2021-2022学年江苏省泰州中学高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 18 页 2021-2022 学年江苏省泰州中学高二下学期期中数学试题 一、单选题 1已知空间向量(1,2,3)a，(1,3)bx，若ab，则|b（）A4 B5 C26 D74【答案】C【分析】先由ab，求得b的坐标，再根据模的运算公式求得|b.【详解】ab，1290abx，4x (1,4,3)b，22214(3)26b ，故选：C.2中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类小明去该馆任意选取4类重要藏品参观，则在碑碣、甲骨、瓷器三类中至少参观一类的不同选择方案的种数是（）A111 B64 C96 D2664【答案】A【分析】利用间接法可求得结果.【详解】从铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器这九类中任取4类重要藏品参观，不同的选法种数为49C，其中碑碣、甲骨、瓷器三类都不选的选法种数为46C，因此，满足条件的不同选法种数为4496CC12615111.故答案为：A.3若点(2,5,1)A，(1,4,2)B ，(3,3,)C mn在同一条直线上，则mn（）A21 B4 C4 D10【答案】C【分析】若ab，则1112222220 xyzx y zxyz【详解】3,1,1AB ，4,1,2BCmn 点A，B，C在同一条直线上 第 2 页 共 18 页 ABBC则412311mn 解得7,3mn 4mn 故选：C 4医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性 2 种结果根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是 80%，将正常者判为阳性的概率是 10%专家预测，某小区有 5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（）A2173 B1173 C1%D10%【答案】A【分析】在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是感染者为阴性除以正常人为阴性与感染者为阴性的和.【详解】由题意知，某小区感染了该病的人有120，未感染的人有1920 该试剂将感染者判为阳性的概率是45，则试剂将感染者判为阴性的概率是15 将正常者判为阳性的概率是110，则将正常者判为阴性的概率是910 则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率为112205=11199173+2052010 故选：A.5262(1)()xxx的展开式中常数项是（）A120 B240 C400 D480【答案】C【分析】首先原式变形为66222xxxxx，再分布求两部分的常数项，即可求解.【详解】原式66222xxxxx，其中62xx中，常数项是33362C160 xx，622xxx的常数项，即62xx中含21x项的系数，即442622240Cxxx，所以622xxx的常数项是240，第 3 页 共 18 页 所以262(1)()xxx的展开式中常数项是160240400.故选：C 6在四棱柱1111ABCDABC D中，1CMMD，14CQQA，则（）A11122AMABADAA B11122AQABADAA C1113444AQABADAA D1114555AQABADAA【答案】D【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为1CMMD，所以11112111()222CDDDABCMACDA，所以AMABBCCM 11122ABADABAA 11122ABADAA，所以 A 错误 因为14CQQA，所以1114444()554555CBBAAAABADACAQCA ，所以AQABBCCQ 1444555ABADABADAA 1114555ABADAA,故选：D 7已知随机变量2(2,)XN，(4)0.8P X，那么(04)PX（）A0.2 B0.6 C0.4 D0.8【答案】B【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解 第 4 页 共 18 页【详解】因为随机变量2(2,)XN，(4)0.8P X，由正态分布的对称性可知，(4)(0)1(4)10.80.2P XP XP X ，所以(04)1(0)(4)0.6PXP XP X.故选：B.8已知2013()22nnnxpaxxa x（,n p为常数），若,YB n p，则（）A 3,2E YD Y B 4,2E YD Y C 2,1E YD Y D 3,1E YD Y【答案】C【分析】根据二项式定理写出通项公式对比所给条件得出等式后，再化简求出,n p，结合二项分布的均值与方差公式即可求出答案.【详解】由已知得，()nxp的第r项为1Crn rrrnTxp，令1nr，得到11CnnnnTpx，令2nr，得到2221CnnnnTpx，又因为2013()22nnnxpaxxa x，对比可知，11221C23C2nnnnnnpp，化简得121213nnnpn np，解得412np，所以14,2YB，所以 2,11E YnpD Ynpp.故选：C 二、多选题 9下列四个命题，其中真命题是（）A若p与,a b共面，则存在实数,x y，使得pxayb B若存在实数,x y，使得pxayb，则p与,a b共面 C若存在实数,x y，使MPxMAyMB，则点,P M A B共面 D若点,P M A B共面，则存在实数,x y，使MPxMAyMB【答案】BC 第 5 页 共 18 页【分析】利用反例可说明 AD 错误；利用空间向量共面定理知 B 正确；由MPxMAyMB知,MP MA MB共面，由此可得四点共面，知 C 正确.【详解】对于 A，若0ab，0p，则不存在实数,x y，使得pxayb，A 错误；对于 B，由空间向量共面定理可知：若存在实数,x y，使得pxayb，则p与,a b共面，B 正确；对于 C，若存在实数,x y，使MPxMAyMB，则,MP MA MB共面，,M P A B四点共面，C 正确；对于 D，若0MAMB，0MP，则不存在实数,x y，使MPxMAyMB，D 错误.故选：BC.10抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用,x y表示一次试验的结果定义事件：事件A为“xy为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，则下列结论正确的是（）AA与B互斥 BA与B对立 C1()2P B C DA与C相互独立【答案】ACD【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义并结合已知条件判断选项 A，B，D；列出表格计算概率判断选项 C 即可.【详解】对于 A，若xy为奇数，则x和y一个为奇数，一个为偶数；若xy为奇数，则x和y都为奇数，所以事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故 A 正确；对于 B，虽然事件A与事件B不可能同时发生，但事件A与事件B也可能同时不发生，例如2,2xy，所以事件A与事件B不对立，故 B 错误；对于 C，,x y的所有可能结果如下表：1 2 3 4 5 6 1(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)第 6 页 共 18 页 4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)显然，181362P C,91364P BC,所以 1()2P BCP B CP C，故 C 正确；对于 D，由表可知，181362P A，181362P C，91364P AC，所以 14P AP CP AC，所以A与C相互独立，故 D 正确.故选：ACD 11若22022240440124004(1)xaa xa xax，则（）A404400iia B210()iaiN C404412021113()2022()24iiiia D202222010112022220(1)()iiiCC 【答案】ABD【分析】利用赋值法，判断 A；观察二项展开式中的奇数次幂的特征，即可判断选项；对二项式两边求导，再赋值，即可判断 C；将二项式变形为2022202220222111xxx，比较两边2022x的系数，即可判断选项.【详解】A.当1x 时，4044202201 10iia，故 A 正确；B.22022(1)x的展开式中，不存在次数为奇次幂的项，所以210()iaiN，故 B 正确；C.202222404401240441xaa xa xax，求导得20212240431234044202221234044xxaa xa xax，12x 时，20212123443044403111202212340442242aaaa，202114044112320224iiiia，故 C 错误；D.2022202220222111xxx 240440124044aa xa xax 第 7 页 共 18 页 01220222022012202220222022202220222022202220222022202222xCCxCCxCCxCxCx 比较两边2022x的系数 20222222201202120221011202220222022202220222022202201iiiaCCCCCC，D 正确 故选：ABD 12若 l1，l2，l3是三条互相平行的直线，l1与 l2之间距离为 1，l1与 l3之间距离为 1，l2与 l3之间距离为2，A，B是直线 l1上的点，且2AB，C，D分别是直线 l2，l3上的点，则（）AABC的面积是定值 BACD面积的最小值是12 C三棱锥DABC的体积是23 D224()8CDAB CD【答案】ABD【分析】构造直三棱柱111OEFO E F中，使得1OEOF且OEOF，则1l可以看做1OO所在直线，2l可以看做1EE所在直线，3l可以看做1FF所在直线，如图所示建立空间直角坐标系，根据面积公式及锥体的体积公式判断 A、B、C，再根据空间向量的坐标运算判断 D；【详解】解：如图所示直三棱柱111OEFO E F中，1OEOF且OEOF，则1l可以看做1OO所在直线，2l可以看做1EE所在直线，3l可以看做1FF所在直线，如图建立空间直角坐标系，设1,0,Cc，0,0,Bb，0,0,2Ab，0,1,Dd，则1,1,CDdc，0,0,2AB，对于 A：因为2AB，且11/EEOO，即C到AB的距离均为1，所以112ABCSABOE为定值，故 A 正确；依题意OEF即为ACD在底面的投影，所以111 122ACDOEFSS ，即ACD面积的最小值是12，故 B 正确；因为点D到平面ABC的距离1d，所以1111 1333D ABCABCVSd ，故 C 错误；所以222CDdc，2AB CDdc，所以22222222484()484CDAdcdcdB CDcdc，故 D 正确；故选：ABD 第 8 页 共 18 页 三、填空题 13若(2)nx的展开式中第 6 项的二项式系数最大，写出一个符合条件的 n的值是_（写出一个满足条件的 n的值即可）【答案】9（答案不唯一，9，10，11 均可）【分析】分n为奇数和偶数两种情形，结合二项式系数的特征即可得结果.【详解】当n为偶数时，若10n，第六项二次项系数最大；当n为奇数时，若9n，第五、六项二次项系数最大，合乎题意；若11n，第六、七项二次项系数最大，合乎题意；故n的值为：9，10，11，故答案为：9（答案不唯一，9，10，11 均可）14根据下列数据：x 9 9.5 10 10.5 11 y 11 10 8 4 5 求得 y关于 x 的关系3.2yxb，则11.5x 时，y的估计值为_【答案】2.8【分析】求出样本中心点，代入3.2yxb，求出b，再将11.5x 代入可得结果.【详解】99.5 10 10.5 11105x，11 108457.65y，所以7.63.2 10b，得39.6b，所以3.239.6yx，当11.5x 时，3.2 11.539.62.8y .故答案为：2.8.第 9 页 共 18 页 15某班 5 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有_种.【答案】150【分析】先将 5 名同学分成 3 组，在将三组全排列即可【详解】将 5 名同学分成 3 组，根据每组人数不同有两种情况：113、122，则分组的方法有1223542522C C CC10 1525A种，分组后将三组同学分派到三个不同社团有33A6种方法，故满足要求的不同方案共有 256=150 种 故答案为：150 四、双空题 16在矩形ABCD中，4AB，3AD 沿AC把ACD折起，点D移动至1D，使得二面角1DACB为直二面角，则1BD _若三棱锥1DABC的顶点均在球O上，则球O的表面积是_【答案】337513375 25【分析】根据立体几何中面面垂直的性质对题意转化求解即可得到1BD长度；若棱锥1DABC的顶点均在球O上，则棱锥顶点到球O的圆心距离都相等，由此找到圆心求出半径即可计算球的表面积.【详解】对于第一空，如图 1，在平面1ACD中，作1D HAC，连接BH，在1ACD中，1111122SAC D HAD CD，代入数据得，1125D H，在1AHD中，由勾股定理得，222211129355AHADD H,在ABC中，4cos5ABBACAC，在ABH中，由余弦定理得，2222cosBHAHABAH ABBAC，代入数据得，229941934245555BH ，因为二面角1DACB为直二面角，平面1D AC 平面ABCAC，1D HAC，1D H 平第 10 页 共 18 页 面1D AC，所以1D H 平面ABC，又因为BH 平面ABC，所以1D HBH，所以22221112193553375BDD HBH.对于第二空，在矩形ABCD中，设AC与BD交于点O，由矩形性质可知AOOCOBOD，所以在图 2 中，点O是球O的球心，152RAOOCOBOD，所以2425SR.故答案为：3375；25 【点睛】对于立体几何中的问题，要善于运用数形结合的方法，通过转化与化归，求出问题答案；对于外接球问题，要善于找到所求外接球的圆心，从而计算半径，得到答案.五、解答题 17为了鉴定新疫苗的效力，将 60 只豚鼠随机地平均分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，结果接种疫苗的豚鼠中没发病的占比 90%，发病的豚鼠中接种疫苗的占比 15%其结果列于下表：发病 没发病 接种 a b 没接种 c d (1)求 a，b，c，d的值；(2)问：能否有 99%的把握认为疫苗有效?参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，参考数据：第 11 页 共 18 页 20()P Kk 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)3a，27b，=17c，13d (2)有 99%的把握认为疫苗有效【分析】（1）根据题意所占相应得比例可得3a，27b，=17c，13d；（2）补全列联表，把数据代入22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d计算，并与临界值 6.635比较分析【详解】(1)（1）30 927%0b，303ab 15%aac则=17c，3013dc 3a，27b，=17c，13d.(2)补全列联表得：发病 没发病 总计 接种 3 27 30 没接种 17 13 30 总计 20 40 60 根据列联表，计算2260(3 13 1727)14.76.63530 30 20 40K，所以有 99%的把握认为疫苗有效.18如图，正四棱锥 PABCD中，2PAAB，点 M，N分别是 PA，BD 的中点 第 12 页 共 18 页(1)求证：/MN平面 PBC；(2)求二面角 DPAB的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)2 23【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可证明；（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，然后求出平面PAB和平面PAD的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数的平方关系即可求解.【详解】(1)连接AC，因为正四棱锥PABCD，所以底面 ABCD是正方形，因为 N是 BD的中点，所以 N 是 AC 的中点，又因为点 M 是 PA的中点，所以/MNPC，又因为MN 平面PBC，PC平面PBC，所以/MN平面PBC.(2)以 N 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Nxyz，如图所示 则(2,0,0)A，(0,2,0)B，(0,0,2)P，(0,2,0)D，所以(2,0,2)PA，(0,2,2)PB，(0,2,2)PD.设(,)nx y z为平面 PAB一个的法向量，则 00n PAn PB，即22z022z0 xy，令1x，则1y，1z 所以(1,1,1)n 为平面 PAB 的一个法向量，设111(,)zmx y为平面 PAD一个的法向量，则 00m PDm PA，即111122z022z0yx，令11x，则11y ，11z 第 13 页 共 18 页 所以(1,1,1)m 为平面 PAD的一个法向量.设二面角DPAB的平面角为，所以 2222221 1 111 11coscos,3111111n mn mn m ，所以22 2sin1cos3.所以二面角DPAB的正弦值为2 23.19幸福农场生产的某批次 20 件产品中含有313nn件次品，从中一次任取 10 件，其中次品恰有 X件(1)若3n，求取出的产品中次品不超过 1 件的概率；(2)记()(3)f nP X，则当 n 为何值时，()f n取得最大值【答案】(1)12(2)6n 【分析】由题意可知随机变量 X服从超几何分布，10201020C C,0,1,.,CkknnP Xkkn（1）取出的产品中次品不超过 1 件即X0和1X；（2）37201020C C3Cnnf nP X，利用作商法判断()f n的大小变化【详解】(1)记“取出的产品中次品不超过 1 件”为事件 A，则()(0)(1)P AP XP X.因为0103171020C C20C19P X，193171020C C151C38P X，所以2151()19382P A.则取出的产品中次品不超过 1 件的概率是12.(2)因为 37201020C C3Cnnf nP X，则371191020CC1Cnnf n.若 37119372011 13CC1C C220nnnnf nnnf nnn，解得5310n Nn则5n 故当35n时，(1)1()f nf n；当613n时，(1)1()f nf n；所以当6n 时，()f n取得最大值.第 14 页 共 18 页 20如图所示，在正方体1111ABCDABC D中，1AB，点 M，N 分别在1D A和 DB 上，且1MND A，MNDB (1)求线段 MN 的长；(2)求直线1D A和平面 DMN所成角的大小【答案】(1)33(2)3【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知将MN求出，再求其模长即可；（2）将1D A与平面 DMN的法向量n求出，利用向量法求解线面所成角即可.【详解】(1)以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)A，1(0,0,1)D，(1,1,0)B.因为点 M 在1D A上，设11(1,0,1)(,0,)DMD A，所以(,0,1)M.因为点 N 在 DB上，设(1,1,0)(,0)DNDB，所以(,1)MN ，因为1MND A，MNDB，所以1(1)210MN D A，20MN DB，解得23，13，所以1 11(,)3 33MN ，所以2221113|()()()3333MN .第 15 页 共 18 页(2)设(,)nx y z为平面 DMN的法向量，因为21(,0,)33DM，1 1(,0)3 3DN，由0n DM，0n DN，得0 xy，20 xz，取1x，所以(1,1,2)n 为平面 DMN的一个法向量.记直线1D A和平面 DMN 所成角为，因为1(1,0,1)D A，所以11133sincos,226D A nD A nD A n，所以直线1D A和平面 DMN所成角为3.21某地质量检测部门从一企业的产品中随机抽取 100 件产品，测量这批产品的某项技术指标值，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计这 100 件产品的技术指标值的中位数；(2)根据大量的测试数据，可以认为这批产品的技术指标值 X 近似地服从正态分布2,N.根据上表计算出样本平均数130.32x，样本方差21023.9s，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，从该企业这批产品中购买 50 件，设这 50 件产品中技术指标值恰好在 98.32 与 194.32 之间的数量为 Y，求 E Y；(3)如果产品的技术指标值在2与2之间为合格品，其他技术指标值为次品，每抽取 100 件产品中的合格品和次品件数分别是多少（精确到个位数）？计算从 100 件产品中任取 3 件，恰好取到 1 件次品的概率.参考数据：若随机变量 X服从正态分布2,N，则0.6826PX ，220.9544PX，330.9974PX，1023.932.【答案】(1)130.375(2)40.925(3)8936468【分析】（1）设中位数为0 x，由频率分布直方图计算中位数的方法计算即可；第 16 页 共 18 页（2）由正态分布的性质得出质量指标值恰好在 98.32 与 194.32 之间的概率，再根据二项分布得出 E Y；（3）根据正态分布的性质得出220.95PX，进而得出次品件数，再由概率公式计算即可.【详解】(1)设中位数为0 x.因为200.00380.00540.00750.334，所以00.01601200.50.334x，解得0130.375x.所以估计这 100 件产品的技术指标值的中位数为 130.375.(2)依题意，得2130.32,32XN，所以 198.32194.32130.3232130.3232130.3264130.32642PXPXPX 0.95440.68260.47720.34130.818522.所以从这批产品中任取一件其质量指标值恰好在 98.32 与 194.32 之间的概率为 0.8185.这 50 件产品中质量指标值恰好在 98.32 与 194.32 之间的数量为 Y，则 Y 服从二项分布，50,0.8185YB.所以 50 0.818540.925E Y.(3)依题意，产品的技术指标值在2与2之间为合格品，其概率为 220.95440.95PX，所以每抽取 100 件产品中合格品件数为 95 件，次品件数为 5 件.所以从 100 件产品中任取 3 件，恰好取到 1 件次品的概率为 12595310095 9458932100 99 9864683 2C CPC.22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点为(2,0)A，右焦点F到右准线l的距离为3(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点F且与x轴不重合的直线交椭圆C于M，N，若直线MA与I交于P，直线NA与l交于Q，证明：以PQ为直径的圆与直线MN相切【答案】(1)22143xy(2)证明见解析 第 17 页 共 18 页【分析】（1）根据题意易知2a，设椭圆 C的焦距为 2c，根据椭圆右焦点F到右准线l的距离为3列出关系式，即可求出1c，再根据22bac，即可求出结果；（2）设直线MN的方程为1xty，将其与椭圆方程联立，设11,M x y，11N x y,，根据韦达定理可知122634tyyt，122934y yt，再分别求出,P Q两点的坐标，写出以PQ为直径的圆的方程，将韦达定理带入化简整理，可知所以以 PQ 为直径的圆过点(1,0)F和(7,0)E，再根据直线与圆的位置关系判断，即可证明结果.【详解】(1)解：由题意得2a.设椭圆 C 的焦距为 2c，则2222223aacccccc，所以1c，所以223bac，所以椭圆 C 的标准方程22143xy.(2)证明：设直线MN的方程为：1xty.由221431xyxty，得22(34)690tyty，设11,M x y，11N x y,，则122634tyyt，122934y yt.因为直线MA的方程为：11(2)2yyxx，令4x，得1122Pyyx，所以112(4,)2yPx，同理可得222(4,)2yQx.以PQ为直径的圆的方程为：2121222(4)()()022yyxyyxx，即22121212122222(4)()02222yyyyxyyxxxx.因为1xty，122634tyyt，122934y yt，所以121212212121212224422111yyy yy yxxmymym y yyy22222363499613434ttttt，所以以 PQ为直径的圆的方程为：22121222(4)()9022yyxyyxx.令0y，得2(4)90 x，解得1x 或7x.所以以 PQ为直径的圆过点(1,0)F和(7,0)E.因为121212122121212122222422211(1)yyyymy yyyxxmymym y ym yy第 18 页 共 18 页 22222964()2()3434696()()13434tmttmtmmtt，所以 PQ 的中点(4,3)Dm，所以34 1FMmkm.当0m 时，易得以 PQ 为直径的圆与直线MN相切.又因为当0m 时，直线 MN的斜率为1m，所以MNFD，所以以 PQ为直径的圆与直线 MN相切.