n A Dn DC即3020yzx，令1y，可得0 x，3z，即0,1,3n，直线 AB 与平面 ACD所成角为，0,2，2 33sincos,222BA n，即3，即直线 AB 与平面 ACD 所成角的大小3.20在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期 某地卫健委有关部门统计了该地区 1000 名患者的相关信息，得到数据如下：潜伏期(单位：天）0，2(2，4(4，6(6，8(8，10(10，12(12，14 人数 60 180 350 250 100 50 10 (1)求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为进一步研究该传染病的潜伏期与患者年龄的关系，按潜伏期进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 100 人，得到如下22列联表：潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 60 岁以上(含 60 岁)50 60 岁以下 24 第 14 页 共 19 页 总计 100 将上述列联表补充完整，并据此判断是否有 95%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关？20P Kk 0.05 0.025 0.010 0k 3.841 5.024 6.635 22n adbcKabcdacbd，其中nabcd (3)若用样本估计总体，以频率近似概率，从该地区所有患者中随机抽取 10 人，则抽到的 10 人中潜伏期不超过 8 天的人数最有可能为多少？请说明理由【答案】(1)5.68(2)答案见解析(3)9 人，理由见解析 【分析】（1）利用平均数的求法公式即可求解；（2）根据题目所给数据填写22列联表，计算2K，对照题目中的表格，得出结论即可；（3）先计算该地区每 1 名患者的潜伏期不超过 8 天发生的概率为2125，设抽取的 10 人中潜伏期不超过 8 天的人数为X，则2110,25XB，1010214C2525kkkP Xk ，0,1,2,10k，由11P XkP XkP XkP Xk，解出2062312525k，由Zk，可得9k，由此求解.【详解】（1）由题意，这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数为：1=1 60+3 180+5 350+7250+9 100+11 50+13 10=5.681000 x.（2）根据题意，补充完成的列联表如下：潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 60 岁以上(含 60 岁)35 15 50 60 岁以下 24 26 50 第 15 页 共 19 页 总计 59 41 100 则2210035 2624 15=5.00259 41 50 50K，由于5.0023.841，所以有 95%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关.（3）由题意，该地区每 1 名患者的潜伏期不超过 8 天发生的概率为：6018035025021100025.设抽取的 10 人中潜伏期不超过 8 天的人数为X，则2110,25XB，1010214C2525kkkP Xk ，0,1,2,10k.由11P XkP XkP XkP Xk，即1019110101011111010214214CC25252525214214CC25252525kkkkkkkkkkkk ，化简得2062312525k.又Zk，所以9k，即从该地区所有患者中随机抽取 10 人，则抽到的 10 人中潜伏期不超过 8 天的人数最有可能为 9 人.21已知函数 1 ln22f xxxax，Ra(1)当0a 时，求函数 f x的单调区间；(2)证明：函数 f x存在唯一零点【答案】(1)f x的增区间为0,；(2)详见解析.【分析】（1）由题可得 1ln1g xfxxax，然后利用导数研究函数 g x的性质可得 0g x，进而即得；（2）由题可得0a 时，函数 f x在0,上单调递增，结合零点存在定理可得函数存在唯一零点，第 16 页 共 19 页 a0时，利用导数研究函数的极值，结合函数的单调性进而即得.【详解】（1）因为 1 ln22f xxxax的定义域为0,，所以 1ln1fxxax，设 g xfx，则 22111xgxxxx，由 0g x，可得01x，由 0gx，可得1x，所以 g x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以 10g xga，即 0fx，所以函数 f x在0,上单调递增，即函数 f x的增区间为0,；（2）由题可知当0a 时，函数 f x在0,上单调递增，又 10fa，令2e0,1am，则 21 ln22ln2l2en0ammmmmfaaa，所以存在0,1xm，使 00f x，即当0a 时，函数 f x存在唯一零点；当a0时，10fa，又 fx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以存在10,1x，21,x，使得 120fxfx，且 f x在10,x上单调递增，在12,x x上单调递减，在2,x 上单调递增，则1xx时，函数 f x有极大值，又 1111111111111 ln221 lnln12ln1f xxxaxxxxxxxx，设 ln1,0,1h xxxx，则 1110 xh xxx，函数 h x在0,1上单调递增，所以 10h xh，故 111ln10f xxx，又x 时，f x，所以a0时，函数 f x在0,上存在唯一的零点；综上，函数 f x存在唯一零点【点睛】利用导数研究零点问题：第 17 页 共 19 页（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：利用最值或极值研究；利用数形结合思想研究；构造辅助函数硏究.22已知动点P在抛物线1C：22(0)ypx p，动点 Q 在圆2C：221xpy上，且,P Q之间距离的最小值为1(1)求抛物线1C和圆2C的方程；(2)抛物线1C上是否存在三点,A B C,使得ABC外切于圆2C？若存在，求出,A B C三点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)21:4Cyx 222:21Cxy(2)不存在,答案见解析 【分析】(1)通过把,P Q之间距离的最小值转化为2,CP之间距离最小值,计算即可;(2)首先分斜率是否存在分情况讨论,再通过图形特征等分别计算,得到矛盾,情况不成立.【详解】（1）由题意知,P Q之间距离的最小值为1,等价于2,CP之间距离最小值为2.设,PPP xy则222222222C22PPPPPPPxpyxpxppxxpp,从而24p,即2p,进而抛物线1C和圆2C的方程分别为:21:4Cyx,222:21Cxy.（2）若存在,设 001122,B,C,A x yx yxy显然012,yyy均不等于1.当ABC三边所在直线中,存在斜率不存在的情况时:由对称性知,若ABC外切于圆2C,则三角形必有一个顶点为坐标原点,不妨设为C,且另两个顶点连线必垂直于x轴,即为直线:3AB x,第 18 页 共 19 页 此时直线,CA CB分别为:2 32 3,33yx yx,易知直线,CA CB不与圆2C相切,与假设矛盾.所以,此时ABC不存在;当ABC三边所在直线斜率都存在时:设过A点圆2C的切线为:00yyk xx,即为200104kxyyky 由相切知200212411kykyk,可得222001214ykyk 2222200001121221044ykyyky 设12,ABACkk kk则12,k k为方程 的两根;另方面,10201222221020102044,11114444yyyykkyyyyyyyy将12,k k代入方程,并整理得:2220001144801,2iiyyy yyi 从而200121222001448,11yyyyy yyy#因为1122B,C,x yxy且22112244yxyx，则11211221221240 40 xyyyy yxyyyy y，则直线BC的方程为:121240 xyyyy y 此时圆心22,0C到直线BC的距离12212816y ydyy,将#代入得:2012242001274082 441416yy ydyyyy,令1d,即22420007404 4414yyy,整理得42003339615840yy,此方程显然无解.与假设矛盾,此时ABC不存在;综上,在抛物线1C上不存在三点,A B C，使得ABC外切于圆2C 第 19 页 共 19 页【点睛】解决存在问题首先是假设抛物线1C上存在三点 A，B，C，使得ABC外切于圆2C,以直线斜率是否存在分情况讨论,根据图形特征得出矛盾,根据假设求第三条直线情况与已知矛盾,问题得解.