2022-2023学年河南省周口市太康县高二上学期1月期末质量检测数学(理)试题(含解析).pdf

太康县 2022-2023 学年高二上学期 1 月期末质量检测数学（理）试题 考生注意:1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容:人教 A 版选择性必修一、选择性必修二第一章。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知向量3,2,5a ，1,1bx且ab，则 x 的值为()A.4 B.2 C.3 D.1 2.正四棱锥SABCD的所有边长都相等，E 为 SC 的中点，则 BE 与 SA 所成角的余弦值为()A.13 B.12 C.33 D.32 3.若点 1,1P为圆2260 xyx的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为()A.230 xy B.210 xy C.230 xy D.210 xy 4.已知数列 na满足12a，23a，12nnnaaa，则2022a()A.12 B.13 C.32 D.23 5.已知点(2,0)A，(0,2)B若点 C 是圆2220 xyx上的动点，则ABC面积的最小值为()A.3 B.2 C.32 D.32 6.若直线 l 的方向向量1,0,1a，平面的法向量1,0,1n，则()A.l B.l C./l D.l或/l 7.点 M，N 是圆22240 xykxy上的不同两点，且点 M，N 关于直线10 xy 对称，则该圆的半径等于()A.2 2 B.2 C.3 D.9 8.设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，P 是 C 上的点，212PFFF，1230PF F，则 C 的离心率为()A.36 B.13 C.12 D.33 9.一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加 1 个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加 2 个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有 16 个座位，最后一排共有 52 个座位，则该礼堂的座位总数共有()A.442 个 B.408 个 C.340 个 D.306 个 10.已知双曲线222:1(0)3xyCbb的右焦点为 F，圆 F 的半径为 2，双曲线 C 的一条渐近线与圆 F 相交于 A，B 两点，若2 3AB，则双曲线 C 的离心率为()A.2 3 B.2 33 C.2 D.3 32 11.已 知 数 列 na满 足2123.=2nna aaa*()nN，且 对 任 意*nN都 有12111.ntaaa，则 t 的取值范围为()A.1,3 B.1,3 C.2,3 D.2,3 12.已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点是 F，点(1,)Ta是其准线上一个动点，其中33.62a过点 T 且斜率为14a的直线1l与拋物线 C 交于 A，B 两点，过点 F 的直线2l交拋物线 C 于 P，Q 两点.若/,AP BQ则直线2l的斜率 k 的取值范围为()A.77,77 B.(7,7)C.77,77 D.(,7)(7,)第卷（非选择题，共 90分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.在我国古代数学名著九章算术中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑PABC中，PA 平面 ABC，2PAABBC.M 为 PC 的中点，则点 P 到平面MAB 的距离为_.14.已知椭圆2222:10 xyababC的左、右焦点分别是1F，2F，A，B 是椭圆 C 的任意两点，四边形12ABF F是平行四边形，且22ABAF，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_.15.已知点 F 是抛物线2:2(0)E ypx p的焦点，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 E 上的两点，满足|10FAFB，0FAFBFO，则p _.16.将等差数列1,4,7,按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则,数阵中第 20 行从左至右的第 5 个数是_.三、解答题：本大题共 6个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10 分）试判断数列 na为等差数列是napnq(,p q为常数,且0p,*nN)的什么条件？并说明理由.18.（12 分）如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别为1DD，BD 的中点，点 G 在 CD 上，且14CGCD.（1）求证：1EFBC；（2）求 EF 与1C G所成角的余弦值.19.（12 分）已知数列 na的首项11a，且满足13 2nnnaa.（1）求证：2nna 是等比数列.（2）求数列 na的前 n 项和nS.20.（12 分）河道上有一抛物线形拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 65m，船顶部宽 6m.（1）试建立适当的平面直角坐标系，求拱圈所在的抛物线的标准方程；（2）近日水位暴涨了 1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少?（精确到 0.1m）21.（12 分）已知椭圆22221(0)xyabab的上顶点 A,右焦点为,F Q是坐标原点,AOF是等腰直角三角形,且周长为22 2(1)求椭圆方程;(2)若直线 l 与AF垂直,且直线 l 交椭圆于,B C两点,求ABC面积的最大值.22.（12 分）已知1F，2F分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，点(3,5)M是 双 曲 线 C 上 一 点.若 第 一 象 限 的 点 P，Q 是 双 曲 线 C 上 不 同 的 两 点，且11228PFQFPFQF.（1）求 C 的离心率；（2）设 A，B 分别是 C 的左、右顶点，证明：PAQPBQ.数学（理）参考答案 1、答案：A 解析：因为ab，所以0a b，因为向量(3,2,5)a ，(1,1)bx，所以3250a bx ，解得4x，所以 x 的值为 4，故选：A.2、答案：C 解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设1OA，则(1,0,0)A，(0,0,1)S，(0,1,0)B，(0,1,0)C，11,0,22E.(1,0,1)AS ，11,1,22BE，110322cos,3|112144AS BEAS BEASBE ，BE 与 SA所成角的余弦值为33.故选 C.3、答案：D 解析：圆的标准方程为2239xy，圆心3,0A.因为点 1,1P为弦 MN 的中点，所以APMN.又 AP 的斜率1 011 32k，直线 MN 的斜率为 2，弦 MN 所在直线的方程为(11)2yx，即210 xy.4、答案：D 解析：由12nnnaaa，得2311nnnnaaaa，故6nnaa，na是周期为 6 的数列.12a，23a，所以332a，412a，513a，623a，故2022623aa，故选 D.5、答案：D 解析：点(2,0)A，(0,2)B，|2 2A B 圆2220 xyx化为22(1)1xy，圆心(1,0)，半径是1r.直线 AB 的方程为20 xy，圆心到直线 AB 的距离为33 222d.直线 AB 和圆相离，点 C 到直线 AB 距离的最小值是3 212.ABC面积的最小值为13 22 213222.故选：D.6、答案：D 解析：因为1 10a n ，所以an，所以l或/l.故选：D 7、答案：C 解析：22240 xykxy的圆心坐标(,1)2k，因为点 M，N 在圆22240 xykxy上，且点 M，N 关于直线:10l xy 对称，所以直线:10l xy 经过圆心，所以1 102k ，解得4k，所以圆的方程为：224240 xyxy，即22(2)(1)9xy，所以圆的半径为 3.故选 C.8、答案：D 解析：方法一：由题意可设2PFm，结合条件可知12PFm，123FFm，故离心率1212233223FFccmeaaPFPFmm.方法二：由212PFFF可知 P 点的横坐标为 c，将xc代入椭圆方程可得2bya，所以22bPFa.又由1230PFF可得1223FFPF，故223bca，变形可得2232acac，等式两边同除以2a，得23 12ee，解得33e 或3e (舍去).9、答案：C 解析：设该礼堂从第一排到最后一排的座位数构成一个数列 na，共 n 排座位，故得到首项1=16a，公差4d，52na，由164152nan可得10n，所以座位总数为101652103402S，故该礼堂的座位总数共有 340 个，故选：C.10、答案：B 解析：双曲线3a，右焦点,0F c，一条渐近线30bxy，223cb F 到渐近线30bxy的距离2222 3223bcb，1b，所以232cb，离心率22 333ca.故选：B 11、答案：D 解析：数列na满足2*123(2)nna a aanN，1n 时，12a，2n时，2(1)12312nna a aa，可得212nna.21112nna，数列1 na为等比数列，首项为12，公比为1 4.1211(1)11121224(1)134314nnnaaa.对任意*nN都有12111.ntaaa，则 t 的取值范围为2,3 故选：D.12、答案：C 解 析：由题 可得，1,2,2pp所以 抛物 线 C 的 方程 为24.yx直 线1l的 方程 为14()xa ya，设直线2l的方程为111,xnyA x y223344,.B xyP x yQ xy由24,14()yxxa ya 消去 x，得2y 2161640,aya所以2121216,164,yya y ya则12yy22216 16414 121aaa.由24,1yxxny消去 x，得24yny40,所以34344,4,yyn y y 所 以234(4)16yyn241.n 因 为/AP BQ，所 以31423142yyyyxxxx，结合点在抛物线 C 上可得132444yyyy，即1234,yyyy所以224 12141an，即22122,na因为3362a，所以207,n即21,7k 所以77k 或7.7k 故选 C.13、答案：2 解析：易知PAAB,PABC,ABBC，故以 B 为坐标原点，BA,BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点 B 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B，(2,0,0)A，(2,0,2)P，(0,2,0)C，由 M 为 PC 的中点可得(1,1,1)M，则(1,1,1)BM，(2,0,0)BA，设(,)x y zn为平面 MBA 的一个法向量，则0,0,BABMnn即20,0,xxyz 令1z ，则1y，所以(0,1,1)n，所以点 P 到平面 MAB 的距离|2|BPdnn.14、答案：510,2 解析：因为四边形12ABF F是平行四边形，则12/AB FF且122ABFFc 2ABAF，则22AFba 若22ABAF，即222bca 所以222acbac，即220caca，同除以2a可得：210ee，解得151522e .因为01e，所以5102e.故答案为：510,2.15、答案：4 解析：设11(,)A x y，22(,)B xy，而(,0)2pF，则1212|1022ppFAFBxxxxp，11(,)2pFAxy，22(,)2pFBxy，(,0)2pFO ，由0FAFBFO，得12123(,)02xxp yy，所以1232xxp，联立得：4p.故答案为：4.16、答案：583 解析：记每一行的第 1 个数组成数列,na 则21323,6,aaaa4320199,3 19,aaaa 累加得2013(12319)570,aa 所以20570,a 则第 20 行从左到右的第 5 个数是57012583.17、答案：若数列 na为等差数列,公差为 0 时,1naa(1a为常数),不满足napnq(,p q为常数,且0p,*nN）；公差不为0时,11(1)()nndaaadnd(其中0d,且d为常数),满足napnq(,p q为常数,且0p,*nN)；所以由“na为等差数列”,不能推出“napnq(,p q为常数,且0p,*nN)”；若napnq(,p q为常数,且0p,*nN),则1nnaap,所以数列 na为等差数列,因此,由“napnq(,p q为常数,且0p,*nN)”能推出“na为等差数列”.所以,数列 na为等差数列是napnq(,p q为常数,且0p,*nN)的必要非充分条件.解析：18、（1）答案：见解析 解析：证明：设1,DADCDDabc，则11122EFDFDEDBDD 11111()()2222DADCDDabc 1()2abc.1111()BCADDADADD ac.11()()2EF BC abcac 2211(10000 1)022 aa ca bb ca cc，1EFBC，1EFBC.（2）答案：5117 解析：由(1)知1()2EF abc，又1317|,24EFGC，111()24EF GCabcbc 221 1112 444 a ba cbb cb cc 110000 124 133248 .1113518cos,17|17342EF GCEF GCEFGC，EF与1C G所成角的余弦值为5117.19、（1）答案：见解析 解析：证明：11123 2221222nnnnnnnnnnnnnaaaaaa(常数)，又1121a ，2nna是首项为-1，公比为-1 的等比数列.（2）答案：见解析 解析：由(1)知，121(1)(1)nnnna ，2(1)nnna.1231232222nnnSaaaa123(1)(1)(1)(1)n 12221 1 1(1)221 1 1(1)12nnnn .当 n 为偶数时，1122022nnnS；当 n 为奇数时，1122123nnnS.20、答案：（1）设抛物线形拱桥与水面两交点分别为 A,B，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，拱圈最高点 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则(12,8)A，(12,8)B-设拱圈所在抛物线的方程为22(0)xpy p，因为点(128)A，在抛物线上，所以14416p，解得9p，故拱圈所在抛物线的方程是218xy.（2）在218xy 中，当3x 时，0.5y ，651.5480.50().54，故当水位暴涨 1.54m后，船身至少应降低 0.6m，才能安全通过桥洞.解析：21、答案：(1)在AOF中,AOb FOc AFa 因为AOF是等腰直角三角形,且周长为22 2 所以,2,22 2bc ab abc,解得2,2bca 因此椭圆方程为22142xy(2)由(1)知,(0,2),(2,0)AF,1AFk 因为直线 l 与AF垂直,所以可设直线 l 的方程为yxm,代入22142xy,得2234240 xmxm,28(6)0m 得66m 设1122(,),(,)B x yC xy,则21212424,33mmxxx x 22221121241 12()463BCxxxxx xm 又点 A 到直线 l 的距离22md 所以2212(6)(2)23ABCSBC dmm 令22()(6)(2),66f mmmm 则()2(2)(2)(23 2)fmmmm 令()0fm,则62m 或3 222m 令()0fm,则22m 或3 262m 因此()f m在(6,2)和3 2(2,)2上是增函数,在(2,2)和3 2(,6)2是减函数 又3 233 2(2)32,(),(2)()242ffff 所以max()32f m,即max28()3233ABCS 因此ABC面积的最大值是83.解析：22、答案：（1）2e （2）见解析 解析：（1）由题意知 12128PFPFQFQF，即48a，所以2a.将(3,5)M代入双曲线的方程得29514b，解得24b，所以2228cab，故 C 的离心率2cea.（2）由（1）可知双曲线 C 的方程为22144xy，(2,0)A，(2,0)B.不妨设点 P 在 Q 的上方，11,P x y，22,Q xy，则11tan2yPABx，22tan2yQABx，又22114xy，22224xy，所以111122yxxy，222222yxxy，则tantantantan()1tantanPABQABPAQPABQABPABQAB 12122112121212121212121222222222221122yyxxyxyxxxyyyyxxy yxxxxyy.又11tan2yPBAx，22tan2yQBAx，所以tantantantan()1tantanPBAQBAPBQPBAQBAPBAQBA1212211212121212222222122yyyxyxxxyyxxy yxx，所以tantanPAQPBQ，又0,2PAQ，0,2PBQ，所以PAQPBQ.