2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 19 页 2021-2022 学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1若1,2,3AB ，1,1,5BC ，则AC（）A5 B10 C5 D10【答案】A【分析】先求出AC,再利用向量的模长计算公式即可【详解】因为(1,2,3)(1,1,5)(0,1,2)ACABBC 所以222|01(2)5AC 故选:A 2直线420 xay与直线 2xy+7=0 平行，则a=（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】根据直线平行可得方程4(1)()2a ，即可得到答案.【详解】两直线平行，所以有4(1)()22aa ,故选：B.3在等比数列na中，且3944a aa，则8a（）A16 B8 C4 D2【答案】C【分析】利用等比数列性质，若mnpq，则mnpqa aa a，即可计算出8a的值.【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若mnpq，则mnpqa aa a；所以483944a aa aa，因为40a，所以84a.故选：C.4已知,a b c是空间向量的一个基底，,ab ab c是空间向量的另一个基底，若向量p在基底,a b c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底,ab ab c下的坐标为（）A(4,0,3)B(1,2,3)C(3,1,3)D(2,1,3)第 2 页 共 19 页【答案】C【分析】设出p在基底,ab ab c下的坐标为,x y z，利用对照系数，得到方程组，求出结果.【详解】p在基底,a b c下的坐标为(4,2,3)=423pabc 设p在基底,ab ab c下的坐标为,x y z 则 px aby abzcxy axy bzc 对照系数，可得：423xyxyz 解得：313xyz p在基底,ab ab c下的坐标为3,1,3 故选：C 5设函数 f x在R上可导，其导函数为 fx，且函数 f x在2x 处取得极小值，则函数 yxfx的图象可能是（）A B C D【答案】C【分析】根极值与导函数的关系确定()fx在2x 附近的正负，得()xfx的正负，从而确定正确选项【详解】由题意可得20f ，而且当,2x 时，0fx，此时 0 xfx，排除 B、D；当2,0 x 时，0fx，此时，0 xfx，若0,x，0 xfx，第 3 页 共 19 页 所以函数 yxfx的图象可能是 C 故选：C 6 如图所示，已知双曲线C：222210,0 xyabab的右焦点为F，双曲线的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足120AFB，且3BFAF，则双曲线C的离心率是 A2 77 B52 C72 D7【答案】C【分析】利用双曲线的性质，推出AF，BF，通过求解三角形转化求解离心率即可【详解】解：双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足120AFB，且|3|BFAF，可得|2BFAFa，|AFa，|3BFa，60F BF，所以2222cos60F FAFBFAF BF，可得222214962caaa，2247ca，所以双曲线的离心率为：72e 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题 7 若圆221:20Cxyxm与圆222:40Cxyym恰有 2 条公切线，则m的取值范围为（）A0,4 B1,4 C1,0 D0,4【答案】B【分析】由两圆相交可得参数范围 第 4 页 共 19 页【详解】因为圆221:(1)1Cxym 与圆222:(2)4Cxym恰有 2 条公切线，所以10,40,14514,mmmmmm 解得14.m 故选：B 8任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 加 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈 1421.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达 1，就称为n步“雹程”.如取3m，由上述运算法则得出：3105168421，共需经过 7 个步骤变成 1，得7n.则下列命题错误的是（）A若2n，则m只能是 4 B当17m时，12n C随着m的增大，n也增大 D若7n，则m的取值集合为3,20,21,128【答案】C【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可判定.【详解】对于 A，2n，逆推124，m只能是 4，故 A 对；对于 B，17m时，175226134020105168421，12n，故 B对；对于 C，3m 时，7n，4m 时，421，2n，故 C 错，对于 D，7n 时，逆推128326421124816205103，故 D 对.故选：C.二、多选题 9两个学校1W，2W开展节能活动，活动开始后两学校的用电量 1W t，2Wt与时间 t（天）的关系如图所示，则一定有（）第 5 页 共 19 页 A1W比2W节能效果好 B1W的用电量在00,t上的平均变化率比2W的用电量在00,t上的平均变化率小 C两学校节能效果一样好 D1W与2W自节能以来用电量总是一样大【答案】AB【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项.【详解】由图象可知，对任意的100,tt，曲线 1WtW在1tt处的切线比曲线 2WtW在1tt处的切线要“陡”，所以1W比2W节能效果好，A 正确，C 错误；由图象可知，1012020000W tWWtWtt，则1W的用电量在00,t上的平均变化率比2W的用电量在00,t上的平均变化率小，B 选项正确；由于曲线 1WtW和曲线 1WtW不重合，D 选项错误 故选：AB 10如图，在长方体1111ABCDABC D中，1333ABADAA，点 P为线段1AC上的动点，则下列结论正确的是（）A当112ACAP时，1B，P，D三点共线 B当1APAC时，1APD P 第 6 页 共 19 页 C当113ACAP时，1/D P平面1BDC D当115ACAP时，1AC 平面1D AP【答案】ACD【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点P的坐标，根据空间向量公式，可得答案.【详解】由题意，如图建系：则1(0,0,0)(0,3,0)(0,0,1)DCD，11(1,0,0)(1,0,1)(1,3,0)(0,3,1)AABC，设11ACkAP，1(1,3,1)AC ，则1131,APkkk，可得11111311,D PD AAPkkk，11131,1APAAAPkkk，对于 A：当112ACAP时，则点 P 为对角线1AC的中点，根据长方体性质可得1,B P D三点共线，故 A 正确；对于 B：当1APAC时，113110AP ACkkk，解得5k，所以13 4,555AP，1431,555D P 则113 4431434,0555555252525AP D P ，因此1APD P不正确，故 B 错误；第 7 页 共 19 页 对于 C：当113ACAP时，1231,333D P，设平面1BDC的法向量为(,)nx y z，1(1,3,0),(0,3,1)DBDC，30n DBxy，130n DCyz，当1y 时，3x，3z，故(3,1,3)n，1231330333n D P，1nDP，又1D P 平面1BDC，1/D P平面1BDC，故 C 正确；对于 D：当115ACAP时，可得13 4,555AP，1(1,0 1)D A，设平面1D AP的法向量为(,)ma b c，则1340555m APabc，10m D Aac，取1a，则31bc，(1,3,1)m ，而1(1,3,1)AC ，1/ACm，1AC 平面1D AP，故 D 正确 故选：ACD 11已知抛物线2:4C xy，其焦点为 F，准线为 l，PQ 是过焦点 F的一条弦，点2,2A，则下列说法正确的是（）A焦点 F到准线 l的距离为 2 B焦点1,0F，准线方程:1l x CPAPF的最小值是 3 D以弦 PQ为直径的圆与准线 l相切【答案】ACD【分析】对 A：由抛物线方程及焦点 F 到准线 l的距离为p即可求解；对 B：由抛物线方程即可求解；对 C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；对 D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.第 8 页 共 19 页【详解】解：对 B：由抛物线2:4C xy，可得0,1F，准线 :1l y ，故选项 B 错误；对 A：由抛物线2:4C xy，可得24p，即2p，所以焦点 F 到准线 l的距离为2p，故选项 A正确；对 C：过点 P 作PPl，垂足为P，由抛物线的定义可得PFPP，所以PAPFPAPP 3d（d为点2,2A到准线 l的距离），当且仅当A、P、P三点共线时等号成立，所以PAPF的最小值是 3，故选项 C 正确；对 D：过点 P、Q分别作PPl，QQl，垂足分别为P、Q，设弦 PQ 的中点为 M，则弦 PQ为直径的圆的圆心为 M，过点 M 作MMl，垂足为M，则MM为直角梯形PP Q Q 的中位线，12MMPPQQ，又根据抛物线的定义有PPPF，QQQF，所以1122MMPFQFPQ，所以以弦 PQ 为直径的圆与准线 l相切，故选项 D 正确；故选：ACD.12函数 1cos02f xxx x的所有极值点从小到大排列成数列 na，设nS是 na的前n项和，则（）A数列 na为等差数列 B4176a C3a为函数 f x的极小值点 D20211sin2S【答案】BD【分析】首先求出函数的导函数，令 0fx，根据正弦函数的性质即可求出函数的极值点，再求第 9 页 共 19 页 出2021S，利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为 1cos02f xxx x，所以1sin2fxx，令 0fx，即1sin2x 可得26xk或526xk，Zk，易得函数的极值点为26xk或526xk，Zk，从小到大为6，56，136，不是等差数列，A 错误；4517266a，B 正确；函数 f x在区间513,66上为增函数，在区间1317,66上为减函数，所以3a为函数 f x的极大值点，C 错误；2021122021513171010266666Saaa，1351751010210092666666，则根据诱导公式得2021sins16in2S，D 正确；故选：BD 三、填空题 13记等差数列na的前 n项和为nS，若130aa，721S，则公差d _.【答案】32【分析】根据题意列出方程，即可求得答案.【详解】由题意等差数列na的前 n 项和为nS，130aa，721S，可得10ad，且172121ad，则1ad，且133ad，解得32d，故答案为：32 14一条直线l经过3,3P，并且倾斜角是直线3yx的倾斜角的 2 倍，则直线l的方程为_【答案】3yx 第 10 页 共 19 页【分析】先求出直线3yx的倾斜角，从而可求得直线l的倾斜角，则可求出直线l的斜率，进而可求出直线l的方程【详解】因为直线3yx的斜率为3，所以直线3yx的倾斜角为3，所以直线l的倾斜角为23，所以直线l的斜率为2tan33，因为直线l经过3,3P，所以直线l的方程为33(3)yx，即3yx，故答案为：3yx 15如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成的角的余弦值是_ 【答案】【详解】试题分析：以A为坐标原点,射线,AB AD AQ所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系 第 11 页 共 19 页 令两正方形边长均为 2则0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,1,2AEFM,1,1,2,2,1,0EMAF,2 1030cos,3065EM AFEM AFEMAF ,设异面直线EM与AF所成的角为,30coscos,30EM AF 【解析】异面直线所成的角 四、双空题 16如图，圆 O与离心率为32的椭圆2222:1(0)xyTabab相切于点 M(0,1)，过点 M引两条互相垂直的直线 l1，l2，两直线与两曲线分别交于点 A，C与点 B，D(均不重合)若 P 为椭圆上任一点，记点 P到两直线的距离分别为 d1，d2，则2212dd的最大值是_；此时 P 点坐标为_ 【答案】163；4 21,33【详解】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得2212dd的数学表达式，结合纵坐标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果.详解：由题意知：2223,1,2cbcbaa解得2,1,3abc，可知：椭圆 C 的方程为2214xy，圆 O 的方程为221xy.设00,P x y，因为12ll,则2222212001ddPMxy,因为220014xy，所以2222212000116441333ddyyy,因为011y，所以当031y 时，2212dd取得最大值为163,此时点4 21(,)33P.点睛：本题主要考查椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第 12 页 共 19 页 五、解答题 17已知函数 lnaxf xbx在1x 处的切线方程为220 xy.(1)求 f x的解析式；(2)求函数 f x图象上的点到直线230 xy的距离的最小值.【答案】(1)2ln xfxx；(2)5.【分析】（1）由题可得 21 lnaxfxx，然后利用导数的几何意义即求；（2）由题可得切点1,0到直线230 xy的距离最小，即得.【详解】（1）函数 lnaxf xbx，f x的定义域为0,，21 lnaxfxx，f x在1x 处切线的斜率为 12kfa，由切线方程可知切点为1,0，而切点也在函数 f x图象上，解得0b，f x的解析式为 2ln xfxx；（2）由于直线220 xy与直线230 xy平行，直线220 xy与函数 2ln xfxx在1,0处相切，所以切点1,0到直线230 xy的距离最小，最小值为555d，故函数 f x图象上的点到直线230 xy的距离的最小值为5.18已知在各项均为正数的等差数列 na中，23421aaa，且21a，31a，43aa构成等比数列 nb的前三项(1)求数列 na，nb的通项公式；(2)设nnnca b，求数列 nc的前n项和nS【答案】(1)21nan，12nnb 第 13 页 共 19 页(2)2(21)24nnSn 【分析】（1）设公差为d，由23421aaa，且21a，31a，43aa构成等比数列，利用“1,a d”法和“1,a q”法求解；（2）由（1）得到1(21)2nnnnca bn，利用错位相减法求解.【详解】（1）解：因为数列 na为各项均为正数的等差数列，所以2343321aaaa，即得37a，设公差为d，则有23116aadd ，318a ，433314aaadad，又因为21a，31a，43aa构成等比数列 nb的前三项，所以 2324311aaaa，即64(6)(14)dd，解得2d 或10d（舍去），所以132743aad，所以数列 na是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，故得21nan，由题意得，1214ba，2318ba，所以数列 nb是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，故114 22nnnb.（2）设1(21)2nnnnca bn，则23413 25 27 2(21)2(21)2nnnnnS，在上式两边同时乘以 2 得，341223 25 2(21)2(21)2nnnSnn，得，234123 22 222(21)2 nnnSn，第 14 页 共 19 页 24(12)2 nn,所以2(21)24nnSn 19在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P，B，C坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2)，E 为线段 BC上一点，直线 EP 与 x 轴负半轴交于点 A(1)当 E 点坐标为1 3,2 2时，求过点 E 且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；(2)求BOE与ABE面积之和 S 的最小值【答案】(1)30 xy或20 xy或10 xy；(2)2+3.【分析】（1）根据给定条件，分直线过原点与不过原点，结合直线方程的截距式求解作答.（2）设点 E的横坐标为 t，根据给定条件求出 t的范围，再将 S 表示为 t的函数，并求出最小值作答.【详解】（1）令过点1 3(,)2 2E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为 l，当直线 l过原点时，直线 l在 x，y 轴上的截距都为 0，其方程为3yx，当直线 l不过原点时，设直线 l的方程为1xyaa或1xyaa，于是得13221aa或13221aa，解得=2a或1a，直线 l的方程为2xy或1xy，所以所求方程为：30 xy或20 xy或10 xy.（2）依题意，直线:122xyBC，因点 E在线段 BC上，则设点(,2)E tt，02t，设00(,0),0A xx，0(,1),(,1)PEtt PAx，由/PEPA得：0(1)xtt，显然1t，则01txt，有01t，111|(2)2,|(2)(2)(2)2221BOEABEtSOBtt SABttt，1(2)112(2)(2)2(2)23(1)212(1)21tttSttttttt 123(1)231tt，当且仅当13(1)1tt，即313t 时取等号，所以BOE与ABE面积之和 S的最小值2+3.20如图，四棱锥PABCD中，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，/BC AD，CDAD，22PCADDCCB，E为PD的中点.第 15 页 共 19 页 （1）证明：/CE平面PAB；（2）求直线CE与平面PAB间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【分析】（1）取PA的中点M，连接BMEM，易证四边形BCEM为平行四边形，故/CE BM，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由/CE平面PAB，知点E到平面PAB的距离即为所求.设1BC，取AD的中点N，连接BNPN，可证PNAD，BNAD，进而推出BC平面PNB；于是以B为原点，BCBN分别为xy轴，在平面PNB内，作Bz 平面ABCD，建立空间直角坐标系，可证BCPB，从而求得3PB，120PNB，写出点PE的坐标，根据法向量的性质求得平面PAB的法向量n，由点E到平面PAB的距离 n BEdn即可得解.【详解】（1）证明：取PA的中点M，连接BMEM，E为PD的中点，/EM AD，12EMADBC，四边形BCEM为平行四边形，/CE BM，CE 平面PAB，BM平面PAB，/CE平面PAB.（2）/CE平面PAB，点E到平面PAB的距离即为所求.设222PCADDCCB，取AD的中点N，连接BNPN，则四边形BCDN为矩形，1BNCD 第 16 页 共 19 页 PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PNAD，112PNAD，BNAD，PNBNN，PNBN 平面PNB，AD平面PNB，/BC AD，BC平面PNB，BC 平面ABCD，平面ABCD平面PNB，以B为原点，BCBN分别为xy轴，在平面PNB内，作Bz 平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0B，1,1,0A，1,1,0D BC 平面PNB，BCPB，在RtPBC中，2222213PBPCBC，1BNPN，120PNB，330,22P，1 53,2 44E 330,22BP，1,1,0BA ，1 53,2 44BE，设平面PAB的法向量为,nx y z，则00n BPn BA，即330220yzxy，令1x，则1y，3z ，1,1,3n，点E到平面PAB的距离15331524451 1 35n BEdn，故直线CE与平面PAB间的距离为55.【点睛】方法点睛：求空间中点P到平面的距离，向量方法:先在平面内选一点A，确定PA的坐标，在确定平面的法向量n，最后代入公式n PAdn求解.也通常采用三棱锥等体积求解.21已知双曲线221.416xy(1)过点(1,4)N的直线与双曲线交于,S T两点，若点 N是线段ST的中点，求直线ST的方程；(2)直线 l：(2)ykxm k 与双曲线有唯一的公共点 M，过点 M且与 l垂直的直线分别交 x 轴、y第 17 页 共 19 页 轴于0(,0)A x，0(0,)By两点当点 M 运动时，求点00(,)P xy的轨迹方程.【答案】(1)30.xy(2)221(0)10025xyy.【分析】（1）设11(,)S x y，22(),Tx y，采用“点差法”可求得直线ST的斜率，即可求得答案；（2）根据直线 l：(2)ykxm k 与双曲线有唯一的公共点 M，联立方程可得到224(4)mk，从而求得点 M 坐标，由此表示出过 M且与 l垂直的直线方程，求得00,xy，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设11(,)S x y，22(),Tx y，则2211222214161416xyxy，两式相减得22221212416xxyy，即121212124yyxxxxyy，因为点(1,4)N是线段ST的中点，所以12122 1412 4yyxx，即直线ST的斜率为 1，所以直线ST的方程为41yx，即3yx,联立方程组2231416yxxy,得236250 xx，满足0，故直线ST的方程为30.xy（2）联立方程组22416xyykxm,得222(4)2(16)0kxkmxm，因为直线 l：(2)ykxm k 与双曲线有唯一的公共点 M，根据双曲线的对称性可知,k m都不等于 0，2222244 4160kk mkm ，得224(4)mk，则244Mkmkxkm,则4(16)Mkmykmm,所以 M 的坐标为416(,)kmm，其中0km，因为过点 M 且与 l垂直的直线方程为1614()kyxmkm，令0y，得020kxm，令0 x，020ym，第 18 页 共 19 页 所以2222002224004001600(4)10010044kmxymmm，故点00(,)P xy的轨迹方程为：221(0)10025xyy.【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用“点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.22如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛 VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地 ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为 10 米，在 AB边上距离 A点 4 米的 F处放置一只电子狗，在距离 A点 2 米的 E处放置一个机器人，机器人行走速度为 v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点 M，那么电子狗将被机器人捕获，点 M叫成功点.(1)求在这个矩形场地内成功点 M 的轨迹方程；(2)P 为矩形场地 AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线 FP的距离为23，且直线 FP与点 M的轨迹没有公共点，求 P 点横坐标的取值范围.【答案】(1)224164()0393xyx(2)4 312 737a 【分析】（1）分别以,AD AB为,x y轴，建立平面直角坐标系，由题意2MFMEvv，利用两点间的距离公式可得答案.(2)由题意可得点M的轨迹所在圆的圆心到直线FP的距离14,23d，点M的轨迹与y轴的交点N到直线FP的距离223d，从而可得答案.【详解】（1）分别以,AD AB为,x y轴，建立平面直角坐标系，则(0,2),0,4EF，设成功点(,)M x y，可得2MFMEvv 即2222(2)(4)2xyxyvv,化简得22416()39xy 因为点M需在矩形场地内，所以403x 第 19 页 共 19 页 故所求轨迹方程为224164()0393xyx （2）设,0P a，直线FP方程为14xya 直线 FP 与点 M的轨迹没有公共点,则圆心403（，）到直线FP的距离大于43r 依题意，动点P需满足两个条件：点M的轨迹所在圆的圆心403（，）到直线FP的距离14,23d 即1244432316aada,解得4 312 737a 点M的轨迹与y轴的交点80,3N到直线FP的距离223d 即228423316aada,解得4 33a 综上所述，P点横坐标的取值范围是4 312 737a