2022-2023学年湖北省襄阳市第五中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年湖北省襄阳市第五中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合ln12,Z3sinAxxByyx，则AB（）A0,1,2,3 B0,3 C3 D【答案】A【分析】由对数的单调性求得集合 A，根据正弦函数性质求得集合B，进而求其交集.【详解】由ln12x，可得201ex，则21e1Axx 又Z3sin3,2,1,0,1,2,3Byyx，所以0,1,2,3AB.故选：A 2 如图是杭州 2022 年第 19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧 AD长度是1l，弧 BC长度是2l，几何图形 ABCD面积为1S，扇形 BOC 面积为2S，若122ll，则12SS（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】由条件可得2OAOB，然后根据扇形的面积公式可得答案.【详解】设BOC，则122OAllOB，所以2OAOB，所以2222221222211422312OAOBOAOBOBOBSSOBOBOB,故选：C 3已知角的终边经过点(2,3)，则sin（）第 2 页 共 17 页 A3 1313 B2 1313 C2 D3【答案】A【分析】根据正弦函数的定义直接计算即可.【详解】因为角的终边经过点(2,3)，所以222(3)13r ，33 13sin1313.故选：A 4已知函数 sin3fxxZ，0,3x时，32f x 有唯一解，则满足条件的的个数是（）A5 B6 C7 D8【答案】B【分析】对 进行分类讨论，当0，通过0,3x可确定3x的范围33,3，由 32f x，得到27,3333，从而得到1,6，再根据 Z，可得的值；当0时,同理可得的值.【详解】当0时,0,33333xx 32f x 有唯一解，根据正弦函数sinyx的图象可得 3327,33，解得1,6 又,12,3,4 5,，Z 当0时,0,33333xx 335334，解得65，,又,5,Z,综上所述,12,3,4,5,5,，故选：B.第 3 页 共 17 页【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的值时，利用函数图像求出的范围，即可求得值，属于中等题.5已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边上一点sin3,cos3P，若02，则（）A3 B32 C532 D32【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出tan，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角的终边上一点sin3,cos3P，所以cos31tan0sin3tan3，又cos30,sin30，所以为第四象限角，所以23,Z2kk，又因02，所以532.故选：C.6sin3，cos sin2，tan cos3的大小关系是（）Acos(sin 2)sin3tan(cos3)Bcos(sin 2)tan(cos3)sin3 Csin3cos(sin 2)tan(cos3)Dtan(cos3)sin3cos(sin 2)【答案】A【解析】利用三角函数函数值的正负和正弦函数在0,2上的单调性判断即可.【详解】因为32,所以1cos30,可得tan cos30,因为3224,所以2sin212,可得21sin22222,因为cos sin 2sinsin 2,sin3sin32,又因为03 21sin22222 2,由正弦函数在0,2上的单调性知,sin3sinsin22，即tan cos30sin3cos sin2.故选:A 第 4 页 共 17 页【点睛】本题考查利用三角函数函数值的正负和正弦函数的单调性比较大小;特殊角三角函数值的运用和选取合适的临界值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.7已知函数 f x是定义在R上的偶函数，且 2f xf x，当01x时，f xx，设函数 7logg xf xx，则函数 g x的零点个数为（）A6 B8 C12 D14【答案】C【分析】根据函数奇偶性即 2f xf x可以得到函数 f x为周期函数，把函数 g x的零点个数转化成方程 7log0f xx的根的个数，即在同一坐标系中 yf x和7logyx图像的交点个数.【详解】依题意可知，函数 f x是定义在R上的偶函数，且 2f xf x 所以，22f xfxfxf x，即函数 f x是以 2 为周期的偶函数；令 7log0g xf xx，即 7logf xx，在同一坐标系中分别作出 yf x和7logyx的图像如下图所示：由图像可知，两函数图像共有 12 个交点，即函数 g x共由 12 个零点.故选：C.8定义：()()N f xg x表示不等式()()f xg x的解集中的整数解之和若2()log xf x，2()(1)2g xa x，()()6N f xg x，则实数 a的取值范围是（）A(,1 B32log2,0 C22log 6,0 D2log 32,04【答案】D 第 5 页 共 17 页【分析】直接利用定义形函数的性质结合函数大致图象，进一步利用分类讨论思想和不等式的组的解法的应用求出结果【详解】解：根据函数的定义()()N f xg x可转换为满足22log12xa x的整数解的x的和，当0a 时，做出函数2()log xf x 和2()(1)2g xa x的大致图象，如图所示：结合图形可得()()f xg x的解集中整数解的个数有无数个，不符合题意 当0a 时，()2g x，由()2f x，解得4x 或14x 在1,44内有 3 个整数解1,2,3，即()()6N f xg x，所以0a，符合题意；当a0时，做出函数2()log xf x 和2()(1)2g xa x的大致图象，如图所示：若()()6N f xg x，又0,x，且 1012fg，所以不等式22log12xa x的整数解为1,2,3 只需满足 03344agfgf，即22042log 392log 4aaa，解得2log 3204a 综上，所以()()6N f xg x时，实数a的取值范围为2log 32,04 故选：D 第 6 页 共 17 页 9设函数 cosf xx（，是常数0，02）若 f x在区间5,24 24上具有单调性，且511242424fff ，则下列说法正确的是（）A f x的周期为2 B f x的单调递减区间为,(Z)63kkk C f x的对称轴为(Z)122kxk D f x的图象可由 sing xx的图象向左平移56个单位得到【答案】B【分析】由于函数 cosf xx（，是常数0，02）若 f x在区间5,24 24上具有单调性，可得04，由511242424fff 可得函数的一个对称中心和相邻和对称轴，即可得与的值，即可得函数 f x的解析式，结合余弦型函数的周期性、单调性、对称性、图象变换逐项判断即可.【详解】解：函数()cos()(f xx，是常数，0，0)2，若()f x在区间5,24 24上具有单调性，则1 2522424，04 511242424fff ，则()f x的图象关于点,012对称，()f x的图象关于直线3x 对称，122k，Zk，且3n，Zn 两式相减，可得4()2nk，故2 或6（舍去）当2时，则由可得3，cos 23fxx 综上，cos 23fxx 故它的周期为22，故 A 错误；令2 22 3kxk，Zk求得63kxk，Zk可得函数的减区间为,(Z)63kkk，故 B 正确 令23xk，求得26kx，Zk，故()f x的对称轴为直线26kx，Zk，故 C 错误；由 sin2g xx的图象向左平移56个单位得到函数5sin 2cos 233yxx 的图象，故 D 错第 7 页 共 17 页 误.故选：B 二、多选题 10下列结论正确的是（）A若ab，则lglgab B若22ab，则ab C若,ab cd，则22acbd D若22acbc，则ab【答案】BD【分析】根据对数函数、不等式的性质等知识确定正确答案.【详解】A 选项，若1,2,abab ，但lg,lgab没有意义，所以 A 选项错误.B 选项，由于22abab，所以 B 选项正确.C 选项，若2,1,1,2abcd，则,ab cd，但22acbd，所以 C 选项错误.D 选项，由于22acbc，则20c，所以ab，D 选项正确.故选：BD 11关于函数1()sinsinf xxx有如下四个命题，其中正确的是（）A()f x的图象关于 y轴对称 B()f x的图象关于原点对称 C()f x的图象关于直线2x 对称 D()f x的图象关于点(，0)对称【答案】BCD【分析】求得()f x的奇偶性判断选项 AB；利用()2fx与()2fx是否相等判断选项 C；利用(2)f x与()fx是否相等判断选项 D.【详解】1()sinsinf xxx的定义域为x|xk，kZ，11()sinsin()sinsinfxxxf xxx ()f x为奇函数，其图象关于原点对称.故 A 错误，B 正确；11()sincos22cossin2fxxxxx 第 8 页 共 17 页 11()sincos22cossin2fxxxxx()()22fxfx，()f x的图象关于直线2x 对称，故 C 正确；又11(2)sin2sinsin2sinf xxxxx 11()sinsinsinsinfxxxxx，(2)()f xfx，()f x的图象关于点(，0)对称，故 D 正确 故选：BCD 12已知函数 f x的定义域为0,，且满足当0,2x时，11f xx，当2x 时，2f xf x，为非零常数，则下列说法正确的是（）A当1时，20251f B当0时，f x在2022,2023单调递增 C当2时，记函数 12xg x与 f x的图象在0,10的m个交点为,1,2,iix yim，则156miiixy D当1 时，f x在*0,4Nnn上的值域为2122,nn【答案】ACD【分析】确定函数周期为 2，计算得到 A 正确，计算得到 10112022f xx，B 错误，计算函数的交点，相加得到 C 正确，根据函数的单调性，计算最值得到值域，得到答案.【详解】1，当2x 时，2f xf x，函数周期为 2，202511ff，A 正确；当0时，取2022,2023x，120220,x，10112022f xx，函数单调递减，B 错误；,0,1112,1,2x xf xxx x，2，当2x 时，22f xf x，函数简图如图所示，第 9 页 共 17 页 根据图像 122xg x与 f x的图像交点分别为 1,1，3,2，5,4，7,8，9,16，故156miiixy，C 正确；当2x 时，2f xf x，24nf xnf x，函数简图如图所示：1，根据图像知，函数在44,43nn和41,4nn上单调递增，在43,41nn上单调递减，*Nn，现考虑x轴上每 4 个单位长度为一段的函数值，最大值依次变大，最小值依次变小，故只需考虑最后一段即可，212122max4343411nnnf xfnfnnf，21212121min4141 4131nnnnf xfnfnnff，故值域为2122,nn，D 正确.故选：ACD 三、填空题 13已知 33,011,02xxxf xx,若函数 g xf xa有两个零点，则a的取值范围为_.【答案】0,)第 10 页 共 17 页【分析】由题意可得 yf x与ya有两个交点，作出 yf x的图象，结合图象即可得答案.【详解】解：令 0g xf xa，则有 f xa，因为 g x有两个零点，所以 yf x与ya有两个交点，作出 yf x的图象，如图所示：由此可得0,)a.故答案为：0,).14已知函数 3sin06fxx和 3cos 2g xx的图象完全相同，若0,2x，则 f x的取值范围是_.【答案】3,32【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.【详解】解：因为 23sin3cos3cos6263f xxxx，所以2，则 3sin 26fxx.因为0,2x，所以52666x，所以1sin 2126x，所以 332f x.故答案为：3,32.第 11 页 共 17 页 15若，0,2，且21 sinsinsincoscos，则tan的最大值为_【答案】24【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得2tantan2tan1，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：由21 sinsinsincoscos，得2222sincossincostantan1 sin2sincos2tan1，因为0,2，所以tan0,，则2tan112tan12tan1412tan2 2tantantan，当且仅当12tantan，即2tan2时，取等号，所以tan的最大值为24.故答案为：24.16对于函数()yf x，若存在0 x，使 000f xfx，则称点 00,xf x是曲线()f x的“优美点”已知21,0()2,0 xxf xxxx x，则曲线()f x的“优美点”个数为_【答案】5【分析】由曲线()f x与曲线()fx交点个数即可得到曲线()f x的“优美点”个数.【详解】曲线()f x的“优美点”个数即曲线()f x与曲线()fx交点个数.由21,0()2,0 xxf xxxx x，可得21,0()2,0 xxxfxxxx ，即21,0()2,0 xxfxxxx x，则21,0()2,0 xxfxxxx x，同一坐标系内作出()yf x（实线）与()yfx 的图像（虚线）.第 12 页 共 17 页 由图像可得两函数图像共有 5 个交点，则曲线()f x的“优美点”个数为 5 故答案为：5 四、解答题 17设函数()tan23xf x(1)求函数()f x的单调区间；(2)求不等式()3f x 的解集【答案】(1)()f x的单调增区间为52,2,Z33kkk(2)42,2,Z33kkk 【分析】（1）根据正切型函数的单调区间公式即可求解；（2）根据正切函数特点，利用整体思想即可求解.【详解】（1）令,Z2232xkkk，解得522,Z33kxkk，所以()f x的单调增区间为52,2,Z33kkk，()f x不存在单调减区间.（2）()tan323xf x，所以,Z2233xkkk，所以不等式()3f x 的解集为42,2,Z33kkk，18某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒 1 个单位的消第 13 页 共 17 页 毒剂，空气中释放的浓度 y单位：毫克/立方米）随着时间 x 单位：小时）变化的关系如下：当04x时，1618yx；当410 x时，152yx若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于 4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用(1)若一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒 2 个单位的消毒剂，6 小时后再喷洒 a（14a）个单位的消毒剂，要使接下来的4 小时中能够持续有效消毒，试求 a 的最小值，【答案】(1)8(2)24 16 2 【分析】（1）将给定的数值代入相应的公式即可；（2）列出方程后，利用基本不等式求最小值即可.【详解】（1）一次喷洒 4 个单位的净化剂，浓度 644,0448202,410 xf xyxxx 则当04x时，由64448x，解得0 x，此时04x.当410 x时，由2024x，解得48x，综合得08x.所以，若一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达 8 小时.（2）设从第一次喷洒起，经610 xx时，浓度 1102 51286g xxax 161014axax 1614414axax 144,8x，而14a，44,8a，故当且仅当144xa时，y有最小值为84aa.第 14 页 共 17 页 令844aa，解得24 16 24a，a的最小值为24 16 2.19已知sin(2)cos2()costan()2f.(1)若角终边有一点(,3)P m，且1cos2，求 m 的值；(2)求函数2()2()12g xfxfx的值域【答案】(1)1m (2)g x的值域为250,8 【分析】（1）由三角函数的诱导公式即可化简 f，再由三角函数的定义即可求出m的值；（2）对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质及二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意可得 sin 2cossinsin2cossintancostan 2f，21cos23mm，可得0m，1m；（2）因为 cosf，所以 cosf xx，222coscos12cossin12 g xxxxx 22sinsin3xx 21252 sin48 x，因为sin1,1x，所以当1sin4x 时，max25()8g x，当sin1x 时，min()0g x，所以 g x的值域为250,8.第 15 页 共 17 页 20已知函数()sin 26f xx图象的一个对称中心为,012，其中为常数，且(0,2)(1)求函数()f x的解析式；(2)已知函数()cos3g xxm，若存在12,0,x x，均有 12f xg x，求实数 m的取值范围 【答案】(1)()sin 26f xx；(2)322，【分析】根据函数()sin 26f xx图象的一个对称中心为,012，由sin066求解；（2）由10,x，得到 1f x的值域 A，由20,x，得到 2g x的值域 B，根据存在12,0,x x，均有 12f xg x，由AB 求解.【详解】（1）解：因为函数()sin 26f xx图象的一个对称中心为,012，所以sin066，则,Z66kk，即61,Zkk，又因为(0,2)，所以1，所以()sin 26f xx；（2）由10,x，得1132666x，则11sin 212x，即 1112f x；由20,x，得24333x，则211cos32x，即 2112mg xm，因为存在12,0,x x，均有 12f xg x，所以112m 且11m，解得322m，所以实数 m的取值范围322，21已知函数5()cos 416g xx，,8 8x (1)求 g x的值域；(2)若关于x的方程2()(2)()3gxm g x0m 有解，求实数m的取值范围 第 16 页 共 17 页【答案】(1)30,2(2)332 2,10 【分析】（1）由,8 8x 可得544,633x，再利用余弦函数的性质可求得函数的值域，（2）根据题意可得m2()2()3()1gxg xg x，令()1sg x，则222smsss，然后根据对勾函数的性质可求得答案.【详解】（1）当,8 8x 时，544,633x，所以51cos 41,62x，所以53()cos 410,62g xx，故()g x的值域为30,2（2）由2()(2)()30gxm g xm，得2()gx 2()3()1g xm g x，因为3()0,2g x，所以()10g x ，所以m2()2()3()1gxg xg x，令()1sg x，则222smsss，51,2s，由对勾函数的性质知2mss在1,2)上单调递减，在52,2上单调递增，所以当2s 时，m取得最小值222 22，因为当1s 时，3m，当52s 时，523352102m，所以m的最大值为3310，所以2332 2,10mss 因此m的取值范围为332 2,10 22已知函数 121xafx 为定义域内的奇函数.(1)求a的值；(2)设函数 22913xmxg x，若对任意13,x，总存在2,2x 使得 12712fxg xm成立，求实数m的取值范围.第 17 页 共 17 页【答案】(1)2a；(2)3m.【分析】（1）根据 f x是奇函数，由特殊值的函数值求得参数，再验证即可；（2）对参数m的取值分类讨论，根据指数型复合函数的单调性，结合函数最值，即可求得结果.【详解】（1）因为0 x，f x是奇函数，所以 220ff，解得2a，此时 22 2112021212112xxxxxaaf xfx ，是奇函数.故2a.（2）当3x时，28x，故22217,0217xx，则 2121xf x 91,7，又因为229103xmx恒成立；故当 0m时，7 102fxm恒成立，符合条件.当0m时，7110,2fxmm 当2m时，根据复合函数单调性可得y 22913xmx在,2上单调递增，22941310,33xmxm，所以41313mm，令 41313mh mm，因为41313,myym 都在0,上单调递增，故 h m在0,单调递增，又 30h，所以3m；当02m时，根据复合函数单调性可得y 22913xmx在0,m单调递增，在,2m单调递减，故2229910,33xmxm，所以令2913mm，2913,myym 都是0,2m上的单调递增函数，故2913mym也是0,2上的单调增函数，又当2m时，51302y，故29130mm在0,2上恒成立，故2913mm在0,2无解，即02m不满足条件；综上所述，3m.